精品解析：山东青岛市第二十六中学2026-2027学年度第一学期九年级数学学科练习

2026—2027学年度第一学期 九年级数学学科练习 （时间：60分钟，满分：100分） 一．选择题（本题满分36分，共有12道小题，每小题3分） 1. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【小问1详解】 解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 2. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，即两组对边分别平行，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、由，，四边形可能为等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、，，即一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，即两组对边分别相等，故四边形是平行四边形，本选项不符合题意． 4. 如图，沿方向平移后，得到，已知，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．据平移的性质可得，，再进一步即可得解． 【详解】解：∵沿方向平移后，得到，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 故选：B． 5. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 6. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将纵坐标代入正比例函数求出交点的横坐标，得到交点坐标，再根据两直线图象位置关系，交点右侧一次函数图象更高，得出对应不等式解集． 【详解】解：∵点在直线上，且纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴交点坐标为， 直线的图象在直线上方时，对应的的取值范围， 从图中可知：在交点的右侧，即时，在上方，满足不等式， ∴不等式的解集为． 7. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ） A. 度量四个内角是否相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A选项，四个内角相等的四边形是矩形或正方形，不能判定是菱形，故此方案不可行； B选项，对角线相等的四边形可能是矩形、正方形，也可能是等腰梯形，不能判定是菱形，故此方案不可行； C选项，两条对角线的交点到四个顶点的距离相等，即对角线互相平分且相等，可以判定四边形是矩形，不能判定是菱形，故此方案不可行； D选项，分别沿两条对角线对折，如果对角线两侧的部分每次都完全重合，说明对角形互相垂直且平分，可以证明四边形是菱形，故此方案可行； 故选D． 【点睛】本题考查菱形的判定方法，解题的关键是掌握对角形互相垂直且平分的四边形是菱形． 8. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．先由三角形中位线定理证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论． 【详解】解：若四边形为菱形，则四边形需满足的条件是，理由如下： ，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， 四边形是平行四边形， ，分别是，的中点， ，， 当时， ， 四边形是菱形， 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明出四边形是矩形，再证明出为等边三角形，从而得到，，由勾股定理计算出，最后再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定了，由矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，推出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，，即垂直平分， ， ， ， ， 故选D． 11. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可． 【详解】解：连接，， ∵点E，F分别是，的中点， ∴四边形是矩形， ∴M是的中点， 在正方形中，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 在中，M是的中点，N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键． 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OP，证明四边形OEPF是矩形，得到：，当时，OP的值最小，利用，求出OP的最小值即可， 【详解】解：连接OP， ∵是菱形，∴，即， ∵，， ∴四边形OEPF是矩形， ∴， 当时，OP的值最小， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即EF的最小值为：， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，等面积法，解题的关键是证明，当时，OP的值最小，利用等面积法求出OP的长． 二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 13. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 14. 如图，四边形中，，，，点为线段上一点（点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据根的判别式列出关于m的不等式，求解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则．根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． 整理，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 围栏段的长为， 故答案为：5． 18. 对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键； 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：根据题意：方程即为：， 即， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：． 三．解答题 19. 按要求解题 （1）解不等式组：，并写出它的整数解； （2）因式分解：； （3）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1），整数解为，，，，， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先解出每个不等式，再找到两个解集的公共部分，并求出其中的整数解； （2）先提公因式再用完全平方公式因式分解； （3）先计算括号内的分式减法，再计算分式除法，最后选择使分式有意义的的值代入求值即可． 【小问1详解】 解： 解①得 解②得 ∴ ∴整数解为，，，，，； 【小问2详解】 解： ． ； 【小问3详解】 解： 当时，原式． 20. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ， ， ． 的长为． 21. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是 （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 22. 如图，在中，，，，点在边上，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，；设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当与的面积相等时，求的值； （2）当时，求的面积； （3）直接写出四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先表示出，，然后根据面积相等得到，即可建立方程求解； （2）过点作于点，先根据直角三角形的性质以及勾股定理求解，然后分两种情况讨论求解即可； （3）过点作的对称点，在上取点使得，连接，则，可证明四边形为平行四边形，则，故，则当取得最小值时，四边形的周长取得最小值，由，可得当点三点共线时，的最小值即为，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴平行线间的距离相等， ∵与的面积相等 ∴ ∴ 解得； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴ 当点在点右侧时，则 ∴ ∴ ∴； 当点在点左侧时，则 ∴ ∴ ∴， 综上：的面积为或． 【小问3详解】 解：过点作的对称点，交于点，在上取点使得，此时，连接，则 由（1）知，则， ∴ ∵ ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵ ∴当取得最小值时，四边形的周长取得最小值， ∵， ∴当点三点共线时，的最小值即为， 由对称可得， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期 九年级数学学科练习 （时间：60分钟，满分：100分） 一．选择题（本题满分36分，共有12道小题，每小题3分） 1. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，沿方向平移后，得到，已知，，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ） A. 度量四个内角是否相等 B. 测量两条对角线是否相等 C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 8. 如图，在四边形中，，分别是，的中点，，分别是对角线，的中点，若四边形是菱形，则四边形应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（ ） A. 6 B. C. D. 11. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（　　） A. B. C. 2 D. 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 13. 关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 14. 如图，四边形中，，，，点为线段上一点（点不与点重合），点、分别为、的中点，则长度为__________． 15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________ ． 16. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 17. 如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门．若种植园的面积为，则围栏段的长为_______． 18. 对于实数m、n，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为______． 三．解答题 19. 按要求解题 （1）解不等式组：，并写出它的整数解； （2）因式分解：； （3）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长． 21. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 22. 如图，在中，，，，点在边上，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，；设运动时间为（）．解答下列问题： （1）当与的面积相等时，求的值； （2）当时，求的面积； （3）直接写出四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $