21.5 反比例函数-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

21.5反比例函数 第1课时反比例函数 里点梳理 1.反比例函数的定义：一般地，表达式形如y=(k为常数，且k≠0)的画数叫作反比创画数.其中工是自 变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数 2.根据实际问题列反比例函数：首先弄清题意，找出等量关票，再进行等式变形即可得到反比例函数关系 式.注意：在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析自变量的取值范围， 用待定系数法求反比例函数的表达式：①)设出含有待定系数的反比例函数表达式y一(k为常数， k≠0)；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待 定系数；(4)写出表达式. 已课内基础闯关 知识点③ 用待定系数法求反比例函数的表 知识点①反比例函数的定义 达式 1.(2025一2026淮南检测)下列函数中，y是x k 4.已知点（一3,2）在反比例函数y=(k≠0) 的反比例函数的是 的图象上，则k的值为 ( A.y=- 6 2 3 B.y=- A.-3B.3 C.-6 D.6 C.y= 2 x+1 D.y=-x2 变式题已知点确定→已知点含有未知字母 2.已知y=2x2m是反比例函数，则m的值是 反比例函数y=的图象经过点A(m,8, ,自变量取值范围是 则反比例函数的表达式为 知识点② 根据实际问题列反比例函数 5.已知y与x成反比例关系，并且当x=3时， 3.先列出下列问题中的函数表达式，再指出它 y=7. 们分别是什么函数. (1)写出y与x之间的函数关系式 (1)跨物理学科电压为16V时，电阻R(单 (2)分别求出当x=1时y的值以及当y=3 位：2)与电流I(单位：A)之间的函数关系. 时x的值. (2)食堂每天用煤1.5t,用煤总量W(单位： t)与用煤天数t之间的函数关系. (3)积为常数m(m≠0)的两个因数y与x 之间的函数关系 上册第21章 29△ 已课外拓展提高 11.如下图，Rt△ABC的两个锐角顶点A,B 6.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高 在函数y=(x>0)的图象上，AC∥x轴， 为y,当它的面积为10时，y与x之间的函 AC=2.若点A的坐标为(2,2)，求点B的 数关系式为 坐标 A.y=10 10 B.y= 2x C.y=20 x D苏 7.下列问题中，两个变量之间的关系不是反比 例关系的是 A.小明完成100m赛跑时，时间t与他跑步 的平均速度v之间的关系 B.菱形的面积为48，它的两条对角线的长y 与x之间的关系 C.一个玻璃容器的体积为30L,它盛满液体 的质量m与所盛液体的密度p之间的 关系 已综合能力提升 ---- D.压力为600N时，压强p与受力面积S之 12.已知y=y1+y2,并且y1与(x一1)成正比 间的关系 例关系，y2与x成反比例关系.当x=2 易错点忽略反比例函数中k≠0的条件 时，y=5;当x=-2时，y=一9. 8.若函数y=(m-1)xm-2是关于x的反 (1)求y关于x的函数表达式 比例函数，则m的值是 (2)当x=8时，求y的值. 9.近视眼镜的度数y(单位：度)与镜片焦距x(单 位：m)成反比例关系.已知400度近视眼镜的 镜片焦距为0.25m,则近视眼镜的度数y与镜 片焦距x之间的函数关系式是 (不 考虑x的取值范围) 10.已知函数y=(5m一3)x2-"十m十n.当m, n为何值时，该函数为反比例函数？ 430 九年级数学HK版 第2课时反比例函数的图象和性质 要闾梳理 函数 图象 x的取值范围 位置 增减性 x 在每一个象限内，y随x的 第一、三象限 (k>0) 增大而减小 x≠0 x 在每一个象限内，y随x的 第二、四象限 (k0)》 增大而增大 已课内基础闯关 知识点② 反比例函数的性质 知识点① 反比例函数的图象 若反比例函数y-生的图象在每个象限 1.在下列图形中，反比例函数y=5 (x>0)的 内，y都随x的增大而增大，则k的值可以 是 ( 图象大致是 A.-1B.-5C.0 D.2 5.(2025天津)若点A(-3,y1),B(1,y2), C(3,,)都在反比例函数y=一是的图象 9 上，则y1,y2y3的大小关系是 () 2.开放题反比例函数y=一2 A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y 的图象如图所示，则k的值可 知识点③ 反比例函数中k的几何意义 以是 (写出一种情况 第2题图 6.如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y 即可). 6 3.在下图所示的平面直角坐标系中画出反比 =一(x<0)的图象上，则矩形ABOC的面 3 例函数y=和y= 3 积等于 的图象，并解答下列 A.-6 B.6 C.4 D.2 问题： 反比例函数的图象 叫作 因为自变量x与 第6题图 变式题图 函数y的值都不 -2-.023456x 变式题已知k值求面积→已知面积求k值 能取 ,所 以反比例函数的图 如图，点P(x,y)在双曲线y=(x<0) 象与x轴、y轴 上，PA⊥x轴，垂足为A.若SAAOP=2,则 (填“有”或“无”)交点 k的值为 31 上册第21章 已课外拓展提高 综合能力提升 7.已知ab<0,一次函数y=ax一b与反比例 10.在平面直角坐标系xOy中，点A(m,0), 函数y=“在同一平面直角坐标系中的图象 B(m一a,0)(a>m>1)的位置和函数y1 可能是 -”(x>0),y,=m二口(x<0)的图象如下 x 图所示.以AB为边在x轴上方作正方形 ABCD,AD边与函数y1的图象相交于点E, CD边与函数y1y2的图象分别相交于点G, H,与y轴相交于点M.一次函数y3的图象 B 经过点E,G,与y轴相交于点P,连接PH. (1)当a,m在满足a>m>1的条件下任意变 化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由. (2)试判断直线PH与BC边的交点是否 在函数y2的图象上？请说明理由。 8.如图，A是双曲线y=8(r> 0)上的一点，C是OA的中点， 过点C作y轴的垂线，垂足为 0 第8题图 D,交双曲线于点B,连接OB, 则△ABD的面积是 9.(教材变式)如右图，一次函数 y=x+1与反比例函数y 冬的图象相交于A(m,2),B 两点，AB交y轴于点C,分别连接OA,OB. (1)求这个反比例函数的表达式， (2)求△AOB的面积， 432 九年级数学HK版 第3课时反比例函数的应用 要固梳理 反比例函数在实际中的应用：(1)把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；(2)注意自变量 和函数值的取值的实际意义：(3)把问题中出现的不等关系转化成等量关系来解，然后在作答中说明， 色课内基础闯关 5.已知学生注意力指标y随时间x(单位：min) 知识点反比例函数在实际中的应用 变化的函数图象如下图所示.当0≤x<10或 1.(2025一2026天长期末)菱形的面积为2，其 10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时， 对角线长分别为x,y,则y关于x的函数图 图象是反比例函数图象的一部分 象大致为 (1)求点A对应的指标值. (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题 需要17min,他能否通过适当的安排，使学生 在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不 低于36？请说明理由. 1 D B C 2.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f(单位： H)与弦长1（单位：m)成反比例关系，即f= 01020 45 x/min (k为常数，k≠0).若某乐器的弦长l为0.9m, 振动频率f为200Hz,则k的值为 3.跨物理学科根据物理学知识，在压力不变的 情况下，某物体承受的压强p(单位：Pa)是它 的受力面积S(单位：m)的反比例函数，其函 数图象如图所示.当S=0.25m2时，该物体 承受的压强饣为 Pa. p/Pa 4000 3000 2000H 1000 0.10.20.30.40.55/m2 第3题图 第4题图 已课外拓展提高 4.情境应用如图所示的是某公园水上滑梯的 侧面示意图，其中矩形AOEB为向上攀爬的 梯子，BC段可看成一段反比例函数图象，建 立平面直角坐标系.已知OA=5m,入口 AB∥OD,且AB=2m,出口点C距水面的 距离CD为1m,则B,C之间的水平距离 DE的长为 m. 上册第21章 33△ 强化训练专题 反比例函数的比例系数k的几何意义 题型① 已知k,求面积 题型② 已知面积，求k 6 1.如图，A是反比例函数y=一 (x<0)的图 x 5.如图，点A在双曲线y1=2（x>0)上，点B 象上的一点，以A为顶点作口ABCD,使点 B,C在x轴上，点D在y轴上，则□ABCD 在双曲线y:=(x<0)上AB/x轴.C是 的面积为 x轴上一点，连接AC,BC.若△ABC的面积 A.1 B.3 C.6 D.12 是6，则k的值是 () B CO OD C 第5题图 第1题图 第2题图 A.-6 B.-8 2.如图，点A在双曲线y=二(x>0)上，点B C.-10 D.-12 x 6.安徽中考特色·双空题如图，在平面直角 在双曲线y=3（x>0)上，且AB∥z轴，点 坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在 C,D在x轴上.若四边形ABCD为矩形，则 x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=(k x 它的面积为 ( ) >0,x>0)的图象交BC于点D,交AB于 A.1 B.2 C.3 D.4 点E,连接OD,OE. 3.如图，两个反比例阴数1-和y=兰在第 (1)△DOC的面积与△AOE的面积的关系 一象限内的图象分别是C1和C2.设点P在 是 (填“相等”或“不相等”). C1上，PA⊥y轴于点A,交C2于点B,则 (2)若BD=2CD,S四边形ODBE=6,则k的值 △POB的面积为 为 第3题图 第4题图 第6题图 第7题图 4.如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴 7.如图，□ABCD的顶点A在x轴上，点D在 上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数 2 y=2（x>0),y=-5（x>0)的图象于点 (k≥0)的图象上，且AD上x轴，连 CA并延长交y轴于点E,连接BE.若 A,B.若C是y轴上任意一点，则△ABC的 3 面积为 SAABE=2,则k= 九年级数学HK版教材变式专题与二次函数有关的几何 图形面积最值问题探究 1.解：设矩形土地ABCD的面积为Sm,AB=xm,则 (90-3r)m.s=x·号(900-3x) BC=1 6r-300x)=-2(-150)3+33760. 3 3 ,x>0,900-3x>0,∴.0<x<300 又、3 2<0，当x=150时，S袋大物=33750， AB=150m,BC=2(900-3x)=225m. 答：当AB,BC的长分别是150m,225m时，矩形土地 ABCD的面积最大，最大面积是33750m2. 2.解：设劳动实践基地的面积为Sm2,BC=xm,则AB -0g-(20-若)m8=(20-）=-号x 60x)=3x-30)2+300 1 ”-3<0,0<x≤35，小当x=30时，S题大鱼=300. 答：当基地长度BC为30m时，该劳动实践基地的面 积最大，最大值为300m. 3.解：设矩形苗圃ABCD的面积为Sm,它的一边AB的 长为xm,则BC的长为32-3.x+2×2=(36-3.x)m, .S=x(36-3x)=-3x2+36.x=-3(x-6)2+108. ,-3<0,当x>6时，S随x的增大而减小. 22 x>0,36-3x≤14x≥3 :32 >6心当x=号时，S有最大值，Seka-308 22 3 答：当AB的长为3m时，矩形苗圃ABCD的面积最 308 大，最大面积为3m, 情境应用专题二次函数的实际应用 1.解：(1)根据题意，得每块绿化区的宽为[30一(50 2x)]÷2=(x-10)m, .y=50×30-4.x(x-10)=-4x2+40.x+1500. :出口宽度不小于14m,不大于26m,.14≤50-2x ≤26，.12≤x≤18， y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18). (2)y=-4x2+40x+1500=-4(x-5)2+1600. ,a=一4<0，∴.抛物线的开口向下， .当12≤x≤18时，y随x的增大而减小， .当x=12时，y最大=1404. 故活动区的最大面积为1404m. 2.解：设裁掉的正方形的边长为xdm. (1)由题意，得(10一2.x)(6-2.x)=12,解得x1=2,x2=6 (不合题意，舍去)，即裁掉的正方形的边长为2dm. (2)设总费用为y元，则y=2(10-2x)(6-2x)+ 0.5[2x(10-2x)+2x(6-2x)]=4(x-6)2-24. 410 九年级数学HK版 由题意，得10-2x≤5(6-2x),解得x≤2 根据二次函数的性质可知，当边长为}m时，总费用 最低，最低为4×（号-6）°-24=25（元）. 3.解：(1)根据题意，得1=(8-m)x-30(0≤x≤500)， w2=(20-12)x-(80+0.01x2)=-0.01x2+8.x-80 (0≤x≤300). (2),8一m>0,∴.，随x的增大而增大. 又：0≤x≤500，.当x=500时，1有最大值，w1最大 =-500m+3970. e2=-0.01.x2+8.x-80=-0.01(x-400)2+ 1520,且一0.01<0，对称轴为直线x=400, .当0≤x≤300时，心2随x的增大而增大，∴.当x= 300时，02最大=-0.01×(300-400)2+1520=1420. 故A产品的最大日利润为（一500m+3970)元，B产 品的最大日利润为1420元. (3)①若01最大=2大，即-500m十3970=1420，解得 m=5.1; ②若01最大>2最大，即一500m+3970>1420,解得m <5.1: ③若01大<2大，即-500m十3970<1420，解得m >5.1. 又，4≤m≤6，.为获得最大日利润： 当m=5.1时，选择产销A,B两种产品均可； 当4≤m<5.1时，选择产销A产品； 当5.1<m≤6时，选择产销B产品. 4.解：(1)由题意，得抛物线顶点P(2,10),D(0,6). 