精品解析：广西南宁市第十四中学2026-2027学年九年级上学期开学数学自主学习调研

2026年暑期自主学习调研 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必把姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，，，可化简，不是最简二次根式， 无法继续化简，是最简二次根式． 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形三边关系和勾股定理的逆定理判断，即验证两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项中，不能构成三角形，故该选项不符合题意； B选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项中，，，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D选项中，，，不能构成直角三角形，故该选项不符合题意． 3. 一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 常量，变量 D. 变量，常量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据常量、变量的意义进行判断即可． 【详解】解：笔的单价是2元不变的，因此2是常量， 而购买的支数x，总费用y是变化的量，因此x和y是变量． 故选：C． 4. 为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数． 【详解】解：统计这组数据中各数出现次数：出现次，出现次，出现次，出现次， 可得出现次数最多，故众数为． 5. 如图，在平行四边形中，，是对角线，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：选项A、∵四边形是平行四边形， ∴，， 平行四边形的邻边不一定相等，只有特殊的平行四边形（菱形）才满足邻边，故本选项错误． 选项B、平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形这类特殊平行四边形才满足，故本选项错误． 选项C．平行四边形的对角线不一定相等，只有矩形这类特殊平行四边形才满足，故本选项错误． 选项D、∵四边形是平行四边形， ∴，故本选项正确． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 7. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂的外轮廓是正八边形，它的每一个内角都是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式求出该正八边形的内角和，再根据正八边形的每个内角相等，即可求解． 【详解】解：该正八边形的内角和为， 每个内角为． 8. 下列各曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可． 【详解】解：观察图像可知，选项A、B、D，存在的值，有2个值与之对应，故不是的函数，即A、B、D不符合题意； 选项C，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意． 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 10. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 11. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，．若，，点在上且平分，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证四边形为矩形，结合角平分线与平行线的性质得到等腰三角形，利用勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴． 12. 如图，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图是点运动时随变化的关系图像，其中右端点的纵坐标为，则图像最低点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用菱形右端点条件求出菱形的边长，再根据菱形的对称性将转化为，当点B、F、E三点共线时，y取得最小值，即y的最小值为线段的长度；证明是等边三角形，进而可得，，由勾股定理可解得，即图像最低点P的纵坐标为；证明为含有30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理解得，的长度，进而可得答案． 【详解】解：如下图，连接，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴， 当点F运动到点C时，， ∵图像右端点Q的纵坐标为3， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，解得， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴点D与点B关于对称， ∴， ∴， 当点B、F、E三点共线时，如下图，y取得最小值，即最小值为线段的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， ∴图像最低点P的纵坐标为， ∵，， ∴， 又∵， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴， ∴图像最低点P的坐标为． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 所以的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式变形为，即寻找直线的图象在直线的图象上方（含交点）时对应的自变量的取值范围． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为． 不等式可变形为， 即求直线在直线上方或相交时的取值范围． 观察图象可知， 当时，直线的图象在直线的图象上方或重合． 不等式的解集是． 15. 年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】已知三项得分的权重比和对应得分，代入加权平均数公式计算即可得到总成绩． 【详解】解：∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 16. 在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据正方形性质和已知线段长证明，从而得出，即；结合图形及可知为中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点，即在中，是斜边上的中线，  ， 在中，，  ， ． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1）如图所示： （2）解：四边形是菱形，证明如下： 垂直平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， 在和中， ， ， 互相垂直平分， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧交于两点，过这两点画直线即为线段的垂直平分线； （2）连接，，由垂直平分，得到，，再由平行四边形的性质得到，，进而证明，得到，互相垂直平分，由此证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】（1）80，145 （2）补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： （3）选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多． 【解析】 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【小问1详解】 解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有奇数个，正中间的数为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3位，则，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 【答案】（1），； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【小问1详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 21. 受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨． （1）分别求出A，B两地各收到多少吨物资； （2）请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】（1） A地收到200吨物资，B地收到100吨物资 （2） 设计方案为A地运往C地20吨、D地180吨，B地运往C地100吨、D地0吨，最少费用为45200元. 【解析】 【分析】（1）根据A、B两地物资总吨数及倍数关系列方程组求解. （2）设调运量为自变量，列出总运费的一次函数表达式，结合自变量取值范围，利用一次函数增减性求最小值.  【小问1详解】 解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资， 由题意得 ， 解得； 答：A地收到200吨物资，B地收到100吨物资； 【小问2详解】 解：设从A地运往C地吨物资，总运费为元，则A地运往D地吨，B地运往C地吨，B地运往D地吨， ∴， 解得， 总运费 整理，得， ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 最小值为； 此时调运方案： A地运往C地20吨，运往D地吨； B地运往C地吨，运往D地吨. 22. 综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】（1）①；② （2）丙的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． 【小问2详解】 解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 23. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是直等四边形，这条对角线叫做直等线． （1）如图，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是直等四边形； （2）如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在右侧有一点，使得四边形为直等四边形，其中，且为直等线．若四边形的面积为，请求出的长； （3）如图，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为直等四边形，请求出的最小值． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，又是直角三角形， ∴四边形是直等四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到是直角三角形，，再证明四边形是平行四边形，推导出，则是等腰三角形，根据题中定义可证得结论； （2）先根据菱形的性质求得，进而可求得，过E作于H，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求得，，在中，利用勾股定理求解即可； （3）连接，当四边形为直等四边形，且为直等线时，延长交于K，连接，证明是等边三角形得到为的中点，进而可得是的中位线，则，故当最小时，最小，利用垂线段最短得到当时，最小，然后利用等边三角形的性质和勾股定理求得的长即可；然后说明当四边形为直等四边形，且为直等线时的情况不存在，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴； ∵四边形的面积为， ∴， 过E作于H， ∵， ∴，， 在中，； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴和都是等边三角形，则，， 当四边形为直等四边形，且为直等线时，是直角三角形，且， 如图，延长交于K，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，，又， ∴是等边三角形，又， ∴，即为的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故当最小时，最小， 当时，最小，此时， ∴， ∴的最小值为； 当四边形为直等四边形，且为直等线时，连接，如图， ∵， ∴不可能是直角三角形， 当是等腰三角形时，点E与B重合，此时也是等腰三角形，且，不为直角三角形，故此情况不存在， 综上，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑期自主学习调研 数学 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必把姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一支笔2元，买支共付元，则2和分别是（ ） A. 常量，常量 B. 变量，变量 C. 常量，变量 D. 变量，常量 4. 为践行绿色低碳理念，选择电瓶车出行的市民越来越多．为加强市民安全意识，交警同志在某个路口对是否佩戴安全头盔进行一周连续检查，每天未佩戴安全头盔人数分别是、、、、、、，这组数据的众数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，是对角线，下列结论中正确的是（） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．如图所示的海棠纹窗棂的外轮廓是正八边形，它的每一个内角都是（ ） A. B. C. D. 8. 下列各曲线中表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，．若，，点在上且平分，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形中，，为的中点，点沿对角线从点向点运动，连接，．设，，图是点运动时随变化的关系图像，其中右端点的纵坐标为，则图像最低点的坐标为（） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是_________． 14. 如图，根据函数图象可得关于的不等式的解集是___________． 15. 年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 16. 在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点．若，，，则的长为__________． 三．解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解方程：． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 19. 智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 20. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 21. 受年强台风侵袭，广西部分乡镇发生洪涝灾害，群众生活物资紧缺．灾害面前，社会各界群众主动伸出援手，踊跃捐赠食品、饮用水等救灾物资，践行“一方有难，八方支援”的传统美德．现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共吨．据统计，A地收到物资吨数的倍与B地收到物资吨数的倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为元/吨和元/吨；现C地需物资吨，D地需物资吨． （1）分别求出A，B两地各收到多少吨物资； （2）请你设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 22. 综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 23. 定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是直等四边形，这条对角线叫做直等线． （1）如图，矩形的对角线，交于点，，，求证：四边形是直等四边形； （2）如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在右侧有一点，使得四边形为直等四边形，其中，且为直等线．若四边形的面积为，请求出的长； （3）如图，在菱形中，，，为边上一点，点在边上运动，连接，点是的中点，作于，连接，若四边形为直等四边形，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $