周周练02 1.3勾股定理的实际应用（数学新教材北师大版八年级上册）

**基本信息** 聚焦勾股定理实际应用，融合“折竹抵地”“引葭赴岸”等古代问题与台风、渔船等现实情境，梯度设计提升问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|两点距离、网格线段、古代数学问题|以“折竹抵地”传承文化，台阶示意图强化几何直观| |填空题|6/18|河流宽度、梯子滑动、楼梯地毯面积|船工渡河问题培养空间观念，网格三角形高计算提升推理能力| |解答题|2/22|杉树折断、渔船距离与信号覆盖|台风影响问题构建模型意识，渔船信号覆盖培养应用意识|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3勾股定理的实际应用 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在小正方形的顶点上，则的结果可能是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：线段在正方形网格的边上时，可能是， 线段不在正方形网格的边上时，可能是， 所以符合题意的为D选项． 3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺 【答案】B 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得， 解得， ∴折断处离地面的高度为4.2尺．故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 4．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 7．我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（   ）尺． A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设水深为x尺，则植物长尺，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设水深为x尺，则植物长尺， 由题意可得：，解得， 所以水深12尺． 8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 10．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 12．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 13．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 15．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 16．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 【答案】这个梯子有米长． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得的长，然后再利用勾股定理求得斜边的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，， ∴米， ∴， ∴， ∴， ∵米， 由勾股定理得：， ∴（米），即这个梯子的长应是米， 答：这个梯子有米长． 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3勾股定理的实际应用 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画出图形，表示高的树，表示高的树，两棵树间距离，根据两点间线段最短可知，小鸟至少要飞的距离等于的长，过作于点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意画图如下：其中，，， 两点间线段最短， 题目所求即为的长， 过作于点， 则， 由勾股定理得：， 故选：C． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在小正方形的顶点上，则的结果可能是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：线段在正方形网格的边上时，可能是， 线段不在正方形网格的边上时，可能是， 所以符合题意的为D选项． 3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺 【答案】B 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得， 解得， ∴折断处离地面的高度为4.2尺．故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 4．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再设点C到的距离是h，根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 设点C到的距离是h， 根据题意，得， 即， 解得， 所以点C到的距离是． 7．我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（   ）尺． A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设水深为x尺，则植物长尺，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设水深为x尺，则植物长尺， 由题意可得：，解得， 所以水深12尺． 8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 10．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】解：． 故答案为：300． 12．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 13．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 15．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 16．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得， 又， 故， 设， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：8． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)5； (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）分别作出点关于直线对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求，根据对称可得，则，根据两点之间线段最短即可说理． 【详解】（1）略 （2）解：；； （3）略 18．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 【答案】这个梯子有米长． 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得的长，然后再利用勾股定理求得斜边的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形． 【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，， ∴米， ∴， ∴， ∴， ∵米， 由勾股定理得：， ∴（米），即这个梯子的长应是米， 答：这个梯子有米长． 19．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为31.7米 (2)他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 22．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 23．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 24．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3勾股定理的实际应用 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在小正方形的顶点上，则的结果可能是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺 4．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 7．我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（   ）尺． A．5 B．10 C．12 D．13 8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 12．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 13．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 15．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 16．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测02 1.3勾股定理的实际应用 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．公园内有两棵树，相距，一棵树高为，另一棵树高为，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另 一棵树的顶端，小鸟至少要飞（      ） A． B． C． D． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在小正方形的顶点上，则的结果可能是（     ） A．3 B．6 C．7 D．10 3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度为（    ） A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺 4．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为（     ）． A． B． C． D． 7．我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为x尺，则水深为（   ）尺． A．5 B．10 C．12 D．13 8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 9．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 12．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 13．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 15．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 16．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 三、解答题：本题共8小题,第17~18题6分，第19~20题每题7分，第21~22题8分，第23~24题10分，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的长为________，的面积为________； (3)在直线上找一点，使得的周长最小． 18．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？ 19．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 21．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 22．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 23．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 24．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $