贵州省镇宁民族中学2026-2027学年高二上学期开学评价考试数学试题

**基本信息** 镇宁高中高二开学考数学卷聚焦向量、概率统计、立体几何等核心模块，通过基础题与综合题的梯度设计，精准检测暑期知识掌握情况，适配开学初学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量运算、百分位数、复数虚部|基础概念直接考查，强化抽象能力| |多选|3/18|频率分布直方图、向量垂直与夹角|选项分层设计，培养批判性思维| |填空|3/15|复数共轭、条件概率、球内接几何体|聚焦易错点，提升空间观念| |解答|5/77|向量夹角、世园会志愿者概率、面包质量统计、解三角形、四棱台证明与计算|情境真实（如世园会），综合考查数据意识与推理能力，贴合高考命题趋势|

镇宁高中教育集团2026--2027学年第一学期 开学考评价试题 高二年级 数学 满分： 150 分 时间： 120 分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 2．（5分）样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（    ） A．5 B．4 C． D．3 3．（5分）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 10．（6分）已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若 ，则的值为5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 11．（6分）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数z满足，其中是虚数单位，则z的共轭复数_________． 13．已知，为两个随机事件，，，若，则__________． 14．已知点均在半径为3的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 16．（15分）（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 17．（15分）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 18．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 19．（17分））如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇宁高中教育集团2026-2027学年第一学期高二年级开学考评价考试 数学答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·广东湛江·阶段检测）设向量，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·甘肃定西·期末）样本数据，，，，，，，的第70百分位数为（    ） A．5 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据第百分位数的概念，求出一列数字的第70百分位数即可. 【解答过程】样本数据由小到大排列为，，，，，，，，共8个数字， 因为，所以第70百分位数为第6个数字，即. 故选：B. 3．（5分）（24-25高一下·江苏常州·期末）设复数（为虚数单位），则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】，再根据复数的除法和乘法运算计算得，进而得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以复数的虚部是1， 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【解答过程】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 5．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【解答过程】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高， 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 6．（5分）（24-25高三下·贵州遵义·阶段检测）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用列举法求古典概型的概率即可. 【解答过程】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D. 7．（5分）（24-25高一下·安徽安庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用余弦定理化简求得，且，，再由余弦定理，列出方程，求得的值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】因为，可得，解得， 又因为，可得，， 因为，由余弦定理， 即，解得， 所以. 故选：B. 8．（5分）（24-25高一下·河北雄安·期末）在直三棱柱中，，，．E是的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先证平面，再由棱锥的体积公式求得，根据已知并应用等体积法求到平面的距离，结合即可求正弦值. 【解答过程】由平面，平面，则，又， 由，且都在平面内，则平面， 所以， 由题设，可得，，则， 所以，则， 令到平面的距离为，则，可得， 而，所以直线AE与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·吉林长春·期末）在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【解题思路】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【解答过程】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为 ， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 10．（6分）（25-26高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若 ，则的值为5 C．若，则 D．若，则与的夹角为 【答案】AC 【解题思路】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【解答过程】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若 ，则，解得，则， 所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. 故选：AC． 11．（6分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（    ） A．，，三点共线 B．平面 C．直线与平面所成角为 D．平面和平面夹角为 【答案】ABC 【解题思路】利用正方体的结构特征，结合平面基本事实、线面垂直的判定推理判断AB；利用线面角及面面角的几何法求解判断CD. 【解答过程】在正方体中，连接，由为的中点，得是的中点， 对于A，，平面，而，则平面， 而平面，平面，且平面平面， 所以 ，即，，三点共线，A正确； 对于B，由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 又平面，所以，同理， 而平面，因此平面，B正确； 对于C，连接，令交点为，连接，由选项B，同理平面， 则是直线与平面所成的角， 所以，所以， 因此直线与平面所成角为，C正确； 对于D，由选项B得，则是平面和平面夹角， 而平面，则，，D错误. 故选：ABC. 12． 【分析】先通过复数代数形式的四则运算求出复数，再根据共轭复数的定义得到结果. 【详解】对已知等式变形可得 ， 所以的共轭复数. 13．/ 【分析】根据随机事件的包含关系可得，直接代入的取值即可求解.或根据也可求解. 【详解】已知随机事件满足，则,； 方法1：由并事件的等价性，直接得; 方法2：对任意随机事件，有， 代入、、， 得. 14． 【分析】利用球的内接三棱锥，得到球的半径与三棱锥棱长的关系，再利用余弦定理求解的长度即可. 【详解】依题意，将三棱锥补全为正三棱柱. 该三棱锥外接球球心恰为正三棱柱上下底面的中心连线的中点， 设的外接圆圆心为，外接圆半径为， 则，解得， 设外接球球心离底面的高度为， 在中，则，所以. 所以. 15．（13分）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【解答过程】（1）∵，且与夹角为， ∴， ∴； （2）， ∴. 16．（15分）（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【解答过程】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 17．（15分）（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） (2)若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． （2）解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 18．(1) (2)12 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 由两角和的正弦公式得， 可得，即， 在中，可得，得到， 又因为，所以. （2）由三角形面积公式得， 解得，由余弦定理得， 化简得，而，， 故的周长为 19．(1)证明：如图所示，连接．               因为、分别为、中点，所以，      又因为平面，平面，所以平面． (2)证明：因为底面，底面，所以． 在正方形中，，              因为平面，所以平面，         又因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）利用以及线面平行的判定定理证明； （2）利用线面垂直的定义以及面面垂直的判定定理证明； （3）先求证即为二面角的平面角，再利用等体积思想计算点C到平面的距离即可计算. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为平面，平面，所以，，                            所以即为二面角的平面角，即；            因为正方形的边长为2，所以，，           因为底面，平面，所以， 又因为是的中点，所以在中， 则为等腰三角形，故；                   在中，； 设点C到平面的距离为h， 由，，得，        即为等腰三角形，底边上的高为， 所以；                          因为，所以， 由，得，得.                              设与平面所成角为，则，             即与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $