第1章 判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、勾股树（数）问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的基础判断、综合应用及勾股数拓展，形成从概念辨析到实际解题的递进训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断三边能否构成直角三角形|例3+变式3|选择/填空，直接验证三边关系|从基础概念出发，强化逆定理直接应用，培养数感与抽象能力| |利用勾股定理的逆定理求解|例3+变式3|解答题，结合图形求长度/面积/角度|连接几何图形与数量关系，通过推理解决实际问题，发展推理意识| |勾股树（数）问题|例3+变式3|选择/填空，勾股数辨析与图形面积计算|拓展概念应用，从数到形构建模型，提升应用意识与空间观念|

判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、勾股树（数）问题专项训练 判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、勾股树（数）问题专项训练 考点目录 判断三边能否构成直角三角形 利用勾股定理的逆定理求解 勾股树（数）问题 考点一 判断三边能否构成直角三角形 例1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 【答案】C 【分析】验证每组数中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项，∵，∴不能构成直角三角形； B选项，∵，∴不能构成三角形，∴不能构成直角三角形； C选项，∵，∴能构成直角三角形； D选项，∵，∴不能构成直角三角形． 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各选项两较短边的平方和与最长边的平方是否相等即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 例3．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 【答案】不是 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，验证三边长是否满足该关系，即可判断． 【详解】解：由题意可知三角形三边长分别为厘米，厘米，厘米，其中最长边为厘米， 计算两条较短边的平方和：， 最长边的平方为：， ∵， 即， 故这个三角形不是直角三角形． 变式1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断能否构成直角三角形即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴不能构成直角三角形，符合题意； B、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴能构成直角三角形，不符合题意． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不符合； B选项，最长边为，，，，不符合； C选项，，不能构成三角形，不符合； D选项，最长边为，，，，符合． 变式3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 【答案】3或12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，分三种情况讨论哪条边为斜边，解方程即可得解． 【详解】解：当斜边为5时，则 解得或（舍去）， 此时边长为3，4，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得， 此时边长为12，13，5，满足三角形条件． 当斜边为时，则 解得（舍去）． 故或． 故答案为：3或12． 考点二 利用勾股定理的逆定理求解 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 【答案】区域的面积为． 【分析】先判定是直角三角形，根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴． 例2．（25-26八年级下·贵州黔西南·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)的长为5； (2)四边形的面积为36 【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：在中，由于，即， ∴是直角三角形， ∴． 例3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 变式1．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 变式2．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 变式3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出的值，利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，且， ∴由勾股定理得， ∵，且， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为． 考点三 勾股树（数）问题 例1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【分析】四个选项中的数均为正整数，只需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 例2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】勾股数是指满足两个较小正整数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一验证即可得到结果． 【详解】解：选项A，，，， A不是勾股数； 对选项B，，，， B不是勾股数； 对选项C，，，， C不是勾股数； 对选项D，，， ，且三个数均为正整数， D是勾股数． 例3．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 变式1．（25-26八年级下·吉林四平·期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中，若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，据此逐一验证即可得到答案． 【详解】解：选项A，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意； 选项B，，，，不满足定义，不是勾股数，符合题意； 选项C，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意； 选项D，，，，满足定义，是勾股数，不符合题意． 变式2．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 【答案】C 【详解】解：如图， 由题意得，， ． 变式3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、勾股树（数）问题专项训练 判断三边能否构成直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、勾股树（数）问题专项训练 考点目录 判断三边能否构成直角三角形 利用勾股定理的逆定理求解 勾股树（数）问题 考点一 判断三边能否构成直角三角形 例1．（25-26八年级下·天津东丽·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，3，6 C．6，8，10 D．5，7，9 例2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例3．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）一个三角形的三边长分别是厘米，厘米，厘米，这个三角形___________（填“是”或“不是”）直角三角形． 变式1．（25-26七年级下·河北张家口·期末）下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·广东佛山·期末）边长为a，，5的三角形是直角三角形，则________． 考点二 利用勾股定理的逆定理求解 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，是王奶奶家的一块菜地，中间用小路隔开，分别种植不同的蔬菜，经测量，，，，．求区域的面积．（小路的宽度忽略不计） 例2．（25-26八年级下·贵州黔西南·期中）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 例3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 变式1．（25-26八年级下·山东日照·阶段检测）如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 变式2．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 变式3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，已知在四边形中，，．求出四边形的面积． 考点三 勾股树（数）问题 例1．（25-26八年级下·重庆秀山·期末）在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 例2．（25-26八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例3．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 变式1．（25-26八年级下·吉林四平·期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2．（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积为（     ） A．40 B．45 C．47 D．50 变式3．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $