3.2.1.1函数的单调性-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用拓展，通过梯度化设计实现函数单调性知识的螺旋式巩固，适配新授课教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级基础练习|单调区间判断、基本函数单调性、简单含参问题|多选题结合图象辨析（如第1题），基础计算（如第6题求参数），培养数学眼光与运算能力| |B级拔高提升|综合含参单调性、抽象函数性质、证明与应用|抽象函数证明（如第11题），综合参数讨论（如第8题），发展逻辑推理与数学表达能力|

3.2.1.1　函数的单调性 A级 基础练习 1.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为 (　　) A.[-4,-2] B.[-3,-1] C.[-4,0] D.[1,4] 2.(多选题)下列函数中,在R上是增函数的是(　　) A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y= 3.函数y=f(x)为定义在R上的增函数,若t≠0,则下列选项正确的是(　　) A.f(t)>f(2t) B.f(t2)>f(t) C.f(t2+t)>f(t) D.f(t2+t)>f(t+1) 4.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则(　　) A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3) C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2) 5.(2026浙江温州期中)已知函数f(x)=2x2-kx+1在区间[2,4]上单调,则实数k的取值范围是(　　) A.(8,16) B.[8,16] C.(-∞,8)∪(16,+∞) D.(-∞,8]∪[16,+∞) 6.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减,则m=　　　　,f(1)=　　　　　.  7.已知函数f(x)=若f(x)在R上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　.  B级 拔高提升 8.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)]·(x1-x2)>0,则实数a的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.[,+∞) C.[,+∞) D.(,+∞) 9.(多选题)下列命题正确的是(　　) A.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则函数y=f(x)在R上是增函数 B.若对于∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有>-1,则函数y=f(x)+x在R上是增函数 C.若对于∀x∈R,都有f(x+1)>f(x)成立,则函数y=f(x)在R上是增函数 D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增函数,则函数y=f(x)g(x)在R上也是增函数 10.(例4对点题) 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3] B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.[5,+∞) 11.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0,f(4)=1. (1)求证:f(1)=0; (2)求f()的值; (3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1. 参考答案 1.AD　由题图可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减, ∴f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选AD. 2.BD　选项A,y=|x|,当x<0时单调递减,不符合题意;选项B,显然在R上是增函数,符合题意;选项C,y=x2,当x<0时单调递减,不符合题意;选项D,作出草图如图,实线部分,观察图象可得函数在R上为增函数,符合题意. 3.C　因为函数y=f(x)为定义在R上的增函数,所以当t>0时,t<2t,f(t)<f(2t),故A错误;当t=1时,t2=t,f(t2)=f(t),故B错误;当t≠0时,t2+t>t,f(t2+t)>f(t),故C正确;当0<t<1时,t2+t<t+1,f(t2+t)<f(t+1),故D错误.故选C. 4.A　定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减. ∵1<2<3,∴f(3)<f(2)<f(1),故选A. 5.D　f(x)=2x2-kx+1的图象为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=.由题意≤2或≥4,解得k≤8或k≥16. 故选D. 6.-8　13　∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x==-2, ∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13. 7.[1,]　由函数f(x)=在R上是增函数,得解得1≤a≤, 所以实数a的取值范围是[1,]. 8.C　由任意x1,x2∈[2,+∞),且任意x1<x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,得函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,又函数f(x)为二次函数,故其开口向上,且对称轴在区间[2,+∞)的左侧,即解得a≥.故选C. 9.AB　x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)化简为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故函数f(x)在R上是增函数,故A正确;>-1⇔>0,即x1<x2时,f(x1)+x1<f(x2)+x2,则函数y=f(x)+x在R上是增函数,故B正确;C选项中,令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数,满足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数,如f(1.2)=f(1.5),故C错误;D选项中,令f(x)=g(x)=x,但函数y=f(x)g(x)=x2在R上不是单调函数,故D错误.故选AB. 10. A 解析 ∵二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为直线x= =-(a-1)=1-a,抛物线开口向上, ∴函数在(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,则1-a≥4,解得a≤-3. 11.(1)证明 令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1), 所以f(1)=0. (2)解 令y=,则f(x)+f()=f(1)=0, 所以f()=-f(x). 令x=y=4,则f(16)=2f(4)=2, 所以f()=-f(16)=-2. (3)解 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则>1, 所以f()>0, 所以f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f(x2·)=f()>0,即f(x2)>f(x1), 所以f(x)在(0,+∞)内单调递增. 由f(x)+f(x-3)≤1,可得f[x(x-3)]≤f(4), 所以解得3<x≤4. 故所求不等式的解集为{x|3<x≤4}. 学科网（北京）股份有限公司 $