精品解析：辽宁沈阳市第一二六中学2026-2027学年上学期开学考试九年级数学试题

九年数学练习题 一．选择题（共10小题，每小题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 2. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 5. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点，延长到点，使，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 已知，则________． 12. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 14. 某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 16. 如图，在中，，，，则的长为________． 三．解答题（共8小题） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 18. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 20. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 21. 如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则 ． 23. （1）【问题呈现】如图1，和是等边三角形，连接，，，延长交直线于点，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，已知，求证：； （3）【尝试应用】如图3，在和中，，，与相交于点．点在边上，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学练习题 一．选择题（共10小题，每小题2分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6，2 B. 1，， C. 0，， D. 1，，2 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【详解】解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 3. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 四条边都相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分， 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 4. 下列各组线段中，、、、成比例的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 5. 某厂一月份生产产品50台，计划一、二、三月份共生产产品200台，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，解题思路为根据增长率分别表示出二月和三月的产量，再结合三个月的总产量列出方程． 【详解】解：设二、三月份平均每月增长率为， ∵一月份生产产品50台， ∴二月份产量为台， 三月份产量为台 ∵一、二、三月份共生产产品200台， ∴可列方程． 6. 如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点，延长到点，使，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，证明四边形是平行四边形得，进而可证B正确，无法证明A，C，D正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故B正确； 无法证明，，，故A，C，D不一定正确． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 9. 如图，在边长为4的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，分别是和的中点，即可得到是的中位线，故的长即为的长的一半，在中，根据勾股定理求得的长，即可得出结论． 【详解】解：在边长为4的正方形中，，分别为，的中点， ，， 在中，, 点，分别是和的中点， 是的中位线， ． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题3分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将，，都用参数表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解： ， ． 12. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明，得出，，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 14. 某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【解析】 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的面积求出对角线的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，在菱形中， ∴． 16. 如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用 的条件，在 边上构造等腰三角形，将角度关系转化为边长关系；通过勾股定理建立方程求解垂线段长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求  的长． 【详解】：设  ， ∵， ∴， 在  上取点，使得， ∴， ∵ 是的外角 ， ∴， ∵，  ∴， ∴， ∵，  ∴， ∴ ； 过点作 于点  ，设 ， 在 中，， 在 中， ， ∴， ∴， 解得 ，即  ， ∴； ∵，，三点共线 ， ∴ ， 在中，∵， ∴． 三．解答题（共8小题） 17. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 因式分解： ； 【小问2详解】 解： 配方法： ． 18. 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【解析】 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，与相交，交点即为点，连接，则即为中线．由可得，那么即为中线． （2）根据位似图形的性质画图即可; 【小问1详解】 解：如图所示，中线即为所求： 【小问2详解】 如图所示，即为所求： 20. 已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【解析】 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 21. 如图，在平行四边形中，连接，，过点作，与的延长线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为120，与的和34，求的长（其中）． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，结合，可得，从而可得结论； （2）由菱形的性质可得，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为120，与的和34， ∴，， ∴，， ∴， ∴. 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点，作直线．动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式： （2）当点P在线段上运动时，连接，求面积的最大值； （3）当时，抛物线的最大值为3，则 ． 【答案】（1）抛物线解析式为，直线解析式为 （2） （3）m的值为3或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式、二次函数与面积综合等知识点，掌握分类讨论思想以及灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；  （2）先用m表示出，然后用含m的式子表示出的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值即可； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的m值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为，与y轴交于点， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，得：， 解得：， ∴B点坐标为， 设直线解析式为，将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC解析式为． 【小问2详解】 解：∵轴，点P的横坐标为m， ∴， ∵P在线段上运动， ∴M点在N点上方， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：抛物线，其对称轴为直线， ①当，即时，在上，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得或1（不合题意，舍去）； ②当，即时，在上，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值3， ∴， 解得（不合题意，舍去）或； ③当，即时，当时，y有最大值，这种情况不存在； 综上所述，m的值为3或． 23. （1）【问题呈现】如图1，和是等边三角形，连接，，，延长交直线于点，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为_____________； （2）【类比探究】如图2，已知，求证：； （3）【尝试应用】如图3，在和中，，，与相交于点．点在边上，，若，求的值． 【答案】（1）； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理； （1）先证明，得到，再由，得到； （2）由，得到，，即可推出，得到； （3）连接，先证明，得到，，由，得到，设，则，，，再证明，得到，求出，，再证明得到，再根据求出，代入求解即可． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）连接， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，整理得， 设，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $