5.5一元一次方程的应用题型分类解答题专题训练 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，按行程、方案选择、工程问题分类，通过基础、中档、综合三层设计，实现从单一建模到复杂情境的递进，培养模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|行程相遇、方案基础计算、工程合作|如行程问题第1题用速度比建立等量关系，巩固方程建模| |中档|往返行程、分段优惠比较、工程分工|如方案选择第8题结合学生人数分析优惠方案，提升情境转化能力| |综合|变速行程、多变量方案、效率优化|如行程问题第4题三人乘车与步行综合，培养复杂问题解决能力|

5.5一元一次方程的应用 题型分类解答题专题训练 一、行程问题 1．甲、乙两车分别从A、B两地出发相向而行，相遇前，甲、乙两车的速度比是5：4，相遇后，甲车的速度减少20%，乙车的速度不变，这样甲车到达离B地还差全长的时，乙车离A地还有40千米，那么A、B两地相距多少千米？ 2．甲、乙两人在长为100m的直道为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达点后，立即转身跑向点，到达点后，又立即转身跑向点，……．若甲跑步的速度为，乙跑步的速度为，则起跑后2min内，两人相遇几次？ 3．某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度前行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等间隔以统一速度不停地往返，问 (1)电车的速度是多少？ (2)相邻电车的时间间隔是多少？ 4．甲、乙和丙三人一起去派遣，乙和丙是徒步旅行的好手，他们每小时都可以走6公里，甲的脚力不行，他驾驶一辆小型电动汽车，可以坐两个人，但坐不下三个，这辆车每小时跑30公里，这三个朋友采取下面这个方案：他们一起出发，丙乘甲开的车，乙走路，过一会儿甲丢下丙让他继续走路，甲回去接乙．然后他们俩驾车直至追上丙，此时，他们进行了轮换，即丙换上去坐车，乙又步行，这就回到了开始时的情形，这样整个过程不断重复直至必要的次数． (1)他们每小时前进多少公里？ (2)旅行中有几分之几的时间汽车上只有一个人？ 5．一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行米，预计分钟到达，但汽车行驶到路程时，出了故障，用分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？ 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，于两地之间的C地相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息14分钟后再继续向A地行走，甲和乙各自到达B地和A地后立即折返，又在C地相遇，已知甲每分钟走60米，乙每分钟走80米．则A、B两地相距多少米？ 二、方案选择问题 7．小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以内（包括10本）按标价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的出售． (1)若设小明重购买本练习本，则当小明到甲商店购买时，需付款______元，当小明到乙商店购买时，需付款______元； (2)小明在甲、乙两家商店中任意选一家购买练习本，为了节约开支，应怎样选择更划算？ 8．影院筹备举办“跨年晚会”，成人票售价每张120元，学生票售价每张60元．影院制定了两种团体购票优惠方案，方案1：每购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按购票总价的付款．育才学校将组织10名老师与名（不少于10名）学生参加晚会． (1)当取何值时，两种优惠方案的付款金额相同？ (2)当时，选择哪种优惠方案更省钱？ 9．学校春季运动会前，准备向某商家购买A、B两种运动服100件（其中A种运动服不超过50件）．已知A种运动服每件40元，B种运动服每件30元．经商谈，商家给出以下两种优惠方案： 方案一：A种运动服打8折，B种运动服打4折； 方案二：购买一件A种运动服赠送一件B种运动服． 设学校购买了A种运动服m件．根据上述信息，回答下列问题： (1)请问学校购买这两种运动服按照方案一和方案二分别需要花费多少元？ (2)请问学校购买这两种运动服按照哪个方案更划算？ 10．环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案． 方案一：全体人员打8折； 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折． (1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？ 11．某商城在“双11”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： 方案一：购物金额每满200元减20元； 方案二：购物金额打9折． (1)若某人购物金额为350元，则他选择方案一的实付金额为_________，他选择方案二的实付金额为_________； (2)若某人购物金额超过500元且不足600元．通过计算发现，他选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，这个人购物的金额是多少元？ 12．某超市为了吸引顾客，制定了以下两种优惠方案：①甲超市：累计购买商品价格超过200元，超出的部分按原价8折优惠；②乙超市：累计购买商品价格超过100元，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客购物的原费用是x（）元． (1)用含x的式子分别表示出两种优惠方案实际支付的费用．（结果需化简） (2)小林准备购买300元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方案？请说明理由． (3)当你作为顾客时，该如何去选择会更优惠？ 三、工程问题 13．一项工程，甲队单独做完成，乙队单独做完成，丙队单独做完成，开始时三队合作．中途乙队另有任务，由甲、丙两队完成剩余部分，从开始到工程完成共用了，问乙队实际做了几个小时？（用方程求解） 14． 某工厂计划生产一种新型产品，若甲车间单独生产，需要20天完成；若乙车间单独生产，需要30天完成．现甲车间先单独生产5天，然后乙车间加入一起生产，问还需要多少天可以完成生产任务？ 15．（1）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数． （2）加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务? 16．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． (1)求每个房间需要粉刷的墙面面积． (2)已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 17．现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 18．甲乙两位诗人相约共填《蝶恋花》词集．甲才思舒缓，每日可填两阙；乙文思敏捷，每日可填三阙．若单独完成这部词集，甲比乙要多用20天． (1)求《蝶恋花》词集共有多少阙． (2)为早日成编，二人先合作数日，后甲因事搁笔，乙则灵感渐涌，将每日填词速度提高三分之一，独自完成余稿．已知乙参与填词的总天数恰好是甲参与总天数的2倍还多3天，求乙参与填词的总天数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A、B两地相距180千米 【分析】本题重点考查​行程问题中的速度、时间与路程的关系，以及比例的应用​，​理解速度比与路程比的关系，并根据速度变化分析后续行程是解题的关键​． ​根据行程问题中的速度、时间与路程的关系，以及比例的应用​列式求解即可． 【详解】解：相遇时，甲行全程的，乙行全程的， 相遇后，相遇后甲乙速度比， 甲车到达离B地还差全长的时，甲已行全程的， 从相遇点算，甲车行了全程的， 当乙车离A地还有40千米时，从相遇点算，乙车也行了全程的， 乙车共行全程的， 40千米则是全程的， 全程（A、B两地）为 千米． 答：A、B两地相距180千米. 2．5 【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间得，总共时间为120s，列出方程求整数解． 【详解】解：设两人相遇的次数为， 依题意，得， 解得 又因为为整数，所以取5， 答：起跑后内，两人相遇5次． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列方程求整数解. 3．(1)电车的速度是每小时18千米 (2)相邻电车之间的时间间隔是9分钟 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设电车的速度为每分钟米，根据每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，列出方程进行求解即可； （2）求出相同方向的两辆电车之间的距离，再除以电车的速度即可得出结果． 【详解】（1）解：设电车的速度为每分钟米， 人的速度为每小时4.5千米米/分钟， 由题意，得：， 解得：， 故电车的速度为每分钟米，即千米/小时； 答：电车的速度是每小时18千米； （2）由题意，相同方向的两辆电车之间的距离为（米）； （分钟）； 答：相邻电车之间的时间间隔是9分钟． 4．(1)公里 (2)旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及逻辑判断，理解题意，列出方程求解是解题关键． （1）设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙，甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里，根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上，由第（1）问可知这段时间是小时，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：设甲和丙开了x小时车，甲返回接乙， 甲与丙x小时开车行程为公里，乙x小时步行路程为公里， 此时甲与乙相距公里， 此处甲接上乙需要的时间是（小时）， 此时，甲丙距离为（公里）， 甲追上丙需要的时间是（小时）， 甲和乙开车追上丙时，三人的行程所花时间是（小时）， 其中丙步行所用时间（小时）， 这时，三人离起点的距离是（公里）， 则他们每小时前进的路程是（公里） （2）根据题意，甲乙丙从出发到再次相聚，其间，甲返回去接乙这段时间是独自一人在车上， 由第（1）问可知这段时间是小时， 甲乙丙从出发到再次相聚共用的时间是小时， 因此，即旅行中有四分之一的时间汽车上只有一个人． 5．汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快米，根据题意得，然后解方程即可，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快米， 根据题意得，， 解得：， 答：汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快米． 6．米． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用． 设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，根据时间之间的关系列出方程，解方程得到，根据相遇时间乘以两人的速度之和即可得到A、B两地之间的距离． 【详解】解：设甲乙两人在第一次相遇时耗时为分钟，由题意可得， ， 解得， A、B两地之间的距离为：（米）， 答：A、B两地相距米． 7．(1)； (2)买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量与不等量关系列出方程与不等式，再求解． （1）根据题中的收费标准表示出到甲乙两商店的费用即可； （2）根据小明所购买的练习本的本数分类讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当小明到甲商店购买时，须付款：， 当到乙商店购买时，须付款：． 故答案为：；. （2）解：当时，解得：，则买30本练习本时，两家商店付款相同； 当时，解得：，买少于30本练习本时去乙商店买更划算； 当时，解得：，买多于30本练习本去甲商店买更划算． 答：买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算． 8．(1) (2)方案 【分析】（1）根据题意列出两种优惠方案的付款金额，然后根据“两种优惠方案的付款金额相同”列方程求解即可； （2）将代入（1）中所得代数式求值，然后进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 方案1的付款金额为：元， 方案2的付款金额为：元， ∵两种优惠方案的付款金额相同， ∴， 解得：， 答：当时，两种优惠方案的付款金额相同； （2）解：当时， 方案1的付款金额为：元， 方案2的付款金额为：元， ∵， ∴选择优惠方案2更省钱， 答：选择优惠方案2更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（方案选择），列代数式，代数式求值，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出代数式或方程是解题的关键． 9．(1)方案一：元，方案二：元 (2)当时，选择方案一购买更划算；当时，选择这两种方案购买所需费用相同；当时，选择方案二购买更划算 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合两种活动的优惠策略，即可用含m的代数式表示出按照两种活动购买100件文化衫所需费用； ②分类讨论，根据题意分：，及三种情况，求出m的取值范围（或m的值），再结合即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一所需费用为（元）． 方案二所需费用为（元）． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得． 答：当时，选择方案一购买更划算；当时，选择这两种方案购买所需费用相同；当时，选择方案二购买更划算． 10．(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队有45人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元， 方案二的花费为：（元， ， 答：该团队应该选择方案一． （2）解：设团队有人， 根据题意得：， 解得：， 答：该团队有45人． 11．(1)330元，315元 (2)这个人购物的金额为520元 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的实际应用： （1）根据两种方案的优惠方法，列式计算即可； （2）设这个人购物的金额是元，根据选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一实付金额为：（元）； 方案二实付金额为：（元）； 故答案为：330元；315元； （2）解：设这个人购物的金额是元，由题意得：， 解得：； 答：这个人购物的金额为520元． 12．(1)①；② (2) 当购买300元的商品，应去乙超市购买，理由如下： 当时， 甲超市的费用为：（元）， 乙超市的费用为： （元）， ∵， ∴应去乙超市购买． (3)当时，到乙超市购买更优惠；当购买500元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样，当时，到甲超市购买更优惠 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，列出代数式或方程，是解题关键． （1）根据题意分别列式表示甲、乙两家超市的费用即可； （2）将分别代入（1）的结果中，再比较大小即可得到答案； （3）列出方程和不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：①甲超市的费用：， ②乙超市的费用：； （2）略 （3）解：当， 解得：， ∴当购买500元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样． 当， ∴当时，到乙超市购买更优惠． 当时， ∴当时，到甲超市购买更优惠． 13．2 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设乙队实际做了个小时，根据各劳动分量之和等于工作总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设乙队实际做了小时，由题意，得： ， 解得； 答：乙队实际做了2小时． 14．还需要9天 【分析】先表示出甲，乙两个车间的工作效率，再根据工作总量相等得出方程，然后求出解即可． 【详解】解：设还需要x天完成，根据题意，得 ， 解得， 答：还需要9天 15．（1）这个两位数为16；（2）乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键， （1）设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数列方程解决即可； （2）设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天，根据要求二人在12天内完成任务列方程解决即可． 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为， 由题意列方程得，， 解得：， ∴， ∴这个两位数为16； （2）解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了天， 根据题意可得： 解得：． 答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务． 16．(1)60平方米 (2)雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程，理解工作总量除以工作效率等于工作时间． （1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积每名徒弟每天粉刷的面积每名师傅比徒弟一天多刷的面积，据此列出方程，并求解； （2）分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，再求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，然后根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费． 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米． 根据题意得，， 解得， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米； （2）解：每名师傅每天粉刷墙面的面积为： （平方米）， 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：（平方米）， 单位面积的成本： 徒弟：元/平方米， 师傅：元/平方米， 所以应该优先雇佣徒弟， 40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： （平方米）， 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 师傅需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 徒弟需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （名）， 一天的费用： （元）， ， 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： （元）， 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元． 17．(1) 两队合作需要12天完成此工程 (2) 甲队还需要10天才能完成工程 【分析】 将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问． 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 18．(1)120 (2)27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设《蝶恋花》词集共有阙，根据单独完成这部词集，甲比乙要多用20天，列出方程进行求解即可； （2）设甲参与填词的总天数为天，根据甲乙合作完成的部分加上乙独自完成的部分之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设《蝶恋花》词集共有阙，由题意，得： ， 解得； 答：《蝶恋花》词集共有120阙； （2）解：设甲参与填词的总天数为天，则乙参与填词的总天数为天，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：乙参与填词的总天数为27天． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $