第1章勾股定理 讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义以“勾股定理及逆定理的应用”为核心，通过知识框架系统梳理勾股定理、逆定理、最短路径问题及常见勾股数四大知识点，结合平面展开图模型呈现最短路径求解思路，突出综合应用与实际问题中数形结合的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，涵盖逆定理判定三角形形状、折叠问题（如长方形折叠用“找痕、设元、列方程”步骤）、最短路径（长方体表面爬行）及台风问题等实际应用题型，培养几何直观与推理能力，基础题巩固知识，思考题拓展思维，助力学生自主复习，为教师提供精准分层教学支持。

第一讲 勾股定理及逆定理的应用 【教学目标】 1、 掌握勾股定理及逆定理的知识点及常见的勾股数 2、 运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题 【教学重难点】 1．重点：勾股定理及逆定理的综合应用． 2．难点：利用勾股定理及逆定理解决实际问题．（数形结合） 【知识精讲】 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 知识点02 勾股定理的逆定理 1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 知识点03 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。 知识点04 常见的勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数.勾股数组有无数个． 常见勾股数：3，4，5及其倍数；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；… 【例题精讲】 【考点一:勾股定理及逆定理的应用】 例1（2025秋•双流区校级期中）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝6，c＝7 B．∠B+∠C＝90° C．a＝6，b＝8，c＝10 D．c2﹣a2＝b2 【变式练习】 1．（2026春•大同校级期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（　　） A． B． C． D． 2（2024•青羊）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BC＝8，则CD的长为（　　） A．10 B． C． D．5 3．（2025秋•成都期末）在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则下列情况不可能出现的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a2+b2＝c2 D． 4．（2025秋•双流区校级期中）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的（　　） A．∠C﹣∠B＝∠A B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（c+a）（c﹣a）＝b2 D．a：b：c＝7：24：25 5．（2026春•成华月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2+S1﹣S3＝36，则阴影部分的面积为 　 　 ． 6．荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.8m（水平距离BC＝1.8m）时，秋千的踏板离地面的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD的长度是 　 　． 类型二、利用勾股定理的逆定理求图形面积及角度 例1、如图，在四边形ABCD中，已知，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，则四边形ABCD的面积.是 。 【变式练习】 1．（2025秋•锦江区校级期末）各地积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山．某小区物业在小区拐角清理出了一块空地进行绿化改造，如图，∠ABC＝90°，AB＝12m，BC＝9m，AD＝17m，CD＝8m． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点A直通点C的小路，求小路AC的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米200元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【类型三：利用勾股定理判定三角形形状】 例1 若ABC的三边长a、b、c满足条件：，试判断ABC的形状. 【变式练习】 1．（2025•双流）若a．b．c是△ABC三条边的长，且满足a2﹣2ab+b2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 2、已知a、b、c为ABC的三边长，且满足，则ABC的形状是 . 【类型四；勾股定理中的折叠问题】 解题步骤：（1）找：找痕，折痕前后的图形； （2）设：设未知数，尽可能表达所需线段； （3）列：根据勾股定理列方程。 例1 如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____． 【变式练习】 1、如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC=6，AB=10，求DB的长 ． 2、如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在F处，BF交AD于 点E，AD=8，AB=6，则BDE的面积是 。 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____． 4、如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，，则的长为（ ） A．1.8 B．2 C．2.3 D． 【类型五：勾股定理中角平分线的应用】 例1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AB＝17，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为 　 　． 【变式练习】 1、如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　 　． 2、如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝3，PC＝5，AC＝12，则△ABP的面积是 　 　 3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，高BD＝8，AD＝6，AE平分∠BAC，则△ABE的面积为 　 　． 【类型六：勾股定理中垂直平分线的应用】 例1、如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，连接BD，则CD的长为 　 　． 【变式练习】 1．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，作BC的垂直平分线DE交AB于点D，则AD＝　 　． 2、如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝　 　． 【类型六：勾股定理中的最短距离问题】 例1、如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________． 例2、圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ） A． B．28 C．20 D． 【变式练习】 1． （2025秋•青羊期末）有一棵树（将树看作一个圆柱）高14m，底面周长是4m，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀绕树7圈（如图），上端刚好与树顶端齐平，则这条藤的长度是 m． 2、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 。 3．如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm 4、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 。　 【类型七：勾股定理中台风问题】 例1．（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【变式练习】 1. (树德实验月考)在某台风登陆期间，A市接到台风警报时，在该市正南方向150 km的点B 处的台风中心正以20 km/h的速度沿BC方向移动. 已知城市A到 BC的距离AD=90km. (1)台风中心经过多长时间从点B 移动到点D? (2)如果在距台风中心30 km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点D 的人脱离危险，人必须在接到台风警报后的几小时内撤离(撤离速度为6 km/h)? 2．（2025春•萝北县期末）某台风中心位于O点，台风中心以30km/h的速度向北偏西60°方向移动，在半径100km的范围内将受影响，城市A在O点正西方向与O点相距160km处，试问： （1）A市是否会受此台风影响，并说明理由； （2）如受影响，则受影响的时间有多长？ 【思考题】 1、(2024天府新区期末)如图1,在Rt△ABC 中 ，AB=AC,D,E是斜边BC上两动点，且 ∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△ACF, 连接DF. (1)求证：△AED≌△AFD; (2)当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长； (3)如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,D是斜边BC所 在直线上的一点，若BD=3,BC=8, 求 DE2的长. 图1 图2 备用图 【课堂总结】 知识点01 勾股定理 勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 知识点02 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。 知识点03 最短路径问题 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 知识点04 常见的勾股数 常见勾股数：3，4，5及其倍数；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；… 【家庭作业】 1．（2025秋•武侯区校级月考）下列各组数是勾股数的是（　　） A．8，15，17 B．，， C．1，1， D．2，12，14 2．（2026春•武汉校级期中）满足下列条件的△ABC（a、b、c为三边），不是直角三角形的是（　　） A．a2＝3，b2＝4，c2＝5 B．a2＝c2﹣b2 C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 3．（2026春•黑山期末）已知△ABC的面积为24，AD是BC边上的高，若AD＝4，CD＝5，则BD的长为（　　） A．1 B．1或11 C．7 D．7或17 4．（2022秋•龙泉驿区校级期中）如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（　　） A．18m B．10m C．14m D．24m 5．（2025秋•青羊区校级月考）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20cm，此时底部边缘A处与E处间的距离AE为15cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离BC为7cm，则底部边缘A处与C之间的距离AC为（　　） A．13cm B．15cm C．20cm D．24cm 6．（2026春•郫都区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AC＝6，AB＝10，则CD的长为　 　 ． 7、如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线、、上，且、之间的距离为2，、之间的距离为3，则为（ ） A. 68 B. 64 C. 25 D.50 8、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ） A． 厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米 初二勾股定理及逆定理应用课堂过关检测 时间： 姓名： 1．（2026•武侯区校级开学）以下条件中，不能形成直角三角形的是（　　） A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝32，b＝42，c＝52 C．∠A+∠B＝∠C D．AB＝AC，∠C＝45° 2．（2024春•西秀区期中）已知△ABC三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．（2025秋•郫都区校级期末）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母A所代表的正方形的边长是（　　） A．12 B．13 C．144 D．196 4．（2026春•番禺区校级期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，设这支铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是（　　） A．2cm＜x≤5cm B．3cm≤x≤6cm C．4cm＜x≤7cm D．5cm＜x≤8cm 5． （2026春•双流期中）如图，为测量信号塔AB（垂直于地面BD）的高度，小明首先在信号塔AB前的 地面BD上选一点P，使BP＝2.5m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD （CD＝2.5m）在BP的延长线上移动，使∠DPC＝20°时竿子停止移动，此时测 得BD＝12m，则信号塔AB的高度为　 　 m． 6．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为18cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底8cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 　 　cm．（杯壁厚度不计） 【教学反思】 1 学科网（北京）股份有限公司 $