21.5 反比例函数同步训练 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习以“夯实基础-能力提升-拓展创新”分层设计，覆盖反比例函数概念、图像性质、综合应用及跨学科情境，梯度清晰，助力知识从单一理解到综合创新的进阶巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|反比例函数图像、性质、解析式求解|含杆秤制作（杠杆原理）、密度计测量等应用题型，培养模型意识与应用意识| |能力提升|函数图像交点、动态几何、与一次函数综合|通过矩形平移、注意力指数曲线等问题，发展推理能力与几何直观| |拓展创新|跨学科（物理U=IR）、与二次函数结合|结合蓄电池电压情境及抛物线综合题，提升数学眼光与创新意识|

21.5 反比例函数同步训练2026-2027学年沪科版九年级数学上册 一、夯实基础 1．若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（　　） A． B． C． D． 2． 若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（　　） A． B． C． D． 3．对于反比例函数下列结论正确的是（　　） A．点（2，1）在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 4．若函数是反比例函数，则的值是　 　． 5．若点，在反比例函数的图象上，则　 　（“”“”“ ”）． 6．如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为　 　． 7．杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并系上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．求关于的函数关系式． 8．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． （1）求反比例函数及的值； （2）若经过两点的直线与轴交于点，求的面积． 9．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）． （1）求h与ρ之间的函数关系式； （2）当液体密度ρ≥1g/cm3时，直接写出浸在液体中的高度h的取值范围． 二、能力提升 10．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 11．已知点A （m， y1) ， B （m-2， y2)是反比例函数 图象上两点，若y1>y2，则m的取值范围为（　　） A．m>2 B．m<0 C．0<m<2 D．m<0或m>2 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中A、C的坐标分别为，．反比例函数（）的图象经过点，将矩形向右平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（　　） A． B． C． D． 13．若反比例函数的图像位于第二、四象限，那么的取值范围为　 　． 14．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为． （1）求出曲线CD所在的函数关系式； （2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 15．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（﹣2，1），点B的坐标为（，m）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围． 三、拓展创新 16．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时的电流I（单位：A)、电阻R（单位：Ω)与电压U （单位：V)的关系式：U=IR，它的图象如图所示.下列说法正确的是（ ) A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当I≤10A时， R≥3.6Ω D．当R=6Ω时， I=4A 17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 经过点O 和点A(3，3a). （1）求c 的值，并用含 a 的式子表示b. （2）过点 P(t，0)作x轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 y=ax 于点N. ①若a=1，t=4，求MN 的长. ②已知在点 P 从点O运动到点B(2a，0)的过程中，MN 的长随OP 长的增大而增大，求a的取值范围. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】2 5．【答案】< 6．【答案】3 7．【答案】解：由题意可设， ∵在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量， ∴将，代入，得：， ∴关于的函数关系式为． 8．【答案】（1）解：将点代入得： 故反比例函数为． 将点代入得：． （2）解：设直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得． 故解析式为． 令可得： 由可得：． 9．【答案】（1）解：设h与ρ之间的函数关系式为h（k为常数，且k≠0）， 将坐标（1，20）代入h， 得20， 解得k＝20， ∴h与ρ之间的函数关系式为h． （2）解：0＜h≤20． 10．【答案】A 11．【答案】C 12．【答案】A 13．【答案】 14．【答案】（1）解：设曲线CD所在的函数关系式为（k≠0）． 把点C（25，40）代入，得k＝1000． ∴曲线CD所在的函数关系式为． （2）解：当时，． 当时，． ∵， ∴第30min时学生的注意力更集中． 15．【答案】解：（1）把A（﹣2，1）代入y＝得 k＝﹣2×1＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y＝﹣， 把B（，m）代入y＝﹣得m＝﹣4， ∴B（，﹣4）， 把A（﹣2，1）、B（，﹣4）分别代入y＝ax+b得 ，解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣2x﹣3； （2）当x＝0时，y＝﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3）， ∴OD=3， ， ∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×2+×3×＝ ； （3）由图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，此时﹣2＜x＜0或x＞， ∴x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞． 16．【答案】C 17．【答案】（1）解： 将点O(0， 0)代入，抛物线 可得c=0， ∴该抛物线解析式为 将点A(3， 3a)代入，抛物线 可得3a=9a+3b，解得b=-2a； （2）解：①若(a=1，则该抛物线及直线解析分别为 x，y=x， 当t=4时，可有点P(4， 0)，如下图， ∵PM⊥x轴， 轴， 将x=4代入 可得 即M(4，8)， 将x=4代入y=x，可得y=4，即N(4， 4)， ②当点P从点O运动到点B(2a，0)的过程中， 轴， P(t， 0)， 将x=t代入 可得 即 at)， 将x=t代入y=ax，可得y=at，即N(t， at)， 令MN=0，即 解得t=0或t=3， 若a>0，可有2a>0，即点B在y轴右侧，如下图， 当 时，可有 其图象开口向下，对称轴为直线 若MN的长随OP的长的增大而增大，即MN的长随t的增大而增大，则 解得 当t>3时，可有 其图象开口向上，对称轴为直线 不符合题意； 若a<0，可有2a<0，即点B在y轴左侧，如下图， 当t<0时，有 其图象开口向上，对称轴为直线 若MN 的长随OP 长的增大而增大， 即MN 的长随t 的减小而增大，则 解得 综上所述，a的取值范围为 或a<0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $