7.3 平行线的证明 同步讲义 2026-2027学年北师大版 数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平行线的证明”核心知识点，系统梳理平行公理及推论、平行线的性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）、判定与性质的综合应用，构建从公理到性质再到判定的知识支架，衔接前后逻辑。 资料通过典例、变式及过关验收分层设计，结合射箭、婴儿车等生活实例培养数学眼光，以推理证明题（如“互”字几何抽象）发展推理意识，规范解题步骤提升数学语言表达，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏。

第7章 7.3 平行线的证明 内 容 导 航 题型1 平行公理及推论 题型2 平行线的性质 题型3 平行线的判定与性质 考 点 演 练 题型1 平行公理及推论 解｜题｜知｜识 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【典例1】过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 【答案】D 【解答】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线； 若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行． 故选：D． 题型2 平行线的性质 解｜题｜知｜识 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【典例1】如图，小聪把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵直尺的对边平行，∠1＝25°， ∴∠3＝∠1＝25°（两直线平行，内错角相等）， ∵直角三角板是含有30°角的三角板， ∴∠3+∠2＝60°， ∴∠2＝60°﹣∠3＝35°， 故选：C． 【变式1】如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选B． 【变式2】如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝132°，∠CDF＝153°，则∠EGF的度数是（　　） A．75° B．70° C．68° D．65° 【答案】A 【解答】解：∵AB∥PQ，且∠ABE＝132°， ∴∠BGP＝180°﹣132°＝48°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵CD∥PQ，且∠CDF＝153°， ∴∠DGP＝180°﹣153°＝27°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BGD＝∠BGP+∠DGP＝48°+27°＝75°， ∵∠EGF＝∠BGD， ∴∠EGF的度数是75°． 故选：A． 【变式3】如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180° 【答案】B 【解答】解：如图： ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝α（两直线平行，同位角相等）， ∴∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣α， ∵直线c⊥d， ∴∠5＝90°， ∴∠2＝∠6＝90°﹣∠4＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°， 则∠2的度数为α﹣90°， 故选：B． 题型3 平行线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【典例1】如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）EF与DC平行吗？为什么？ （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【答案】（1）EF∥DC，理由如下： ∵DH∥AC， ∴∠DCA＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠DCA＝180°， ∴EF∥DC； （2）148°． 【解答】解：（1）EF∥DC，理由如下： ∵DH∥AC， ∴∠DCA＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠DCA＝180°， ∴EF∥DC； （2）∵DH∥AC，∠BHD＝64°， ∴∠ACB＝∠BHD＝64°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠DCA∠ACB＝32°． ∵EF∥DC， ∴∠DCA+∠2＝180°， ∴∠2＝180°﹣32°＝148°． 【变式1】阅读题目，完成下面的推理过程，并在括号内填上依据． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD． 求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图，延长EF交CD于点P ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　两直线平行，内错角相等　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠G+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（　等量代换　 ）． 【答案】两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 【解答】证明：如图，延长EF交CD于点P ∵AB∥CD（已知） ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等） 又∵∠AEF＝∠GHD（已知） ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换） ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行） ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵MG∥FN（已知） ∴∠G+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠EFN＝∠G（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 【变式2】请将下列证明过程补充完整：如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2，求证：∠FEC+∠ECB＝180°． 证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB　已知　 ； ∴∠CDF＝∠GFB＝90° 　垂线的定义　 ； ∴CD∥GF （同位角相等，两直线平行）； ∴∠FGB＝∠2 　两直线平行，同位角相等　 ； ∵∠1＝∠2（已知）； ∴∠1＝　∠FGB ； ∴EF∥BC （　内错角相等，两直线平行　 ）； ∴∠FEC+∠ECB＝180° （　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 【答案】已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解答】证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB（已知）， ∴∠CDF＝∠GFB＝90°（垂线的定义）， ∴CD∥GF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠FGB＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠FGB； ∴EF∥BC，（内错角相等，两直线平行）； ∴∠FEC+∠ECB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【变式3】如图，点E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于点G．则直线AB∥CD是否成立？为什么？ 答：AB∥CD，理由如下： ∵AF⊥CE， ∴∠CGF＝90°（　垂直的定义　 ）． ∵∠1＝∠D， ∴AF∥DE （　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠4＝∠CGF（　两直线平行，同位角相等　 ）． ∵∠2+∠3+∠4＝180°（　平角定义　 ）， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠2与∠C互余， ∴∠2+∠C＝90°． ∴∠C＝∠3（　同角的余角相等　 ）． ∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】垂直的定义；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平角定义，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 【解答】证明：∵AF⊥CE， ∴∠CGF＝90°（垂直的定义）， ∵∠1＝∠D， ∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠CGF（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2+∠3+∠4＝180°（平角定义）， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠2与∠C互余， ∴∠2+∠C＝90°， ∴∠C＝∠3（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平角定义，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 过 关 验 收 1．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 【答案】D 【解答】解：过点E作EG∥AB，过点F作FH∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EG∥FH， ∴∠1＝∠AEG， ∴∠GEF＝∠2﹣∠1， ∵EG∥FH， ∴∠EFH＝180°﹣∠GEF＝180°﹣（∠2﹣∠1）＝180°﹣∠2+∠1， ∴∠CFH＝∠3﹣∠EFH＝∠3﹣（180°﹣∠2+∠1）＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， ∵FH∥CD， ∴∠4＝∠3+∠2﹣∠1﹣180°， 故选：D． 2．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，则∠CBE的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解：如图，延长AB交DE于F点， ∵AF∥DE，∠1＝90°， ∴∠BME＝90°， ∵∠2是△BME的外角， ∴∠2＝∠BME+∠EBM， ∵∠2＝110°， ∴∠EBM＝20°， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠CBM＝180°， ∵∠C＝135°， ∴∠CBM＝45°， ∴∠CBE＝∠CBM+∠EBM＝65°． 故选：B． 3．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，∠1与∠2的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝45° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 【答案】C 【解答】解：如图，过B作BN∥GF， ∵GF∥HE， ∴GF∥HE∥BN， ∴∠1＝∠MBN，∠2＝∠ABN（两直线平行，内错角相等）， ∴∠1+∠2＝∠MBN+∠ABN＝∠ABC＝90°， 即∠1与∠2的关系是∠1+∠2＝90°， 故选：C． 4．如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向，则∠AEC的度数为（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【解答】解：如图： 由题意得：∠DCE＝80°，∠BAC＝40°，∠BAE＝25°，CD∥AB， ∴∠DCA＝∠BAC＝40°， ∴∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA＝40°， ∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠BAC﹣∠BAE＝75°， 故选：C． 5．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若∠1＝62°，则∠2的度数为（　　） A．12° B．16° C．24° D．26° 【答案】D 【解答】解：如图： 正五边形的一个外角的度数为：， 正五边形的一个内角的度数为：180°﹣72°＝108°， 即：∠4＝72°，∠6＝108°， 一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1＝62°， ∴∠3＝∠1＝62°， ∴∠5＝∠3+∠4＝62°+72°＝134°， ∴∠2＝∠5﹣∠6＝134°﹣108°＝26°； 故选：D． 6．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．70° 【答案】D 【解答】解：如图， ∵AB∥CD，∠3＝40°（已知）， ∴∠A＝∠3＝40°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝110°， ∴∠AFH＝180°﹣110°＝70°， ∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠AFH＝180°﹣40°﹣70°＝70°． 那么∠2的度数为70°． 故选：D． 7．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD；③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：如图所示： 由题意可得：令∠ABD＝∠CBD＝x，∠ACD＝∠FCD＝y， ∵AB∥CD， ∴∠DCF＝y＝∠ABC＝2x，∠ABD＝∠BDC＝x， ∵∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝2y＝4x＝∠BAC+∠ABC＝∠BAC+2x， ∴∠BAC＝2x， ∴，∠CBA＝∠CAB＝2x， 故①错误；③正确； ∵CE平分∠ACB， ∴令∠ACE＝∠BCE＝a， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝2x+2x+2a＝180°， ∴a＝90°﹣2x， ∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°， ∴x+∠ECB+a＝180°＝∠ECB+90°﹣x， ∴∠ECB＝90°+x＝90°+∠ABD， 故②正确； 过点D作DG⊥AC、DM⊥BA、DN⊥BC分别交AC、BA、BC于点G、M、N， 由题意可得： ∴DG＝DM＝DN， ∴AD平分∠MAC， ∴∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠MAD＝2x+2a， ∴∠MAD＝x+a＝∠MBD+∠ADB＝x+∠ADB， ∴∠ADB＝a， ∴a+y＝90°＝a+2x， ∴∠ADB+∠ABC＝90°， 故④正确； 正确的有3个，故C正确． 故选：C． 8．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【答案】B 【解答】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC， ∵∠FEC＝30°， ∴∠FEG＝30°， ∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠CEG＝60°． 故选：B． 9．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 【答案】C 【解答】解：如图： ∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2＝105°， 故选：C． 10．2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝120°，∠BCD＝150°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝　100　 度． 【答案】100． 【解答】解：过点B作TH∥CD，如图所示： 由条件可知TH∥CD∥AE， ∴∠BCD+∠1＝180°，∠TBA＝∠BAE， ∵∠BCD＝150°，∠BAE＝120°， ∴∠1＝30°，∠TBA＝120°， ∴∠ABC＝30°+120°＝150°， 由条件可知∠CBF＝150°÷3＝50°， ∴∠ABF＝150°﹣50°＝100°． 故答案为：100． 11．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+5）°，∠β＝（3x﹣10）°，则∠α的度数为 　35°或79°　 ． 【答案】35°或79° 【解答】解：当两角相等时，如图， ∴（2x+5）°＝（3x﹣10）°， 解得：x＝15， ∴∠α＝（2×15+5）°＝35°； 当两角互补时，如图： ∴（2x+5）°+（3x﹣10）°＝180°， 解得：x＝37， ∴∠α＝（2×37+5）°＝79°； 故答案为：35°或79°． 12．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝16°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝47°，则EF与FG所成锐角∠EFG的度数为　63°　 ． 【答案】63°． 【解答】解：如图，过点E作EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EH∥CD， ∵α＝16°， ∴∠BEH＝α＝16°，∠FEH+∠EFG＝180°， ∵β＝47°， ∴∠FEH＝180°﹣∠BEH﹣β＝180°﹣16°﹣47°＝117°， ∴∠EFG＝180°﹣∠FEH＝180°﹣117°＝63°， 则EF与FG所成锐角∠EFG的度数为63°． 故答案为：63°． 13．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN∠PNC时，∠PCM＝　22.5°或5°　 ． 【答案】22.5°或5°． 【解答】解：①设∠PCN＝α， ∵∠PCN∠PNC， ∴∠PNC＝4α， ∵∠ANC＝2∠AMC，∠ANC＝∠AMC+∠NCM， ∴∠AMC＝∠NCM＝2α， ∴∠PCM＝∠PCN+∠NCM＝3α， ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCM＝∠ACP＝3α， ∴∠ACD＝2∠ACP+∠MCD＝6α+2α＝8α， ∵AB∥CD，∠BAC＝120°， ∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°， ∴8α＝60°， ∴α， ∴∠PCM＝3α＝22.5°． ②当点N在点A的左侧时， 设∠PCN＝α，∠ACP＝β， ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCM＝∠ACP＝β， ∴∠ACN＝∠PCN﹣∠ACP＝α﹣β， ∴∠PNC＝4∠PCN＝4α，∠NMC＝2α， ∵AP∥CD，∠BAC＝120°， ∴∠NMC＝∠MCD＝2α，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠MCD＝∠ACD﹣2∠ACP＝60°﹣2β， ∴2α＝60°﹣2β，即：α＝30°﹣β， ∵∠CAB＝∠PNC+∠ACN， ∴120°＝4α+α﹣β， ∴5α﹣β＝120°， 将α＝30°﹣β代入上式解得：β＝5°， ∴∠PCM＝β＝5°； ③当点N在A，P之间时， 设∠PCN＝α，∠ACN＝β，则∠ACP＝α+β， ∵CP平分∠ACM， ∴∠ACP＝∠PCM＝α+β，∠ACM＝2（α+β）， ∴∠MCD＝60°﹣∠ACM＝60°﹣2（α+β）， 由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4α， ∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣4α， ∵∠ANC＝2∠NMC， ∴∠NMC＝90°﹣2α， ∵∠NMC＝∠MCD， ∴90°﹣2α＝60°﹣2（α+β）， ∴β＝﹣15°，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°． 故答案为：22.5°或5°． 14．如图，∠ABC＝45°，DE∥BC，∠DEF＝70°，EF与AB交于点F，过点F作FG⊥EF，若HF平分∠EFG，则∠BFH＝ 　70°　 ． 【答案】70° 【解答】解：如图，过点F作FP∥DE，则∠PFE＝∠E＝70°， ∵BC∥DE， ∴PF∥BC， ∴∠PFB＝∠B＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BFE＝∠PFE﹣∠PFB＝70°﹣45°＝25°， ∵GF⊥EF， ∴∠EFG＝90°， ∵FH平分∠EFG， ∴∠EFH＝45°， ∴∠BFH＝∠BFE+∠EFH＝25°+45°＝70°， 故答案为：70°． 15．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ． 【答案】20°． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠BOF＝∠1＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°， 故答案为：20°． 16．如图所示的是螳螂的简易示意图，AB∥DE，∠BAC＝∠BCA，∠CBF＝54°，∠ACD＝46°，则∠CDE的度数为　73°　 ． 【答案】73°． 【解答】解：延长ED交BC于点G，交AC于点F， ∵∠BAC＝∠BCA，∠CBF＝54°，∠CBF＝∠BAC+∠BCA， ∴， ∵AB∥DE， ∴∠CFE＝∠BAC＝27°（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠ACD＝46°， ∴∠CDE＝∠CFE+∠ACD＝27°+46°＝73°， 则∠CDE的度数为73°， 故答案为：73°． 17．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝68°．∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为　55°　 ． 【答案】55°． 【解答】解：由题知， 因为AB，CD都与地面l平行， 所以AB∥CD， 所以∠ABC＝∠BCD＝68°． 又因为∠BAC＝57°， 所以∠ACB＝180°﹣68°﹣57°＝55°． 因为AM∥CB， 所以∠MAC＝∠ACB＝55°． 故答案为：55°． 18．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　60　 °． 【答案】60． 【解答】解：∵BD∥PQ， ∴∠POB＝∠OBD＝90°， ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOP＝∠AOB﹣∠POB＝150°﹣90°＝60°， ∵AC∥PQ， ∴∠OAC＝∠AOP＝60°． 故答案为：60． 19．如图1，已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，P为AB，CD之间的一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP，PF． （1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF． （2）如图2，在AB，CD内部另作一条折线E﹣Q﹣F，且点Q在直线EF的右侧． ①若∠BEP＝2∠BEQ，∠DFP＝2∠DFQ，∠EQF＝130°，求∠EPF的度数； ②若∠BEP＝n∠BEQ，∠DFP＝n∠DFQ，请直接写出∠EPF与∠EQF之间的数量关系（用含n的代数式表示） 【答案】（1）如图，过点P作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠AEP＝∠EPH，∠CFP＝∠FPH（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EPF＝∠EPH+∠FPH， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP； （2）①100°；②∠EPF+n∠EQF＝360°． 【解答】（1）证明：如图，过点P作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠AEP＝∠EPH，∠CFP＝∠FPH（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EPF＝∠EPH+∠FPH， ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP； （2）解：①由（1）得，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ＝130° ∵∠BEP＝2∠BEQ，∠DFP＝2∠DFQ， ∴∠BEP+∠DFP＝2∠BEQ+2∠DFQ＝2×130°＝260° ∵∠AEP＝180°﹣∠BEP，∠CFP＝180°﹣∠DFP ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝360°﹣（∠BEP+∠DFP）＝360°﹣260°＝100°； ②由（1）得，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ ∵∠BEP＝n∠BEQ，∠DFP＝n∠DFQ， ∴∠BEP+∠DFP＝n∠BEQ+n∠DFQ＝n∠EQF ∵∠AEP＝180°﹣∠BEP，∠CFP＝180°﹣∠DFP ∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝360°﹣（∠BEP+∠DFP）＝360°﹣n∠EQF ∴∠EPF+n∠EQF＝360°， 即∠EPF与∠EQF之间的数量关系为∠EPF+n∠EQF＝360°． 20．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）50°． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 21．如图，线段AB，AD交于点A，点C为直线AD上一点（不与点A，D重合），在BC的右侧，作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）． （1）若点C在线段AD上， ①如图①，若∠BCA为钝角，∠B＝18°，嘉嘉过点C作了辅助线求出∠CGD的度数，你试着完成求解过程． ②如图②，若∠BCA为锐角，判断∠B与∠CGD的数量关系并说明理由． （2）若点C在线段DA 的延长线上，直接写出∠B与∠CGD的数量关系． 【答案】（1）①∠CGD＝108°；②∠CGD＝90°﹣∠B，理由见解析； （2）∠CGD＝90°﹣∠B． 【解答】解：（1）①如图，过点C作CH∥AB， 则∠BCH＝∠B＝18°； ∵BC⊥CE， ∴∠HCG＝90°﹣∠BCH＝72°； ∵DF∥AB，CH∥AB， ∴DF∥CH， ∴∠HCG+∠CGD＝180°， ∴∠CGD＝180°﹣∠HCG＝108°； ②∠CGD＝90°+∠B， 过点C作CH∥AB， ∴∠BCH＝∠B； ∴∠HCG＝90°﹣∠BCH＝90°﹣∠B； ∵DF∥AB，CH∥AB， ∴DF∥CH， ∴∠HCG＝∠CGD＝90°+∠B； （2）∠CGD＝90°﹣∠B；理由： 过点C作CH∥AB， ∴∠BCH＝∠B； 由题意可得：∠HCG＝90°+∠BCH＝90°+∠B； ∵DF∥CH， ∴∠HCG+∠CGD＝180°， ∴∠CGD＝180°﹣∠HCG＝180°﹣（90°+∠B）＝90°﹣∠B． 22．如图1，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，且AB∥CE，CD∥BE． （1）求证：∠1＝∠2． （2）如图2，延长AB，DC交于点F，求∠F的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴∠ABE＝∠1，∠DCE＝∠2， ∵AB∥CE，CD∥BE， ∴∠ABE＝∠E，∠DCE＝∠E， ∴∠ABE＝∠DCE， ∴∠1＝∠2； （2）解：∵∠2＝∠1，∠DCE＝∠2，∠DCE＝∠E， ∴∠2＝∠1＝∠E＝∠DCE， ∵∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠1＝∠2＝∠E＝60°， ∴∠E＝∠DCE＝60°， ∵CE∥AB， ∴∠DCE＝∠F＝60°， ∴∠F的度数为60°． 23．在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，∠A+∠B＝180°，求证∠C+∠D＝180°． 证明：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC（ 　同旁内角互补，两直线平行　 ）． ∴∠C+∠D＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解答】证明：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行 ）． ∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 24．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠FED＝180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED＝140°．求∠BAC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵∠1＝∠BDE， ∴AC∥DE， ∴∠2＝∠ADE， ∵∠2+∠FED＝180°， ∴∠ADE+∠DEF＝180°， ∴AD∥EF； （2）∵EF⊥BF， ∴∠F＝90°， ∵AD∥EF，∠FED＝140°， ∴∠FAD+∠F＝180°，∠ADE+∠DEF＝180° ∴∠DAF＝90°，∠ADE＝40°， ∴∠2＝∠ADE＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠DAF＝50°． 25．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下． 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠CAB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CAB， ∴AB∥CD． （2）如图1，设∠ABF＝x，则∠EBF＝2x， ∴∠ABE＝∠ABF+∠EBF＝x+2x＝3x， 根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF＝∠F+∠ECF， 根据三角形的外角性质，∠1＝∠E+∠ABE＝∠E+3x， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DCE， ∵CF平分∠DCE， ∴∠ECF∠DCE∠1（∠E+3x）， ∴∠E+2x＝∠F（∠E+3x）， 整理得，2∠F﹣∠E＝x①， ∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°， ∴2∠F+180°﹣∠E＝190°②， ①代入②得，x+180°＝190°， ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）如图2，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG+∠B， ∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP， ∴∠GPQ∠BPG，∠MGP∠DGP， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DGP， ∴∠MGP（∠BPG+∠B）， ∵PQ∥GN， ∴∠NGP＝∠GPQ∠BPG， ∴∠MGN＝∠MGP﹣∠NGP（∠BPG+∠B）∠BPG∠B， 根据前面的条件，∠B＝30°， ∴∠MGN30°＝15°， ∴①∠DGP﹣∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变． 26．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线． （1）∠1与∠2有什么关系，为什么？ （2）BE与DF有什么关系？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠1+∠2＝90°； ∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠1＝∠ABE，∠2＝∠ADF， ∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴2（∠1+∠2）＝180°， ∴∠1+∠2＝90°； （2）BE∥DF； 在△FCD中，∵∠C＝90°， ∴∠DFC+∠2＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠DFC， ∴BE∥DF． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 7.3 平行线的证明 内 容 导 航 题型1 平行公理及推论 题型2 平行线的性质 题型3 平行线的判定与性质 考 点 演 练 题型1 平行公理及推论 解｜题｜知｜识 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【典例1】过一点画已知直线的平行线（　　） A．有且只有一条 B．不存在 C．有两条 D．不存在或有且只有一条 题型2 平行线的性质 解｜题｜知｜识 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 【典例1】如图，小聪把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1＝25°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【变式1】如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝132°，∠CDF＝153°，则∠EGF的度数是（　　） A．75° B．70° C．68° D．65° 【变式3】如图，直线a∥b，直线c⊥d，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α+90° B．α﹣90° C．180°﹣α D．2α﹣180° 题型3 平行线的判定与性质 解｜题｜知｜识 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 【典例1】如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°． （1）EF与DC平行吗？为什么？ （2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数． 【变式1】阅读题目，完成下面的推理过程，并在括号内填上依据． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象的几何图形，其中AB∥CD，MG∥FN．点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且∠AEF＝∠GHD． 求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图，延长EF交CD于点P ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（　 　 ）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（　 　 ）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠G+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（　 　 ）． 【变式2】请将下列证明过程补充完整：如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2，求证：∠FEC+∠ECB＝180°． 证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB　 　 ； ∴∠CDF＝∠GFB＝90° 　 　 ； ∴CD∥GF （同位角相等，两直线平行）； ∴∠FGB＝∠2 　 　 ； ∵∠1＝∠2（已知）； ∴∠1＝　 ； ∴EF∥BC （　 　 ）； ∴∠FEC+∠ECB＝180° （　 　 ）． 【变式3】如图，点E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于点G．则直线AB∥CD是否成立？为什么？ 答：AB∥CD，理由如下： ∵AF⊥CE， ∴∠CGF＝90°（　 　 ）． ∵∠1＝∠D， ∴AF∥DE （　 　 ）． ∴∠4＝∠CGF（　 　 ）． ∵∠2+∠3+∠4＝180°（　 　 ）， ∴∠2+∠3＝90°． ∵∠2与∠C互余， ∴∠2+∠C＝90°． ∴∠C＝∠3（　 　 ）． ∴AB∥CD（　 　 ）． 过 关 验 收 1．如图，AB∥CD，用含∠1，∠2，∠3的式子表示∠4，则∠4的值为（　　） A．∠1+∠2﹣∠3 B．∠1+∠3﹣∠2 C．180°+∠3﹣∠1﹣∠2 D．∠2+∠3﹣∠1﹣180° 2．如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，则∠CBE的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 3．将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，∠1与∠2的关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝45° C．∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝180° 4．如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向，则∠AEC的度数为（　　） A．60° B．70° C．75° D．80° 5．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若∠1＝62°，则∠2的度数为（　　） A．12° B．16° C．24° D．26° 6．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．70° 7．如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC＝∠BAC；②∠BEC＝90°+∠ABD；③∠CAB＝∠CBA；④∠ADB+∠ABC＝90°，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 9．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．95° B．100° C．105° D．110° 10．2026年春晚《武BOT》机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中∠BAE＝120°，∠BCD＝150°，∠ABC＝3∠CBF，若AE∥CD，则∠ABF＝　 　 度． 11．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+5）°，∠β＝（3x﹣10）°，则∠α的度数为 　 　 ． 12．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α＝16°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β＝47°，则EF与FG所成锐角∠EFG的度数为　 　 ． 13．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN∠PNC时，∠PCM＝　 　 ． 14．如图，∠ABC＝45°，DE∥BC，∠DEF＝70°，EF与AB交于点F，过点F作FG⊥EF，若HF平分∠EFG，则∠BFH＝ 　 　 ． 15．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ． 【答案】20°． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴∠BOF＝∠1＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°， 故答案为：20°． 16．如图所示的是螳螂的简易示意图，AB∥DE，∠BAC＝∠BCA，∠CBF＝54°，∠ACD＝46°，则∠CDE的度数为　 　 ． 17．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝68°．∠BAC＝57°，AM与CB平行，则∠MAC为　 　 ． 18．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OA，OB等反射后都沿着与POQ平行的方向射出．若∠AOB＝150°，∠OBD＝90°，则∠OAC＝　 　 °． 19．如图1，已知AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点，P为AB，CD之间的一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP，PF． （1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF． （2）如图2，在AB，CD内部另作一条折线E﹣Q﹣F，且点Q在直线EF的右侧． ①若∠BEP＝2∠BEQ，∠DFP＝2∠DFQ，∠EQF＝130°，求∠EPF的度数； ②若∠BEP＝n∠BEQ，∠DFP＝n∠DFQ，请直接写出∠EPF与∠EQF之间的数量关系（用含n的代数式表示） 20．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 21．如图，线段AB，AD交于点A，点C为直线AD上一点（不与点A，D重合），在BC的右侧，作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）． （1）若点C在线段AD上， ①如图①，若∠BCA为钝角，∠B＝18°，嘉嘉过点C作了辅助线求出∠CGD的度数，你试着完成求解过程． ②如图②，若∠BCA为锐角，判断∠B与∠CGD的数量关系并说明理由． （2）若点C在线段DA 的延长线上，直接写出∠B与∠CGD的数量关系． 22．如图1，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，且AB∥CE，CD∥BE． （1）求证：∠1＝∠2． （2）如图2，延长AB，DC交于点F，求∠F的度数． 23．在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，∠A+∠B＝180°，求证∠C+∠D＝180°． 证明：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC（ 　 　 ）． ∴∠C+∠D＝180°（ 　 　 ）． 24．如图，已知∠1＝∠BDE，∠2+∠FED＝180°． （1）证明：AD∥EF． （2）若EF⊥BF于点F，且∠FED＝140°．求∠BAC的度数． 25．（1）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，在（1）的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF＝2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数； （3）如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP﹣∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 26．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线． （1）∠1与∠2有什么关系，为什么？ （2）BE与DF有什么关系？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $