精品解析：山东日照市新营中学2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题

2026—2027学年度上学期阶段性检测 九年级数学试题 一．单选题（每小题3分，共30分） 1. 现有一组由生成的平面绘图作品，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，量角器外缘上有，，三点，且，两点所表示的读数分别是，，则应为（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（ ）． A. B. C. 6 D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为_______ 12. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 13. 已知，是方程的两个根，则________． 14. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 15. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 三．解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 19. 实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 20. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 21. 某校数学小组开展以“喷泉”为主题的项目式学习． 【研究背景】喷泉喷出的水柱路线所在的平面与地面垂直． 【收集数据】某次喷水中，水柱的高度（单位：）和其与喷水口的水平距离（单位：）的对应值如下表． 水平距离 0 2 4 6 … 水柱高度 1 … 【探索发现】水柱路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）与的函数解析式为________． （2）【应用模型】水柱的高度能否达到？请说明理由． （3）保持水柱形状不变（不变），改变喷水角度，使水柱路线的解析式变为．现在距喷水口处有一竖直档板，档板高度为．要求水柱越过档板，且水柱落地点与档板的水平距离小于，求的取值范围． 22. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期阶段性检测 九年级数学试题 一．单选题（每小题3分，共30分） 1. 现有一组由生成的平面绘图作品，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、它既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是掌握平移的性质． 利用函数图象平移性质，即左加右减（横坐标），上加下减（纵坐标），平移不改变的值进行求解即可． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度， 得到的解析式为， 故选：B． 3. 如图，量角器外缘上有，，三点，且，两点所表示的读数分别是，，则应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．由已知条件可得出，，再根据角的和差关系即可得出，最后根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如下图：，两点所表示的读数分别是，， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故选：A 4. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 5. 如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 7. 如图，在边长为的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察网格，求得点，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：观察网格， ∵点， ∴， ∵点、都在反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 8. 如图是的小正方形网格，小正方形的边长为，点和是格点，连接，在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点，点是格点且在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出扇形的半径和圆心角度数，再根据扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由网格可知，，， ，即， 是直角三角形， ， ． 9. 在矩形中， ，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为，当点落在线段的延长线上时，与 相交于点，则线段 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，再证明，设，则根据勾股定理，得，解答即可； 【详解】解：连接， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，，， ，，，， ∵在和中 ， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 设，则 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故的长为：； 10. 抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据是对称点，确定抛物线的对称轴为直线，结合，确定其对称点的横坐标取值范围，再结合，构造不等式组或不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过 四点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵当时，总有成立， ∴或， 解得或． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标为_______ 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的顶点坐标为． 12. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 13. 已知，是方程的两个根，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到方程两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得 ，， 对通分得 ， 将，代入得 原式． 14. 如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】##94度 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，可求出，进而得出，然后利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 15. 在直角中，，，，为射线上一点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，得出，点D在以为直径的圆上运动，当点D在与的交点处时，最短，求出，进而求出结论． 【详解】解：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴点D在以为直径的上运动，当点D在与的交点处时，最短，如图所示， ， ， ， ， ， ∴的最小值为2． 三．解答题（共75分） 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：点关于原点的对称点分别为，描出这三个点，顺次连接，如图，即为所求，点的坐标为； （2） 解：绕点逆时针旋转各对应顶点坐标为，描出这两个点，顺次连接， 如图，即为所求，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的解析式及的面积； （2）根据图象直接写出不等式的解集； 【答案】（1），4 （2）或 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得m的值，将点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求得n的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由函数图象知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围，结合两点的坐标即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 解得：， ∴一次函数为． 如图，记与轴的交点为， ∴， ∵，， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵，， 结合图象可得不等式的解集为：或． 19. 实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． （1）探索规律：求该文创产品平均每次降价的百分率； （2）解决问题：为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【答案】（1） （2）每件应降价36元 【解析】 【分析】（1）若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，据此列方程求解即可． （2）设每件应降价y元，则每天可售出件，根据销售额售价总数量列方程求解，由于要回馈顾客并减少库存，降价较多的解即为答案。 【小问1详解】 解：设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得， 解得 (不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设每件应降价y元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得． 要尽快减少库存， ， 答：每件应降价36元． 20. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：连接、，如图所示， 在和中，， ∴， ∴， ∵与相切于点E， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由证得，得出，即可得出结论； （2）设的半径为，在中利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵与边相切于点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得， 故的半径为. 21. 某校数学小组开展以“喷泉”为主题的项目式学习． 【研究背景】喷泉喷出的水柱路线所在的平面与地面垂直． 【收集数据】某次喷水中，水柱的高度（单位：）和其与喷水口的水平距离（单位：）的对应值如下表． 水平距离 0 2 4 6 … 水柱高度 1 … 【探索发现】水柱路线是抛物线的一部分． 【建立模型】 （1）与的函数解析式为________． （2）【应用模型】水柱的高度能否达到？请说明理由． （3）保持水柱形状不变（不变），改变喷水角度，使水柱路线的解析式变为．现在距喷水口处有一竖直档板，档板高度为．要求水柱越过档板，且水柱落地点与档板的水平距离小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）水柱的高度不能达到，理由如下： ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∴水柱的高度最大高度为， ∴水柱的高度不能达到； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）求出抛物线的顶点坐标，即可； （3）分别求出改变喷水角度后，水柱路线过点和时，k的值，即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意得改变喷水角度后，水柱路线的解析式变为， ∵距喷水口处有一竖直档板，档板高度为， ∴档板的顶端的坐标为， 把点代入得：， 解得：， ∵水柱落地点与档板的水平距离小于， ∴与档板的水平距离为的点坐标为， 把点代入得：， 解得：， ∴k的取值范围为． 22. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ． （2）基本运用 请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题： 如图②，在中，，，E，F为上的点且，求证： （3）能力提升 如图③，在中，，，，O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，勾股定理逆定理得到，进而推出的度数，即可得解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，证明，可得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，易得，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：如图，点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，将绕顶点A逆时针旋转到，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 由勾股定理得，， 即． 【小问3详解】 解：如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接，   ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵绕点B顺时针旋转至， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴四点共线， 在中，由勾股定理得：． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $