第1章 勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题讲义-2026-2027学年上学期北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义通过考点目录表格与结构化解析构建勾股定理知识体系，系统梳理证明方法（赵爽弦图、总统证法等）和构造图形解题类型（作高、弦图、网格等），用步骤化描述呈现面积法核心思想与转化思路，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“面积法证明”与“构造直角三角形”的方法指导，如赵爽弦图面积推导、梯子问题抽象建模等例题，培养几何直观与推理意识。变式训练分层设计，基础题巩固方法，综合题提升应用能力，助力学生自主复习，为教师实施精准教学提供支持。

勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题讲义 勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题讲义 考点目录 勾股定理的证明方法 用勾股定理构造图形解决问题 考点一 勾股定理的证明方法 【知识点解析】 一、核心知识点 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长为 、，斜边长为 ，则 。 所有证明方法的核心思想都是面积法：将边长的平方对应为正方形的面积，通过对同一图形用不同方式计算面积，建立面积恒等式，经过代数化简推导出三边的平方关系，是数形结合思想的经典体现。 二、经典证明方法 1. 赵爽弦图证法（中国古代证法） · 图形构造：用四个全等的直角三角形，围成一个边长为 的大正方形，中间空出一个小正方形（称为“弦实”）。 · 边长对应：直角三角形的直角边为 、（），斜边为 ；中间小正方形的边长为 。 · 面积推导： 大正方形的面积有两种表达方式： ① 直接由边长计算：； ② 分解为4个直角三角形与中间小正方形的面积和： · 联立等式：， 化简得：。 · 特点：以内弦图为基础，通过分割拼接实现面积恒等，是中国古代数学的经典成果。 2. 总统证法（加菲尔德证法） · 图形构造：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，拼接成一个直角梯形。 · 边长对应：直角三角形直角边为 、，斜边为 ；梯形的上底为 ，下底为 ，高为 ；中间等腰直角三角形的直角边为 。 · 面积推导： 梯形的面积有两种表达方式： ① 梯形面积公式：； ② 分解为三个三角形的面积和： · 联立等式：， 两边同乘2并展开：， 化简得：。 · 特点：用梯形替代正方形，结构更简洁，本质仍是面积恒等法。 3. 割补拼接证法（毕达哥拉斯证法） · 图形构造：在直角三角形的三条边上分别向外作正方形，两个直角边上的正方形通过割补、平移，可恰好拼接成斜边上的正方形。 · 原理：利用“同底等高的平行四边形面积相等”，将正方形的面积转化为等底等高的平行四边形面积，再通过旋转、平移，对应到斜边上正方形的对应部分，证明两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。 · 结论：两个直角边上正方形的面积和等于斜边上正方形的面积，即 。 · 特点：直观体现“边长平方对应正方形面积”的几何意义，是几何直观证明的代表。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 例3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 变式2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 变式3．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 考点二 用勾股定理构造图形解决问题 【知识点解析】 一、核心知识点 当题目中没有现成的直角三角形，或线段的平方关系无法直接应用时，通过作辅助线、拼接图形、展开表面等方式，构造出包含目标线段的直角三角形，将目标线段作为直角边或斜边，利用勾股定理建立关系求解，核心是转化思想：将非直角问题转化为直角三角形问题。 二、常见构造类型与解题思路 1. 作高构造直角三角形（最通用） · 应用场景：一般三角形（锐角、钝角）、等腰三角形、多边形的边长计算，已知部分边和角，求未知边长。 · 构造方法：过三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，将原三角形分割为两个共高的直角三角形，公共高为两个直角三角形的公共边。 · 解题思路： ① 设公共高的长度为未知数； ② 分别在两个直角三角形中，用勾股定理表示出底边的两段长度； ③ 根据底边总长度（或两段的和差关系）列方程； ④ 解方程求出高，再进一步求解目标边长。 · 注意：钝角三角形中，钝角边上的高在三角形外部，需延长对边再作高，避免遗漏外部情形。 2. 构造弦图解决问题 · 应用场景：题目中出现正方形、等腰直角三角形，或线段的平方和、平方差关系，求边长、面积。 · 构造方法：根据已知的正方形或直角三角形，补全为赵爽弦图结构，将已知线段对应为弦图中的直角边、斜边或小正方形边长。 · 解题思路： ① 识别正方形与直角三角形的组合特征； ② 通过旋转、平移，构造完整的内弦图或外弦图； ③ 利用弦图的边长关系、面积关系，结合勾股定理建立等式，求解未知量。 3. 网格中构造图形 · 应用场景：方格纸中构造指定长度的线段、指定面积的正方形，或验证勾股定理。 · 构造原理：网格的格线互相垂直，天然形成直角；每个小方格的边长为单位长度，可作为直角边，利用勾股定理构造出长度为无理数的线段。 · 解题思路： ① 对于长度 的线段，将 拆分为两个正整数的平方和（如 ）； ② 以这两个整数为横向、纵向格数，连接对应格点，得到的线段长度即为所求； ③ 构造正方形时，以该线段为边，利用垂直关系确定其余顶点。 4. 实际问题中构造直角三角形 · 应用场景：航海问题、梯子问题、旗杆问题、隧道问题、最短路径问题等实际场景。 · 构造方法：将实际场景抽象为几何模型，找到竖直、水平的垂直关系，或通过作垂线，构造出直角三角形，将实际长度对应为三角形的边长。 · 解题思路： ① 提炼实际问题中的垂直关系与已知长度； ② 抽象出直角三角形，明确直角边、斜边对应的实际量； ③ 代入勾股定理计算未知量，还原为实际问题的答案。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 例4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 例5．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 变式4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 变式5．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题讲义 勾股定理的证明方法、用勾股定理构造图形解决问题讲义 考点目录 勾股定理的证明方法 用勾股定理构造图形解决问题 考点一 勾股定理的证明方法 【知识点解析】 一、核心知识点 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长为 、，斜边长为 ，则 。 所有证明方法的核心思想都是面积法：将边长的平方对应为正方形的面积，通过对同一图形用不同方式计算面积，建立面积恒等式，经过代数化简推导出三边的平方关系，是数形结合思想的经典体现。 二、经典证明方法 1. 赵爽弦图证法（中国古代证法） · 图形构造：用四个全等的直角三角形，围成一个边长为 的大正方形，中间空出一个小正方形（称为“弦实”）。 · 边长对应：直角三角形的直角边为 、（），斜边为 ；中间小正方形的边长为 。 · 面积推导： 大正方形的面积有两种表达方式： ① 直接由边长计算：； ② 分解为4个直角三角形与中间小正方形的面积和： · 联立等式：， 化简得：。 · 特点：以内弦图为基础，通过分割拼接实现面积恒等，是中国古代数学的经典成果。 2. 总统证法（加菲尔德证法） · 图形构造：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，拼接成一个直角梯形。 · 边长对应：直角三角形直角边为 、，斜边为 ；梯形的上底为 ，下底为 ，高为 ；中间等腰直角三角形的直角边为 。 · 面积推导： 梯形的面积有两种表达方式： ① 梯形面积公式：； ② 分解为三个三角形的面积和： · 联立等式：， 两边同乘2并展开：， 化简得：。 · 特点：用梯形替代正方形，结构更简洁，本质仍是面积恒等法。 3. 割补拼接证法（毕达哥拉斯证法） · 图形构造：在直角三角形的三条边上分别向外作正方形，两个直角边上的正方形通过割补、平移，可恰好拼接成斜边上的正方形。 · 原理：利用“同底等高的平行四边形面积相等”，将正方形的面积转化为等底等高的平行四边形面积，再通过旋转、平移，对应到斜边上正方形的对应部分，证明两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。 · 结论：两个直角边上正方形的面积和等于斜边上正方形的面积，即 。 · 特点：直观体现“边长平方对应正方形面积”的几何意义，是几何直观证明的代表。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（c为斜边）． （1）请利用“赵爽弦图”证明结论：（为斜边）． 【动手试一试】 （2）现有三边长为的直角三角形若干个，边长为的等腰直角三角形若干个（如右图）拼成一个四边形，两种类型三角形都需要用上，三角形使用个数不限． （3）用其中一个图形证明（提示：用面积法） 【答案】 （1）证明：根据题意，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，每个直角三角形的面积为， 根据题意，得， 故． （2）根据题意，拼图如下： （3）证明：设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． 【分析】（1）根据正方形的面积，完全平方公式，图形面积的性质证明即可． （2）根据题意，拼图解答即可． （3）根据题意，利用面积法证明即可． 本题考查了勾股定理的证明，面积的性质，熟练掌握证明是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 例2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，垂足分别为，，且． (1)求证：； (2)若，，，连接，，利用不同方法计算四边形的面积，证明勾股定理． 【答案】(1) 证明：，， ． 在中，． ， ． 在和中， ． ，． ， ． (2) 解：， ，，． ， ， ， 即． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定方法，以及等积法证明勾股定理是解题的关键： （1）证明，得到，，再根据线段的和差关系即可得证； （2）根据和两种方法，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． (2) 证明：； ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．黄老师在讲授勾股定理的证明时，让同学们准备两个全等的直角三角形纸片，通过动手操作探究勾股定理的证明方法： 方案 勾股定理的证明方法探究 任务与思路 总统证法 美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明． （1）根据阅读内容，图中梯形的面积用两种方法表示分别为______和______． （2）根据（1）中的结果，写出证明过程． 常春证法 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点落在上，点与点重合，斜边与斜边交于点，连接，． 由全等的性质可得：，，，由可得； 利用得， 化简得． 拓展 将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且，，．点、都落在上，斜边与斜边交于点，连接，，． （3）同上，易得，请用等面积法利用左图证明勾股定理． 【答案】（1），； （2）证明：， ， ， ， ； （3）证明：∵ 设，则， ， ， ． 【分析】本题考查勾股定理及其证明，熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键． （1）根据题意结合梯形面积公式可得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和； （2）根据梯形和三角形的面积公式可得，即，化简证得； （3）根据题意可得，设，则，列方程为，化简证得． 【详解】（1）解：根据题意得，图中梯形的面积用两种方法表示分别为和， 故答案为：，； （2）略 （3）略 变式3．（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【详解】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 考点二 用勾股定理构造图形解决问题 【知识点解析】 一、核心知识点 当题目中没有现成的直角三角形，或线段的平方关系无法直接应用时，通过作辅助线、拼接图形、展开表面等方式，构造出包含目标线段的直角三角形，将目标线段作为直角边或斜边，利用勾股定理建立关系求解，核心是转化思想：将非直角问题转化为直角三角形问题。 二、常见构造类型与解题思路 1. 作高构造直角三角形（最通用） · 应用场景：一般三角形（锐角、钝角）、等腰三角形、多边形的边长计算，已知部分边和角，求未知边长。 · 构造方法：过三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，将原三角形分割为两个共高的直角三角形，公共高为两个直角三角形的公共边。 · 解题思路： ① 设公共高的长度为未知数； ② 分别在两个直角三角形中，用勾股定理表示出底边的两段长度； ③ 根据底边总长度（或两段的和差关系）列方程； ④ 解方程求出高，再进一步求解目标边长。 · 注意：钝角三角形中，钝角边上的高在三角形外部，需延长对边再作高，避免遗漏外部情形。 2. 构造弦图解决问题 · 应用场景：题目中出现正方形、等腰直角三角形，或线段的平方和、平方差关系，求边长、面积。 · 构造方法：根据已知的正方形或直角三角形，补全为赵爽弦图结构，将已知线段对应为弦图中的直角边、斜边或小正方形边长。 · 解题思路： ① 识别正方形与直角三角形的组合特征； ② 通过旋转、平移，构造完整的内弦图或外弦图； ③ 利用弦图的边长关系、面积关系，结合勾股定理建立等式，求解未知量。 3. 网格中构造图形 · 应用场景：方格纸中构造指定长度的线段、指定面积的正方形，或验证勾股定理。 · 构造原理：网格的格线互相垂直，天然形成直角；每个小方格的边长为单位长度，可作为直角边，利用勾股定理构造出长度为无理数的线段。 · 解题思路： ① 对于长度 的线段，将 拆分为两个正整数的平方和（如 ）； ② 以这两个整数为横向、纵向格数，连接对应格点，得到的线段长度即为所求； ③ 构造正方形时，以该线段为边，利用垂直关系确定其余顶点。 4. 实际问题中构造直角三角形 · 应用场景：航海问题、梯子问题、旗杆问题、隧道问题、最短路径问题等实际场景。 · 构造方法：将实际场景抽象为几何模型，找到竖直、水平的垂直关系，或通过作垂线，构造出直角三角形，将实际长度对应为三角形的边长。 · 解题思路： ① 提炼实际问题中的垂直关系与已知长度； ② 抽象出直角三角形，明确直角边、斜边对应的实际量； ③ 代入勾股定理计算未知量，还原为实际问题的答案。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 例2．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 例3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，求的值． 【答案】． 【分析】根据题意得，，然后运用完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是， ∴四个直角三角形面积和为，即， ∴， ∵， ∴． 例5．（25-26八年级上·广东佛山·期中）在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何．”意思是：如图所示，推开两扇门和，门边缘、两点到门槛的距离是尺（即、到线段的距离为尺），两扇门的间隙为寸，则门宽是多少寸（1尺寸）． 【答案】101寸 【分析】本题考查勾股定理，作于点E，设寸，根据题意得出寸，寸，再结合勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 设寸， 则寸，寸，寸． 在中，，即， 解得寸， 寸． 答：门宽是101寸． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 变式3．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺． 【答案】3.2 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键． 设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺， 则由勾股定理可得，， 解得， 即折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为：3.2． 变式4．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）某小区的两个喷泉A，B的位置如图所示，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．求供水点M到喷泉A的距离； 【答案】 【分析】利用勾股定理结合题目条件求解即可． 【详解】解：的长是点到的距离， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， 答：供水点到喷泉的距离为． 变式5．（25-26八年级下·福建南平·期末）手工课上，同学们以“赵爽弦图”为原型制作传统风格装饰画．边长为的大正方形画框由四个全等的直角三角形彩纸和中间的小正方形拼接而成，结构如图所示．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边长为． (1)若小正方形的边长为，，求大正方形的边长c； (2)若小正方形的面积为，且，求一个直角三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据小正方形边长得到，结合联立求出、的值，再利用勾股定理计算斜边； （2）由小正方形面积得，展开得到式子①，将展开得到式子②，两式相减求出，最后根据直角三角形面积公式计算面积。 【详解】（1）解：因为已知小正方形的边长为， 所以小正方形的边长为， 因为， 得， 因为， 所以， 所以． （2）解：因为小正方形的面积为， 所以，即①， 因为，即②， ，得， 所以． 所以直角三角形的面积为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $