第1章 勾股定理的应用：航海问题、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理在航海、交通、气象中的实际应用，通过真实情境构建直角三角形模型，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |航海问题|2例+2变式|涉及方向角、航速时间，求两点距离|由方位角确定直角三角形，用勾股定理求斜边| |判断汽车是否超速|2例+2变式|含监控距离、行驶时间，计算速度|通过垂直距离与斜边构建直角三角形求路程| |判断是否受台风影响|2例+2变式|台风路径、影响半径，判断影响及时长|求点到直线距离，结合圆半径分析影响范围|

勾股定理的应用：航海问题、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响专项训练 勾股定理的应用：航海问题、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响专项训练 考点目录 航海问题 判断汽车是否超速 判断是否受台风影响 考点一 航海问题 例1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 变式1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 变式2．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 考点二 判断汽车是否超速 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 例2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 变式1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 考点三 判断是否受台风影响 例1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 例2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 变式1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 变式2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $勾股定理的应用：航海问题、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响专项训练 勾股定理的应用：航海问题、判断汽车是否超速、判断是否受台风影响专项训练 考点目录 航海问题 判断汽车是否超速 判断是否受台风影响 考点一 航海问题 例1．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 例2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 变式1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．近日，美国、日本、菲律宾等国在南海地区联合军演，如图，我军巡逻舰队在点处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点处有可疑目标正在以16海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，向我领海区域行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，并进行驱赶，则我军巡逻舰队的航行速度为多少海里/小时？ 【答案】34海里/小时 【分析】先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意，得，，， 因为， 所以， 所以， 因为， 故， 故我军巡逻舰队的航行速度为（海里/小时）； 变式2．（25-26八年级上·山东东营·阶段检测）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知：，根据“路程速度时间”分别得出，，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，根据垂线段最短，则的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可； 掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，， ∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵， ∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 考点二 判断汽车是否超速 例1．（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 例2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 变式1．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 考点三 判断是否受台风影响 例1．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) (2)海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； (3)海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 例2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响． (1)求证：； (2)请通过计算说明海港C会受台风影响； (3)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，请通过计算说明货轮能否完成卸货？ 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且； (2) 解：如图1，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴海港会受影响； (3) 解：货轮能完成卸货；理由如下： 如图2，设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从到的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港受台风影响之前完成卸货． 【分析】（1）由得到； （2）过点作，垂足为，利用三角形面积公式求得，即可判断海港的影响情况； （3）设当海港开始受影响时台风中心在上的位置为处，则，利用勾股定理求得和的值，，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式1．（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． (1)求监测点A与监测点B之间的距离． (2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）略 变式2．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围半径范围造成噪声污染． (1)证明为直角三角形，并求点C到铁路的距离； (2)当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) 证明：由题意可知，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 如图1，过点C作于点D， ∴， ∴， 即点C到铁路的距离为； (2)会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且；过点C作于点D，再由面积法求出的长即可； （2）以点C为圆心，以52米为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、，则，，由勾股定理求得，得出，再根据火车长度与速度即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染， 如图2，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接、， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为：， 答：当一列长度为的火车以的速度经过铁路时会对鸟类巢穴造成噪声污染，火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $