3.2.1.1函数的单调性-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦函数的单调性，通过基础巩固与能力提升分层设计，实现从定义理解到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单调性定义判断、简单函数单调区间、二次函数单调性|选择题1-5考查定义与性质，填空题6-8强化符号运算，解答题9-10训练定义证明与应用| |提升层|分段函数单调性、含绝对值函数、抽象函数性质|题1-5结合分段函数与复合函数，拓展题深化抽象函数证明与实际应用，提升逻辑推理能力|

第1课时　函数的单调性 一、选择题 1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．f(x)在R上先增后减 D．f(x)在R上先减后增 2．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 3．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－∞，4] 4．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，则满足不等式f(1－2m)－f(3－m)>0的实数m的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．[－1,0] D． 5．(多选)若函数f(x)＝－x2＋2ax与函数g(x)＝在区间[1,2]上均单调递减，则实数a的取值可能是(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 二、填空题 6．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，对x1<0，x2>0，则f(－x1)与f(－x2)的大小关系是________. 7．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________. 8．已知函数f(x)＝是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝(x≠－2)，f(1)＝，f(0)＝0. (1)求实数a，b的值，并确定函数f(x)的解析式； (2)试用定义证明函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 10．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 1．f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________. 3．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 4．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间及值域． 5．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0. (1)求f(1)的值； (2)求证：f＝f(m)－f(n)； (3)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (4)若f(2)＝1，解不等式f(x＋2)－f(2x)>2； (5)比较f与的大小． 　已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0, ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． (1)已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)已知函数g(x)＝，函数h(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得h(x2)＝g(x1)成立，求实数a的值． 第1课时　函数的单调性参考答案 一、选择题 1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有(　　) A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．f(x)在R上先增后减 D．f(x)在R上先减后增 答案　A 解析　因为定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，所以对任意两个不相等的实数a，b，若a<b，则总有f(a)<f(b)成立．所以f(x)在R上是增函数．故选A． 2．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 答案　A 解析　设任意的x1，x2∈R，且x1<x2，因为函数f(x)在R上是增函数，所以必有f(x1)<f(x2)，所以－f(x1)>－f(x2)，A一定成立；其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立；当a≤0时，D不成立，故选A． 3．若函数f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－∞，4] 答案　D 解析　由题意知，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且图象开口向上，由f(x)＝2x2－ax＋2在区间[1，＋∞)上单调递增，得≤1，即a≤4. 4．已知定义在[1,4]上的函数f(x)是减函数，则满足不等式f(1－2m)－f(3－m)>0的实数m的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．[－1,0] D． 答案　C 解析　由题意，可得f(1－2m)>f(3－m)．因为f(x)在定义域[1,4]上单调递减，所以 解得－1≤m≤0， 所以实数m的取值范围为[－1,0]．故选C． 5．(多选)若函数f(x)＝－x2＋2ax与函数g(x)＝在区间[1,2]上均单调递减，则实数a的取值可能是(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 答案　CD 解析　因为函数g(x)＝在区间[1,2]上单调递减，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以a≤1.故满足题意的实数a的取值范围是(0,1]．故选CD. 二、填空题 6．若y＝f(x)是定义域为R的减函数，对x1<0，x2>0，则f(－x1)与f(－x2)的大小关系是________. 答案　f(－x1)<f(－x2) 解析　因为x1<0，x2>0，所以－x1>－x2，又y＝f(x)是定义域为R的减函数，所以f(－x1)<f(－x2)． 7．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________. 答案　　(－∞，0)和 解析　y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，观察图象知其单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，0)和. 8．已知函数f(x)＝是定义域为R的减函数，则实数a的取值范围是________. 答案　(0,2] 解析　依题意得实数a应满足 解得0<a≤2. 三、解答题 9．已知函数f(x)＝(x≠－2)，f(1)＝，f(0)＝0. (1)求实数a，b的值，并确定函数f(x)的解析式； (2)试用定义证明函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 解　(1)根据题意，f(x)＝(x≠－2)，f(1)＝，f(0)＝0， 则有解得故f(x)＝. (2)证明：根据题意，设x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 又由x1<x2<－2，则(x1＋2)<0，(x2＋2)<0，(x1－x2)<0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 故函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增． 10．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)． 从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5， 所以解得或(不符合题意，舍去)． 所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x＝－. 若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为. 1．f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数可知，一方面满足每一段函数图象是单调递减的，即3a－1<0且－a<0，解得0<a<；另一方面整个函数图象表现为单调递减，需要在分段点处的值满足(3a－1)×1＋4a≥－a×1，即7a－1≥－a，所以a≥.综上，可知≤a<. 2．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________. 答案　和 解析　函数f(x)＝2x2－3|x|＝ 图象如图所示，由图可知f(x)的单调递减区间为和. 3．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________. 答案　[－4,0] 解析　∵f(x)＝x2＋a|x－2|， ∴f(x)＝ 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴ ∴－4≤a≤0， ∴实数a的取值范围是[－4,0]． 4．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)写出f(x)的单调递增区间及值域． 解　(1)f(x)的图象如下图． (2)由图象和解析式可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]和(2,5]，其值域为[－1,3]． 5．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0. (1)求f(1)的值； (2)求证：f＝f(m)－f(n)； (3)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (4)若f(2)＝1，解不等式f(x＋2)－f(2x)>2； (5)比较f与的大小． 解　(1)令m＝n＝1，由条件f(1)＝f(1)＋f(1)⇒f(1)＝0. (2)证明：f(m)＝f＝f＋f(n)， 即f＝f(m)－f(n)． (3)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则>1. 由(2)得f(x2)－f(x1)＝f>0，即f(x2)>f(x1)， 故f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (4)由于f(2)＝1，∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4)， f(x＋2)－f(2x)>2⇔f(x＋2)>f(2x)＋f(4)⇔f(x＋2)>f(8x)． 又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴解得0<x<. 故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为. (5)∵＝f(mn)， f＝ ＝f， ∵2－mn＝2≥0， ∴2≥mn(当且仅当m＝n时取等号)． 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f≥f(mn)． ∴f≥. 　已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0, ]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． (1)已知函数f(x)＝x＋，x∈[1,3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)已知函数g(x)＝，函数h(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得h(x2)＝g(x1)成立，求实数a的值． 解　(1)由已知可得，函数f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， 故f(x)min＝f(2)＝2＋2＝4， 又f(1)＝1＋4＝5，f(3)＝3＋＝， f(1)>f(3)，所以f(x)max＝f(1)＝5， 所以函数f(x)的单调递减区间是[1,2]，单调递增区间是[2,3]，值域为[4,5]． (2)g(x)＝＝2x＋1＋－8， 设u＝2x＋1，因为x∈[0,1]，所以1≤u≤3， 则g(u)＝u＋－8， 由已知性质，得 当1≤u≤2，即0≤x≤时，g(x)单调递减，所以其单调递减区间为； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，g(x)单调递增，所以其单调递增区间为； 由g(0)＝－3，g＝－4，g(1)＝－，得g(x)的值域为[－4，－3]． 因为h(x)＝－x－2a为减函数， 故h(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]． 根据题意可得g(x)的值域为h(x)值域的子集， 从而有所以a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $