精品解析：辽宁鞍山市铁西区2026-2026学年上学期九年级数学九月学情调查试题

九年级数学学情调查（九月） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 下列图形中，是中心对称图形而非轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 若，则下列各式中正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三个基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．首先由已知条件推导得出，再根据不等式的性质逐一分析各选项即可判断对错． 【详解】解：， ． 对于选项A：取特殊值，，满足，但，与矛盾，故A选项错误； 对于选项B：根据不等式性质1，两边同时减去9，不等号方向不变， ，故B选项错误； 对于选项C：根据不等式性质1，两边同时加上，不等号方向不变， ，即，故C选项正确； 对于选项D：根据不等式性质3，两边同时乘以(负数)，不等号方向改变， ，故D选项错误． 故选：C． 4. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴求的算术平方根即求4的算术平方根， ∵， ∴的算术平方根是2． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误． 选项B，与不一定相等，运算错误． 选项C，，运算错误． 选项D，，运算正确． 6. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：由作图得，选项A中点M在的平分线上， ∴点到，两边距离相等，符合题意； 选项B，C，D中点M不在的平分线上，不符合题意． 7. 已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先确定平移方式，然后求解即可 【详解】解：∵点的对应点为， ∴平移时横坐标减3，纵坐标加4. ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 即的坐标为. 8. 学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列不等式即可 【详解】解：∵分钟， ∴总用时需小于8分钟， ∵步行路程为米， ∴小跑路程为米， ∴小跑时间为分钟， ∴总时间为分钟， ∴所列不等式为 ． 9. 点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【详解】解：将点先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到点，结合图象，可知点符合题意． 10. 如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，先利用角平分线定理和勾股定理求解的长度，再由含的特殊直角三角形计算得到的长度． 【详解】如图，过作于，则， ， ，． 平分，，， ． ， ， ， ， ， ， ． ，， ． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题为分式方程，先去分母转化为一元一次方程求解，最后检验分母是否为零即可得到结果． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得：； 展开括号得：； 移项合并同类项得：； 系数化为得：； 检验：当时， 因此是原方程的解． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 14. 如图，公园花坛是正多边形，小明在路边发现公园花坛被圆形装饰物遮住．若将正多边形的两边延长交于点，测量出，则正多边形的边数________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求出每一个外角的度数，再根据外角和为解答即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵公园花坛是正多边形， ∴， ∴． 15. 如图，已知在中，，，，点在直线上运动，以为边作等边三角形，连接，在点运动过程中，的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接，由勾股定理可求得，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是． 【详解】解：如图所示，以为边在右侧作等边，并作，垂足为点H，连接， ∵在中，，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∵当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值是2． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中是满足的整数． 【答案】（1） （2）；时， 【解析】 【分析】（1）先解不等式①，再解不等式②，最后根据同小取小求出解集即可； （2）先化简得出结果为，再根据的取值范围和分式有意义的条件，得出，代入求值即可． 【小问1详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 【小问2详解】 解： ； ∵是满足的整数，且，且，且， ∴， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请画出； （2）是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 18. 新定义：我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“正缘解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． （1）组合是“________”（填“正缘解”或“无缘解”） （2）若关于的组合是“正缘解”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘解”，求的取值范围． 【答案】（1）正缘解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，然后根据“正缘解”和“无缘解”的定义判断即可； （2）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解，得出关于m的不等式，解不等式即可； （3）先分别求出一元一次方程以及一元一次不等式的解，再根据一元一次方程的解不是一元一次不等式的解，得出关于n的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：由一元一次方程得：， 由一元一次不等式得：， ∵一元一次方程的解是一元一次不等式的解， ∴组合是“正缘解”； 【小问2详解】 解：， 解一元一次方程得， 解一元一次不等式得， ∵关于的组合是“正缘解”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， 解一元一次方程得：， 解一元一次不等式得：， ∵关于的组合是“无缘解”， ∴， 解得：． 19. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从千问、豆包两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 千问人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 豆包人工智能软件在C组内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 千问 豆包 豆包人工智能软件得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若本次调查有800名用户对千问人工智能软件进行了调查评分，有1000名用户对豆包人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从千问软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为87，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为________． 【答案】（1），， （2）估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义、百分比的意义求解即可； （2）用样本估计总体即可； （3）根据中位数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵千问人工智能软件10个得分数据中，从小到大排列后，中位数为第5个和第6个数之和的平均数， ∴中位数， ∵千问人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， ∴众数， ∵豆包人工智能软件得分数据中：共10个数据， ∴A组有（个），B组有（个）， ∴豆包人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， ∴中位数． 【小问2详解】 解：（名）， ∴估计估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数约为520名． 【小问3详解】 解：∵新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为87， ∴新抽取的5个用户评分从小到大排列后第3个是87分，即有两个评分低于87分，有两个评分高于87分， ∵千问人工智能软件原得分从小到大排列的第4个和第5个都是85， ∴合在一起的15个评分中，第8个是87，即中位数为87． 20. 如图，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得到，；可证明；由平行四边形的性质得到，则可得到，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，； 由（1）得， ∴， ∴； 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 易乐嘉超市常年售卖苏打水和椰子水，并根据季节销量调整进货数量．已知苏打水进价元/瓶，售价元/瓶；椰子水进价元/瓶，售价元/瓶． （1）超市第一次购进两种饮品共瓶，全部进货总成本为元，求超市第一次购进苏打水和椰子水各多少瓶？ （2）结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共瓶，为控制成本，进货总费用不超过元， ①求第二次最多可购进椰子水多少瓶？ ②若第二次购进的两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1）超市本次购进苏打水瓶，椰子水瓶 （2）①第二次最多可购进椰子水瓶；②最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设超市第一次购进苏打水x瓶，椰子水y瓶，根据购进两种饮品共瓶，全部进货总成本为元，列出方程组，解方程组即可； （2）①设第二次可购进椰子水m瓶，则购进苏打水瓶，根据进货总费用不超过元，列出不等式，解不等式即可； ②设两种饮品全部售完，超市能获得的利润为w元，根据题意得出，再根据一次函数的性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设超市第一次购进苏打水x瓶，椰子水y瓶，根据题意得： ， 解得：， 答：超市第一次购进苏打水瓶，椰子水瓶； 【小问2详解】 解：①设第二次可购进椰子水m瓶，则购进苏打水瓶，根据题意得： ， 解得：， 答：第二次最多可购进椰子水瓶； ②设第二次购进的两种饮品全部售完，超市能获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最大值，且最大值为：（元）， 即超市能够获得的最大利润是元． 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． （1）求点坐标及一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）在轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若一次函数的图象与轴交于点，连接，补全图形，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】（1），； （2）8 （3）存在，点P的坐标为或 （4）不是直角三角形 理由：如图，连接， 当时，，解得， ， ，， ，，， ， 不是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）将点C横坐标代入求出纵坐标，即可得到C点坐标；利用待定系数法，求解解析式； （2）先求出点A坐标，得到长度，再以为底、点C横坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式求解． （3）利用三角形面积公式即可求得； （4）先求出点D的坐标，根据两点间距离公式求出、、，然后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ， ， ，即中边上的高为2， ． 即的面积为8； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设P点坐标为， ， ， ， ， ， 或， 解得或， 点P的坐标为或； 【小问4详解】 略 23. 结合图形，解决问题 （1）在中，，，为的角平分线．点为延长线上的一点，点为直线上的一点， ①如图，若．求证：是等腰三角形； ②如图，连接、、，若垂直平分，，，求的长； （2）如图，，点、点、点在一条直线上，点在上，点、点关于点对称，连接，取中点，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）①证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②3 （2）解：猜想，证明如下： 如图3所示，过点E作交的延长线于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵点、点关于点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，据此可得是等腰三角形；②过点D作于点T，由角平分线的性质得到，证明，得到；证明，得到，设，则，即可得到，据此可得答案； （2）过点E作交的延长线于点P，证明，得到，，证明，得到，根据，可得． 【小问1详解】 ①略； ②解：如图2所示，过点D作于点T， ∴； ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调查（九月） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 下列图形中，是中心对称图形而非轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列各式中正确的是(　　) A. B. C. D. 4. 的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 学校组织社团活动，小徐要从教室前往社团活动室，两地路程是米，她从教室出发，先以米/分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以米/分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ） A. B. C. D. 9. 点在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标对应的点可能是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在中，，，点在延长线上且，平分，分别交、于点、．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 方程的解为________． 13. 因式分解：________． 14. 如图，公园花坛是正多边形，小明在路边发现公园花坛被圆形装饰物遮住．若将正多边形的两边延长交于点，测量出，则正多边形的边数________． 15. 如图，已知在中，，，，点在直线上运动，以为边作等边三角形，连接，在点运动过程中，的最小值为________． 三．解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中是满足的整数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． （1）与关于原点成中心对称，请画出； （2）是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； （3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 18. 新定义：我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“正缘解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘解”． （1）组合是“________”（填“正缘解”或“无缘解”） （2）若关于的组合是“正缘解”，求的取值范围； （3）若关于的组合是“无缘解”，求的取值范围． 19. 随着科技的发展，人工智能已然走进了人们的生活，现从千问、豆包两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10位用户得分的数据进行整理分析，共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： 千问人工智能软件得分数据：64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 豆包人工智能软件在C组内的所有得分数据：88，88，89，90． 两款人工智能软件得分统计表： 软件 平均数 中位数 众数 方差 千问 豆包 豆包人工智能软件得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）若本次调查有800名用户对千问人工智能软件进行了调查评分，有1000名用户对豆包人工智能软件进行了评分，请估计其中对两款人工智能软件非常满意的总用户数； （3）为了使样本数据更精确地反映总体情况，从千问软件调查得分中又随机抽取5个用户进行统计，若新抽取的5个用户评分均为整数且互不相同，中位数为87，则两次抽取的共15个用户评分的中位数为________． 20. 如图，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图，连接，若，，，求． 21. 易乐嘉超市常年售卖苏打水和椰子水，并根据季节销量调整进货数量．已知苏打水进价元/瓶，售价元/瓶；椰子水进价元/瓶，售价元/瓶． （1）超市第一次购进两种饮品共瓶，全部进货总成本为元，求超市第一次购进苏打水和椰子水各多少瓶？ （2）结合季节销量，超市计划第二次购进两种饮品共瓶，为控制成本，进货总费用不超过元， ①求第二次最多可购进椰子水多少瓶？ ②若第二次购进的两种饮品全部售完，超市能获得的最大利润是多少元？ 22. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． （1）求点坐标及一次函数的函数解析式； （2）求的面积； （3）在轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若一次函数的图象与轴交于点，连接，补全图形，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 23. 结合图形，解决问题 （1）在中，，，为的角平分线．点为延长线上的一点，点为直线上的一点， ①如图，若．求证：是等腰三角形； ②如图，连接、、，若垂直平分，，，求的长； （2）如图，，点、点、点在一条直线上，点在上，点、点关于点对称，连接，取中点，连接，过点作，垂足为，延长交于点，连接，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $