高中数学经典题型全解析：第4课 函数概念专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数定义为核心，通过“概念辨析-性质探究-方法提炼-应用拓展”逻辑链，系统构建函数基本概念的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数定义|2典例+6变式|单值对应判断法、映射与函数关系分析|从非空数集对应到单值性，构建函数概念本质| |函数关系|2典例+5变式|三要素比较法、同族函数计数原理|通过定义域、值域、对应法则辨析函数关系| |定义域|2典例+7变式|解析式有意义法、复合函数定义域转化|从自变量取值限制到复合函数内外层关系| |值域|1典例+4变式|先内后外求值法、平移不变性分析|函数值集合本质及图象变换对值域的影响| |对应法则|5典例+14变式|待定系数法、换元法、消去法、坐标转移法|根据函数类型与条件选择解析式求法| |定义域与值域关系|3典例+10变式|方程思想、区间长度分析、单调性应用|结合函数性质建立定义域与值域的关联模型|

第四课 函数的基本概念 1 学科网（北京）股份有限公司 1.函数是一种特殊的对应关系 1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应 【典例1】 1.A【解析】（1）（2）（3）这三个图所表示的对应符合映射定义.（4）（5）存在一对多， （6）集合A中元素在B中没有元素与之对应，不是映射.综上所述映射的个数是3，选A 2.B【解析】姓名、身高、成绩都可能相同，学号则是唯一的，A,C,D都可能一对多， 由函数定义知应该选B. 3.D【解析】根据函数一对一，多对一的性质，以及的条件， 可列举10个符合要求的函数，故选D. 4.1【解析】由 对应法则知，∴. 5.1【解析】函数中是原象，对应象为， 而中是原象，为象.满足条件的函数如右图所示， 即只有1个. 6.5，2【解析】 从而有：或 ∵∴ 【典例2*】 1.A【解析】∵A⊆,由,得由,得； 由，得.故A中最多有6个元素．故选A. 2.C【解析】的定义域是R，值域是（0，+∞），所以是.答案：C 3.A 【解析】由题意解得；故选A 4.C【解析】根据映射的定义及应满足的关系可列下表（每一列都对应一个具体的映射）： 故选C 5.9，8【解析】：从A到B可分两步进行： 第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7）， 第二步A中的元素4也有这3种对应方法. 由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B到A， 同理，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.答案：9, 8 1.2定义域内函数的自变量都有且仅有唯一象 【典例1】 1.C【解析】A,B,D中的图形满足要求，C是圆内轴任取一个值，有两个值和它对应， 故C中的图形不是函数的图象.应选C. 2.②③.【解析】①区间（1，2]没有对应的值；不合题意； ②对于中任一元素，中都有唯一的元素和它对应，符合函数对应法则，正确； 对于中任一元素，中都有唯一的元素和它对应，是一一对应，符合函数对应法则，正确； ④是一对多，不是函数，故答案是②③. 【典例2*】 1.C【解析】当时，有1个；当时，有0个.故选C. 2.D【解析】垂直于轴的直线与函数的图象可能有个交点或者无数个或者没有．故选D． 3.0或1【解析】虽然函数为增函数，曲线交点还需借助值域确定. ①值域包含：只有一个交点，例如曲线与； ②值域不含：没有交点，例如曲线与有. 故集合的元素个数为0或1. 1.3* 定义域内的每一个值与函数值的对应不能一对多 1.B【解析】因为函数过函数在为增函数，在为减函数； 设函数在切线斜率为，则； ∴； 切线倾斜角是，要使旋转后的曲线仍为函数图象，旋转后的切线倾斜角最多为， 所以，最大旋转角.选B..w.k.s.5.u.c.o.m 2.【解析】由得 ，， 它的图象是以为圆心，2为半径的一段圆弧 ， 设过原点且与曲线相切的直线为，，直线的倾斜角; 要使旋转后的曲线仍为函数图象，旋转后的切线倾斜角最多为， 所以，最大旋转角. 3.【解析】作出函数的图象，易求出曲线在坐标原点处的切线斜率为1， 可知满足题意的角的取值范围是. 4..【解析】作出函数的图象， 易求出曲线在坐标原点处的切线斜率， 要使图象绕坐标原点顺时针方向旋转仍为函数图象， 旋转后的切线倾斜角最小为， 可知满足题意的角的取值范围是. 2 函数与函数的关系 2.1解析式、值域、定义域都相同的函数是同一函数 1.C【解析】A、B、D中定义域不同，故选C. 2.C【解析】A，对应关系不同；B.D都是定义域不同. 与的定义域均为为相同函数.故选C. 3.C【解析】A B D与的定义域及对应法则均相同； C.＝的定义域为, 而＝的定义域为.故C组函数不表示同一函数. 4.D【解析】A、B、C定义域不相同；D定义域及对应法则均相同.故D表示同一函数. 5.D 【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D． 2.2 解析式、值域相同而定义域不同的函数是同族函数 1.9【解析】设函数的定义域为D，其值域为{3,9};D的所有情形： ，共9种. 2.27【解析】的解是1，-1，的解是2，-2，的解是3，-3. “天一函数”的定义域必须分别至少包含中的一个值. 因此，定义域的种类个数是. 3.D【解析】①与②仅仅通过平移变换不能得到, ④与③通过平移后能够重合.故选D. 4.24【解析】由题意知，满足一一对应，故不同的函数的个数是4！=24. 3.函数的定义域 3.1使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域 【典例1】 1.【解析】，解得，因此定义域为． 2.【解析】应满足，解得 . ∴的定义域为 【典例2】 1. D【解析】由，得或 故选D． 2.【解析】应满足，解得 3. 【解析】必须满足，解得. 4. 【解析】应满足，解得. 3.2复合函数的定义域也是自变量的取值范围 【典例1】 1.B【解析】由的定义域为得，用替换得 即选B. 2.【解析】由的定义域为得，用替换 得即. 所以的定义域为. 3.[1,5]【解析】 当时，，，所以的定义域为. 4.[-1,4）【解析】 当时，即，∴，所以的定义域为． 5.【解析】 由的定义域为得， 故，即得定义域为，从而得到， 所以;故得函数的定义域为 6.【解析】 由的定义域为得，故， 即得定义域为，从而得到，所以; 故得函数的定义域为 【典例2*】 1.[]【解析】由，且得． 2.【解析】由得的定义域为．由， 解得：，故的定义域为． 3.【解析】由的定义域为，则定义域为下列不等式组的解集， 即，也就是.比较区间左右端点知, 当时,的定义域为； 当时,的定义域为； 当时,上述两区间的交集为空集，此时不能构成函数. 4.【解析】由即的定义域为． 5.【解析】 ，用替换得 ．的定义域为． 6.【解析】易知函数的定义域为，又 ，故函数的最大值为7，最小值为2. 7.【解析】令，即解得（舍） ∴．函数的定义域. 4.函数的值域 4.1先内后外求复合函数函数的值 1.B【解析】选B. 2.C【解析】，选C. 3.D【解析】4，得或解得（舍）选D. 4.0【解析】，故，因此. 5.C【解析】函数，即有， 则有．故选C． 建议删除，又，矛盾6.B【解析】函数是周期为4的奇函数，. ∴1.故选B． 4.2 自变量所对应的函数值组成的集合构成函数的值域 1.D【解析】A的值域是 ，错；B的值域是 ，错； 对于C，由于 ，值域中数是一系列离散的数，错； 对于D，，值域是 ，故选D． 2.D【解析】函数的值域为{2，3，4，5}．故选D． 3.C【解析】如图时；时；时；故选C 4.C【解析】.函数的值域为,选C. 4.3函数图象的左右平移不改变函数的值域 1.A【解析】由向右平移1个单位，故函数的值域不改变.故应选A. 2.C【解析】的图象由图象向右平移个单位，故函数的值域不改变.故应选C. 3.A【解析】由于与除以3的余数相同，∴ 4.C 【解析】的图象由图象向左平移3个单位， 故函数的值域不改变.的值域为.选C 5.函数的对应法则 5.1 已知函数的名称用待定系数法求解析式 1.或【解析】设，则， 由，得，解得， 故或. 2.【解析】设 ， 则， 所以且，解得.故所求. 3.【解析】∵和均为一次函数，∴为一次函数，设 ∴ ∴解得,∴ 4.【解析】设 ()， 则， ∴，得， 又由， 故所求. 5.【解析】设， 则 与已知条件比较得：解之得，， 又， 6.－2；1【解析】 , 所以，解得 5.2构造解方程组用消去法求函数解析式 【典例1】 1.【解析】用代换得：， 即，与联立， 解得,.易知递增， 所以，又，故. 2.【解析】设，则 -2 . ∴ 3. 【解析】以代替得， 与联立解得. 【典例2*】 1.【解析】，把换成，得， 联立解得. 2.【解析】 ----------① 令，则代入①得；即 ---② 令则，代入①得；即-③ 联立①②③解得. 5.3用换元法（配凑法）求函数的解析式 1.【解析】(法1）：（配凑法）， 所以 (法2）:（换元法）设则所以, 所以. 2.【解析】(法1）:（配凑法） ，所以 (法2）:（换元法）设则所以. 所以. 3.【解析】（换元法）设则 所以.所以. 4.（或）【解析】（配凑法） ； 所以（或）. 5.f（x）=.【解析】（换元法）设=t，则x=，∴f（t）=. ∴f（x）=. 6.【解析】(法一):（换元法）：令，， 则，，，故． (法二)（配凑法）：，∴. 7.【解析】（换元法）令（）,则，替换得， 故． 8.【解析】设，则且 则，，.∴. 5.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法 1.【解析】设点是函数的图象上任一点， 由题意知，点在函数图象上.∴整理得 ∴ 2.D【解析】设函数的图象上任意一点， 则因为点关于直线的对称点为， 所以满足方程，即，两边取对数得，，即， 故. 故选D. 3. 【解析】设所求函数上任一点， 则因为点关于直线的对称点为， 所以满足方程，即，配方得. 又易知，所以即 4.C【解析】 在函数的图象上任设一点，其关于直线的对称点为， 则有解得由于点在函数的图象上， 于是有，得，即， ∴，∴. 5.5 待定系数法求二次函数的解析式 1. 【解析】依条件，设，即. 令，即， ∴. ， ∴，∴. 2.【解析】由题意，的图象过点和， 可设函数 的解析式为， 又过点，求得，代入得 3. 【解析】，由为偶函数得， 又的值域为(－∞，4]，则，因此. 4.【解析】由方程有两相等实根，得，则． 由知对称轴方程为，得，故 ． 6.函数值域、函数定义域的关系 6.1 典型的定义域与值域关系的函数模型 1.【解析】在上是增函数， 在上是减函数，且当时，； 当时，. 故适合题意的整数对有：. 2.3【解析】由于是奇函数，图象关于原点对称， 且当时，是增函数， 所以在定义域内是增函数， 于是，. 所以 为方程的根， 又该方程的根为，故实数对可以是，共3对. 3.（1,2）.【解析】，由得. 6.2已知值域求定义域区间长度 【典例1】 1.2【解析】∵函数的定义域为，值域为， ∴且即；的最大值是3，最小值1。 所以区间的长度的最大值与最小值的差为2. 2.【解析】因为函数的定义域为,值域，图像对称轴 所以即; 因为定义域为，所以 因为，所以区间的长度的最大值是，最小值； 故最大值与最小值的差为. 3.【解析】函数的定义域为，值域为 且对称轴顶点 所以即; 因为定义域为，所以, 所以区间的长度的最大值是5，最小值， 所以最大值与最小值的差为. 4.1 【解析】因为，所以，所以， 所以函数在定义域上增函数， 所以又，解得， 所以. 【典例2】 1.【解析】集合的长度为、集合的长度为， 因、都是集合的子集，而的长度为1， 由此得集合的“长度”的最小值是（． 2.C【解析】如图，要使函数在定义域上， 值域为，则的最大值是. 故选C. 6.3 方程思想研究函数的定义域与值域关系 【典例1】 1. 【解析】∴ 函数f(x)对称轴， ①时函数f(x)在[－1,1]为增函数即 ，解得 ②时函数f(x)在[－1,1]为减函数即 ，解得（舍去） ③时函数在[－1,1]先减后增，故有，解得（舍去） ④ 时函数在[－1,1]先减后增，故有，解得无解 综上所述 2.，【解析】由已知得，的对称轴 ①当时，在上单调递增， 所以，解得，与已知矛盾舍去； ②时，在最小值是1， 所以，在最大值是或； 因为，所以是最大值，即解得（舍去） ③当时，在上单调递减， 所以，解得，与已知矛盾舍去。 综上所述， 【典例2】 1.C 【解析】函数f(x)＝x2－2x＋2的对称轴，所以在[1，b]上递增， 由已知得，即，解得. 2. 【解析】因在单调递增， 当时，为最小值，当时，为最大值 由此可得，即， 所以是方程的两个不相等的根有两个不相等的根． 所以，解得，或. 故的取值范围是． 3.【解析】由已知得，∴的对称轴 ∴在[1，b]单调递增，∴，即，解得. 4.【解析】∵∴在上单调递增， 所以的定义域、值域都是即，， 所以是方程的两个不相等的正根，有两个不相等的根． 所以，解得，， 又因，故的取值范围是． 5.【解析】所以当时是增函数，当时是减函数. （1）函数的定义域和值域均为,则在为增函数， （2）假设存在实数，使函数的定义域与值域均为则 当时是增函数，当时是减函数 若则（舍去） 若则 故存在实数使函数的定义域与值域均为，且满足的条件是. 【典例3】 1.m =1, n = 4．【解析】由的值域为，且， 可知，即，故在上是增函数， 因为已知函数的值域为， 于是，， 又m< n，所以m, n是方程的两个根， 故可得m =1, n = 4． 2.【解析】由知41，即， 而抛物线的对称轴为，则时，在上为增函数 假设满足题设条件的存在，则，即. 又，所以存在适合题意. 3.【解析】（1）∵定义在上的奇函数， ∴即 ∴. 当时 ∴ = ∴ （2） 假设存在正实数（），使得当时，函数的值域为； ①若，则，当时 则与已知不符，故不成立 ②若，在先增后减，所以 ，不满足，故不成立 ③若，在为减函数， ，， 故存在这样的正实数使得当时，函数的值域为此时 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四课 函数的基本概念 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 1.函数是一种特殊的对应关系 1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应 1.2定义域内函数的自变量都有且仅有唯一象 1.3定义域内的每一个值与函数值不能一对多 2.函数与函数的关系 2.1同一函数的定义域、值域、对应法则相同 2.2同族函数的解析式、值域相同定义域不同 3.函数的定义域 3.1使解析式有意义自变量取值范围叫定义域 3.2复合函数定义域也是自变量的取值范围 4.函数的值域 4.1先内后外求复合函数的函数值 4.2函数值组成的集合构成函数的值域 4.3函数图象的左右平移不改变函数的值域 5.函数的对应法则 5.1已知函数的名称用待定系数法求解析式 5.2构造解方程组用消去法求函数解析式 5.3用换元法（配凑法）求函数的解析式 5.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法 5.5 待定系数法求二次函数的解析式 6.函数值域、函数定义域的关系 6.1典型的定义域与值域关系的函数模型 6.2已知值域求定义域区间长度 6.3方程思想研究函数的定义域与值域关系 1.函数是一种特殊的对应关系 1.1函数是从非空数集A到数集B的单值对应 【典例1】下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应法则，其中为函数的是________． 【解析】中：P中元素－3在M中没有象． 中，P中元素2在M中有两个不同的元素与之对应． ④中，P中元素1在M中有两个不同的元素与之对应; ⑤不是数集. 所以,只有②是函数. 答案填② 【评注】设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,对应关系有一对一和多对一两种. 【变式1】函数是两个非空数集之间的对应关系，映射是两个非空集合之间的对应关系 已知如图中的对应： 其中构成映射的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】姓名、身高、成绩都可能相同，学号则是唯一的 某校有一个班级，设变量是该班同学的姓名，变量是该班同学的学号，变量是该班同学的身高，变量是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是（　　） A．是的函数 B．是的函数 C．是的函数 D．是的函数 【变式3】函数是一种特殊的映射即一对一或多对一映射 函数满足，则这样的函数个数共有（ ） A．1个 B．4个 C．8个 D．10个 【变式4】设都是由A到A的映射，其对应法则如下表（从上到下），则 . 1 2 3 4 4 3 1 2 映射: 映射: 1 2 3 4 3 4 2 1 【变式5】 若函数满足，则这样的函数共有 个． 【变式6】已知集合，,映射是从到函数,则 ， . 【典例2*】在下列对应关系中，满足函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【解析】（法1）由函数的定义知，定义域内的任意一个自变量只对应唯一的元素. 在A中若取,则有； 在B中，取，则； 在C中，取，则. 即A、B、C选项均不满足同一自变量所对应的函数值是唯一的， 故选D. （法2） A.，； B.，或； C.， ，则 D.设，，再设，所以是函数. 即A、B、C选项均不满足同一自变量所对应的函数值是唯一的， 故选D. 【评注】一般地，若定义域内某个与两个或两个以上的对应，则该对应关系不是函数.从几何直观来看，若存在某条垂直于轴的直线与已知图形有两个或两个以上的公共点，则该图形不是函数的图象.本题关键是要注意问题问的是什么？即问的是“满足函数关系？”并不是问A,B,C,D四个关系式本身是不是函数. 【变式1*】已知:是集合A(A⊆[0,2π])到集合B的一个映射，若B＝{0,1,2}，则A中的元素个数最多为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2*】设集合，集合=正实数集，则从集合到集合的映射只可能是( ) A. B. C. D. 【变式3】已知集合A中元素在映射下对应B中元素，B中元素在A中对应元素为（ ） A． B． C． D． 【变式4】集合由到的映射满足条件，这样的映射共有（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式5*】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________. 1.2定义域内函数的自变量都有且仅有唯一象 【典例1】下列图象中，表示函数关系的是 （ ） A. B. C. D. 【解析】B,C,D在定义域内存在都有两个值对应，不符合函数定义，A对 【评注】从到的一个函数,满足对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应,这就意味着函数在定义域内任意的的值，都只能对应着图象上唯一的点. 【变式1】函数是定义域内的任意一个自变量有唯一的值对之应，值可对应二个值. 下列图形中，不是函数图象的是（ ） A B C D 【变式2】定义域内的自变量不能没有象（每个元素都有象） 设，，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合到集合的函数关系的是 . (填序号) 【典例2*】设函数满足，求函数与图象交点的个数． 【解析】(法1)（特值猜想法）由， 得 猜想：若， 那么与有无数个交点；若，则与无交点． (法2)（求解析式）由已知得， 则 叠加得即 若，那么与有无数个交点； 若，则与无交点． 【评注】先赋特殊值得到若干函数关系式，然后猜想一般规律：或变形后用逐差叠加法得到该一般规律；最后都需就与分别讨论获解. 【变式1】定义在某区间上的函数图象与轴的垂线的公共点可能0个 已知函数的定义域为D，则函数的图象和交点个数为（ ） A.0 B.1 C.0或1 D.无数 【变式2】定义在某区间上的函数图象与轴的垂线公共点可能无数个 已知函数,,那么集合中所含元素共有（ ） A．0个 B．1个 C． 0或1个 D．不能确定 【变式3】定义在R上的函数图象与轴的垂线的公共点可能0个 已知单调增函数,,那么集合中所含元素的个数是 . 1.3*定义域内的每一个值与函数值的对应不能一对多 【典例】将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为 . 【解析】（法1）将函数化为，作出（）的图象如图，考虑圆在原点处的切线， 由，所以切线的倾斜角为， 而的最大值为切线沿逆时针旋方向转到与轴重合时所转过的角度. 故的最大值为 （法2）由得：，，它的图象是以为圆心，2为半径的一段圆弧， 考虑圆在原点处的切线， 设过原点且与曲线相切的直线方程为，， 此时直线的倾斜角,要使旋转后的曲线仍为函数图象，旋转后的切线倾斜角最多为， 所以，最大旋转角. （法3）因为函数过（如图）函数在为增函数，在为减函数； 设函数在切线斜率为，则； ∴； 切线倾斜角是，要使旋转后的曲线仍为函数图象，旋转后的切线倾斜角最多为， 所以，最大旋转角 【评注】根据函数的定义，只有自变量和函数值是一对一或多对一才能构建函数，本题即是旋转后的曲线与每一条竖直直线至多有一个交点.我们只需求出该曲线斜率最大的切线旋转到与轴垂直时的旋转角，则逆时针旋转的最大旋转角为（为锐角）或（为钝角）.（本题组训练适合高三学生使用） 【变式1*】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的最大值为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. C. D. 【变式2*】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（为锐角），若所得到曲线仍都是一个函数的图象，则的最大值为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【变式3*】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则满足条件的角的范围是 . 【变式4*】将函数的图象绕坐标原点顺时针方向旋转角，得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则满足条件的角的范围是 . 2 函数与函数的关系 2.1解析式、值域、定义域都相同的函数是同一函数 【典例】下列函数中一定是同一函数的是 ． A. ， B.与 C.与 D.与 【解析】A、B定义域不同； C与的定义域及对应法则均相同； D对应法则不相同． 故选C. 【评注】判断两个函数是否为同一函数，只需判断函数三要素中的定义域和对应法则是否相同即可.因定义域和对应法则相同，则值域必相同.根据函数的概念可知，与自变量用什么字母表示无关.（加*的题目可能与高一教学进度不同步） 【变式1】下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B．， C． D． 【变式2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.与 B．与 C.与 D.， 【变式3】下列四组函数，不表示同一函数的是（ ） A． ， B． , ＝ C．＝, ＝ D．,＝ 【变式4*】下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. B.与 C.与 D.与 【变式5*】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ） （A） （B） （C） （D） 2.2 解析式、值域相同而定义域不同的函数是同族函数 【典例】若一系列函数的解析式相同、值域相同但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有 个. 【解析】（法1）设函数的定义域为D，其值域为{1,4}，D的所有情形的个数， 即是同族函数的个数，D可以是： ,共9个. (法2*)的解是1，-1，的解是2，-2.第一步，中至少选一个，有三种方法； 第二步中至少选一个也有三种方法. 故定义域的种类个数是. 【评注】到的函数的值域是集合，一般，且集合中的每个元素都有原象.即确定函数个数本质上就是给值域中的每个元素找原象，因此可以用列举法或计数原理. 【变式1】列举法给值域中的每个象找它们的原象 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为{3，9}的“孪生函数”共有 个. 【变式2】每个正数，按照对应关系，它的原象可能是共三种可能 若一系列函数的解析式相同，值域相同但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为{9，4，1}的“天一函数”共有 个. 【变式3*】平移后重合是“同簇函数”的本质 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①，②，③，④，其中属于“同簇函数”的是 ( ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【变式4】函数的定义域为，其值域为，则不同的函数的个数为 . 3.函数的定义域 3.1使解析式有意义的自变量取值集合是函数的定义域 【典例1】已知函数，则该函数的定义域是 . 【解析】要使函数有意义，只需 即 ∴函数的定义域是. 【评注】求定义域必须使函数各个部分均有意义，常见的有：整式的定义域为R, 分式的分母不为零，偶次根式被开方数非负，零次幂底数不等于零等. 【变式1*】函数的定义域是 . 【变式2】已知函数，则函数的定义域为 . 【典例2*】已知函数的定义域为（ ） A. B． C． D． 【解析】函数有意义，应满足， 解得且. 所以，函数的定义域为，故选C. 【评注】若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分有意义时相应集合的交集；就是把自变量的限制一一列举出来，得到不等式组，列举时遵循从整体到局部的原则.（注意：加*的题目与教学进度不同步） 【变式1*】 已知函数，则的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式2*】已知函数，则函数的定义域为 . 【变式3*】已知函数则函数的定义域为 . 【变式4*】已知函数，则函数的定义域为 . 3.2复合函数的定义域也是自变量的取值范围 【典例1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【解析】因为的定义域为[0，2]，所以对，，且， 故函数的定义域是．答案选B。 【评注】若的定义域是，则对于必有，从而可以得到函数的定义域． 若的定义域是，则应作为函数的定义域，进而求出的值域，从而得到函数的定义域． 一句话，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域. 【变式1】函数的定义域为[a,b]，则的定义域就是满足的的值. 已知函数的定义域为,则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知的定义域为，则函数的定义域是 . 【变式3】任何复合函数的定义域就是专指x的取值范围 若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式4】已知的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式5】函数的定义域就是中内层函数的值域 已知的定义域为，则的定义域 . 【变式6】已知的定义域为，求的定义域. 【典例2*】已知函数，求函数的最大值和最小值，并求出相应的值． 【解析】由解得，则函数的定义域为. . 令，则，关于在上为增函数， 当时，，此时，，； 当时，，此时，． 综上，当时，函数有最小值6； 当时，函数有最大值13． 【评注】常见错误是认为的定义域为，正解是：由均有意义，解得函数的定义域为. 对应法则的作用对象可以变，但的作用范围不会变.犯错的原因是对复合函数的概念似是而非.请读者记住并理解一句经典的话“内层函数的值域充当外层函数的定义域的子集”，则疑难困惑迎刃而解. 【变式1】函数的定义域是，，则函数的定义域是 ． 【变式2*】设，则的定义域为 ． 【变式3】 已知的定义域为 ,求函数的定义域. 【变式4*】若函数的定义域为，求的定义域． 【变式5*】若函数的定义域为，求的定义域． 【变式6*】已知函数,求函数的最大值和最小值. 【变式7*】已知函数，求函数的定义域. 4.函数的值域 4.1先内后外求复合函数的函数值 【典例】如图，函数的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为，则的值等于 . 【解析】由函数的图象， 所以. 【评注】复合函数函数求值,应先内后外,如果出现分段函数将自变量应对应相应的段中,然后代入求解. 【变式1】已知，则的值为 （ ） A． B. C. D. 【变式2*】设则(　 　) A．－1 B. C. D. 【变式3*】设函数若，则(　 　) A． B. C. D. 【变式4】设则的值为 . 【变式5*】 设函数，则（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式6*】周期为4的奇函数在上的解析式为，则（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4.2 自变量所对应的函数值组成的集合构成函数的值域 【典例1】 函数的定义域为，那么其值域为（　　） A． B． C． D． 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，. ∴函数的值域为，故答案选A 【评注】函数值的集合是函数的值域,即定义域A内所有函数值组成的集合. 【变式1】下列函数中，值域是是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下表表示是的函数，则函数的值域是（　　） 0＜＜5 5≤＜10 10≤＜15 15≤≤20 2 3 4 5 A．[2，5] B．N C．（0，20] D．{2，3，4，5} 【变式3*】设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 A． B． C． D． 【变式4】定义，则函数的值域为（ ） A. B． C． D． 4.3函数图象的左右平移不改变函数的值域 【典例】定义在R上的函数的值域为,则的值域为（ ） A． B． C． D． 【解析】的图象由图象向左平移个单位， 故函数的值域不改变.故应选C. 【评注】函数的值是函数图象上对应点的纵坐标，图象左右平移，只能改变它的横坐标，函数图象的左右平移，不改变函数的值域. 【变式1】定义在R上的函数的值域为,则的值域为（ ） A． B． C．［］ D．无法确定 【变式2】定义在R上的函数的值域为,则的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式3】设函数表示除以3的余数,对都有（ ）. A. B. C. D. 【变式4】定义在R上的函数的值域为,则的值域为（ ） A． B． C． D． 5.函数的对应法则 5.1 已知函数的名称用待定系数法求解析式 【典例】求一个实系数的一次函数，使得. 【解析】设 ， 则 ， 所以，且，解得. 故所求. 【评注】已知函数的类型(模型)，求其解析式，用待定系数法，根据题设恰当选用函数解析式的形式（常见的有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数解析式），可使解法简捷． 本题是自变量与函数间的唯一的对应法则，的对应法则仍然是,只是整体被看成中的自变量；对于就是把又看成整体代入求解. 【变式1】 若一次函数满足，则函数的解析式为 . 【变式2】已知函数是一个实系数的一次函数，使得，则函数的解析式为 . 【变式3】已知函数,求满足的为 . 【变式4】已知为二次函数且,，则的解析式是 . 【变式5】二次函数满足，且,则的解析式是 . 【变式6】设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2，x∈R，则实数a=_____，b=______． 5.2 构造方程组用消去法求函数解析式 【典例1】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且， 求 【解析】由已知得， 即，与联立解方程组，得 ． 【评注】若所给解析式中含有，和等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到，本题中奇偶性是的一种特殊情况. 【变式1】若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足， 则的大小关系是 . 【变式2】已知，则函数的解析式是 . 【变式3】已知函数满足，求函数的解析式. 【典例2*】已知(且)，求函数的解析式. 【解析】 (1) 将(1)中的用代换得： (2) 再将(1)中的用代换得： (3) 故由得 (且). 所以，函数的解析式是 (且). 【评注】本题用替换方程(1)中的后得（2），再用替换后得(3)，构造出涉及未知元函数、、的三个方程函数，通过解方程组得的解析式. 上述解法有的书上称为“消元法”或“借鸡下蛋法”. 【变式1】已知，则函数的解析式是 . 【变式2】已知(且)，求函数的解析式. 5.3用换元法（配凑法）求函数的解析式 【典例】已知，求. 【解析】（配凑法）， 所以，（或）. （换元法）令（或），则， 所以， 所以（或）. 【评注】同袍三式联袂变形.已知求，一般可设，反求出，再代入,换元时一定要注意变量的范围的变化.能配凑求解的一般都可以利用换元法解决. 【变式1】已知，则= . 【变式2】已知，则= . 【变式3】已知，则= . 【变式4】已知，则= . 【变式5】 已知f（）=，则f（x）= . 【变式6】已知，则 . 【变式7】已知，则= . 【变式8】已知是定义在上的单调函数，且对都有， 则 . 5.4根据两函数图象的关系进行坐标转移法 【典例】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 (　) A. B. C. D. 【解析】设函数的图象上任意一点， 因为点关于直线的对称点为， 所以，满足方程，即， 整理，得， 即, 故选B. 【评注】设所求函数的图象上任意一点为，求出关于对称轴（点）对称的点；用表示出，再代入满足的函数解析式即可获解，也叫坐标转移法. 【变式1】已知函数当点在的图象上运动时，点在函数图象上运动，则的解析式是 . 【变式2】已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 (　　) A． B． C． D． 【变式3】已知函数与函数关于直线对称，则函数的解析式为 . 【变式4】设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则(　　) A．－1 B．1 C．2 D．4 5.5 待定系数法求二次函数的解析式 【典例】加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系(是常数，)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 (　　) A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 【解析】由图可知，三点都在函数的图象上，所以将三点代入有，解得,,. 所以， 当时,有最大值,选B. 【评注】求二次函数解析式，一般用待定系数法，选用函数解析式的形式一般规律：(1)已知二次函数图象上任意三点时，设为一般式；（）然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图象的顶点坐标和另一点坐标，设为顶点式：；(为常数，)．(3) 当已知二次函数图象与x轴的交点时，设为零点式：； (a是常数 是函数的零点，)． 【变式1】已知二次函数同时满足条件：(1)；(2) 的最大值为15；(3)的两根平方和等于17.则的解析式为 . 【变式2】已知二次函数的对称轴为，截轴所得的弦长为，且过点，则函数的解析式为_______ _. 【变式3】 若函数(常数)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则函数的解析式为 . 【变式4】已知二次函数为常数，且 满足条件：，且方程有两相等实根 则函数的解析式为 . 6.函数值域、函数定义域的关系 6.1 典型的定义域与值域关系的函数模型 【典例】设函数，区间()，集合，则使成立的实数对有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.无数多个 【解析】(法1)：由于是奇函数，且当时，是减函数，所以在定义域内是减函数，所以，解得，与矛盾．故选A． (法2)：函数，如图所示函数单调递减， 所以，解得，与矛盾．故选A． 【评注】将化为分段函数，画出图象可以很容易判断函数的单调性，从而借助方程思想和数形结合思想，在函数值域一定的条件下去研究定义域变得简单了. 【变式1】已知函数的定义域为，其中且，若函数的值域为，则满足条件的整数对有 . 【变式2】设函数，区间（其中），集合 ，则使成立的实数对共有 对. 【变式3】已知函数，，则的解集是 . 6.2已知值域求定义域区间长度 【典例1】 二次函数的最小值等于4，且 （1）求的解析式； （2）若函数的定义域为，求的值域； （3）若函数的定义域为，的值域为，求的值． 【解析】（1）由题意函数的对称轴是，所以顶点是； 设，当时 （2）的对称轴是，在单调递减；在 单调递增 时; 时的值域为 （3）①当时即，在上是减函数 ∴ 即∴ ②当时，在递减，在上递增； 所以在时取得最小值，与已知不符. ③当时，在上是增函数; ∴ 即∴ 综上可知或 【评注】本题考查求函数的解析式与值域的问题，已知定义域求值域时应确定对称轴在该区间左，中，右三种位置;若已知值域而定义域含参数则还是讨论对称轴与区间的三种情况，解题时可以借助二次函数图象在定义域内的单调性来处理. 【变式1】已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式2】若函数的定义域为,值域，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式3】已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 【变式4】若函数的定义域和值域均为,则________. 【典例2】已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 ． 【解析】因为函数的定义域为，值域为，在是减函数， 所以且即; 所以的最大值是2，最小值0， 所以，区间的长度的最大值与最小值的差为2. 【评注】定义：区间的长度为． 【变式1】设数集且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 ． 【变式2*】函数的定义域为，值域为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6.3 方程思想研究函数的定义域与值域关系 【典例1】已知二次函数，若的定义域为时，值域也是，符合上述条件的函数是否存在？若存在，求出的表达式；若不存在，请说明理由. 【解析】设符合条件的存在，函数的对称轴是，且，所以 （1）当，即时，在时，有最小值，时， 有最大值0，即（舍去）； （2）当，即时，在时，有最小值， 当时，有最大值0，即或（都舍去）； (3) 当，即时函数在上单调递增，则. 综上所述，符合条件的函数有两个或 【评注】一般地，此类题需通过单调性求函数的最值，然后列出方程组求解，本题中二次函数开口向上，对称轴为，最小值易知为或，难点是最大值，需要讨论对称轴与区间中点的大小关系. 【变式1】函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]，则a=________. 【变式2】函数的定义域和值域都是，则 ， 【典例2】已知函数，常数．设且的定义域和值域都是，求的取值范围． 【解析】因为在上单调递增， 所以的定义域、值域都是， 所以是方程,即方程的两个不相等的正根 有两个不相等的正根． 所以，，解得. 故的取值范围是． 【评注】单调增区间上的定义域和值域都是，可以转化图象过两个点，进而化为是方程的两个不等的实数根问题. 【变式1】已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于 (　　) A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 【变式2】已知函数的定义域和值域均为，则的取值范围 . 【变式3】已知函数的定义域和值域均为[1，b]，则 ， . 【变式4】已知函数的定义域和值域均为且，则的取值范围 . 【变式5】 已知函数，. （1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值； （2）试问是否存在实数，使函数的定义域与值域均为？若存在求出实数的取值范围，并指出所满足的条件；若不存在，说明理由. 【典例3*】已知函数在时有最大值1，且满足当（其中）时，的取值范围为. 则m=________，n=________. 【解析】由题意知 ， ，，即， 上单调减，且. ，n是方程的两个解，方程即=0， 解得，1，，. ，，. 【评注】函数在某区间上的取值范围，肯定不超出函数的值域，在解题中充分利用这个隐含条件，先确定一下范围再进行解题，可给计算带来很大方便，可以减少甚至避免讨论. 【变式1】已知函数的值域为，则m=________，n=________. 【变式2】已知二次函数,是否存在实数、，使定义域和值域分别为和，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由 【变式3*】已知定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）是否存在正实数（），使得当时，函数的值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ( 10 )本书中，标记*的题目一般是综合性较强或与相应年级教学不同步的题目。 学科网（北京）股份有限公司 $