设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+10. 将D(0,6)代入，得4a+10=6,解得a=-1, .抛物线的表达式为y=一(x-2)2+10. (2)当y=0时，0=-(x-2)2+10, 解得x1=2+√10，x2=2-10(舍去)， ,.C(2十10,0)，.水柱落点C与水嘴底部A的距离 AC为(2+√/10)m. 5.解：(1)：点C到ED的距离是11m,.OC=11m. 设抛物线对应的函数表达式是y=a.x+11. 由题意，得B(8,8). 将点B的坐标代入y=a.x2+11,得64a+11=8, 解得a=一备iy=一高+1. (2)由题意，得水面与河底ED之间的距离h至多是11 -5=6(m),船只才能通行. 1 令6=-1281-19)°+8….(t-19)=256,解得t= 35,t2=3. 35一3=32(h),即在这40h内，有32h禁止船只通行. 21.5反比例函数 第1课时反比例函数 1.B2.-2 x≠0 3,解：I)R-5,是反比例函数 (2)W=1.5t,是正比例函数 (3)y=”(m为常数，且m≠0)，是反比例函数. 4.C 变式题y=氵【解析】：反比例函数y=的图象经 8 过点A(mg)心智-阳解得m=8反比例函数 8 的表达式为y=z 5解：1)”y与x成反比例关系，“可设y= x 把1=3y=7代入，得7=专，解得太=21， )与x之间的函数关系式为y=2头 （2)当x=1时y-引21当，=8时3-烈解得x=7 21 6.C【解析】根据三角形面积公式可得2xy=10,心y 与x之间的函数关系式为y=20 x 7.C【解析】A.根据速度v和时间t之间的关系，得t= 。,故是反比例关系： 10 B根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得2xy 96 48,即y=一，故是反比例关系； C.根据体积、质量m与所盛液体的密度ρ之间的关 系，得m=30p,故不是反比例关系； D.根据压力、压强p与受力面积S之间的关系，得p =600 =S,故是反比例关系 8.一1【解析】，函数y=(m一1)xm-是关于x的反 比例函数，∴.m2-2=一1，m-1≠0，∴.m=一1. 10【解析】根据题意，设该函数关系式是)一元 9.y= x 将(0.25,400)代入，得k=0.25×400=100, ys100 10.解：函数y=(5m一3)x2-"十m十n为反比例函数，∴.2 -n=-1,m+n=0,且5m-3≠0，解得n=3,m=一3. 故当m=一3，n=3时，该函数为反比例函数. 11.解：点A(2,2)在函数y=(x>0)的图象上， ∴2-令解得k=4 .在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2, .点B的横坐标是4. 令x=4,则y=是=1心点B的坐标为4,1). 12.解：(1)，y:与(x-1)成正比例关系，y与x成反比 k2 例关系，.设y1=k,(x-1),y2= “y=y+y2y=k(x-1)+e 2 5=k1+2 由题意可得、 解得伦，2， k2 k2=6, -9=-3k1一 2, ∴y关于x的函数表达式为y=2(x一1)十号. (2)当x=8时，y=2×7+ =14 3 第2课时反比例函数的图象和性质 1.A2.1(答案不唯一) 3.解：函数图象如图所示. 3 双曲线0无 4.B5.D6.B变式题-4 7.A【解析】若反比例函数y=二的图象经过第一、三象 限，则a>0,.b<0,∴.一次函数y=ax-b的图象应 该经过第一、二、三象限：若反比例函数y=的图象 经过第二、四象限，则a<0,∴b>0,∴一次函数y= a.x一b的图象应该经过第二、三、四象限. 8.4【解析】C是OA的中点，.S△AcD=S△oD,S△AcB =SAg∴.S△AcD+SAACB=S△xD+SAH,∴.S△ABD= SAm.:点B在双曲线y=8（x>0)上，BD⊥y轴， 1 S60m=2X8=4,S△AB=4. 9.解：(1)，一次函数y=x+1的图象经过点A(m,2), ∴.m十1=2，∴.m=1,.A(1,2). :反比例函数y=的图象经过点A1,2),k=2, ·反比例函数的表达式为y= x (2)联立 =2，解得=-2x=1, y=x+1, y= y1=-1,y2=2, ..B(-2,-1) 在一次函数y=x十1中，当x=0时，y=0+1=1, c0,5m=5e+5ax-x1X1+7× 3 1X2=2 10.解：(1)△PGH的面积不变化.理由如下： 上册详解详析 11 C点A(m0,B(m一a,0),y三=0二 x,四边 形ABCD是正方形 .E(m,1),OM=AD=AB=m-(m-a)=a, c(沿)H。2a) k1m十b1=1, 设y。=k1x十b1,则k1m +b1=a, a .b1=a十1，.P(0,a十1)，.OP=a+1, ..PM=OP-OM=1, 1 六Saa=2HG·PM= ×(。9）x1= a ,.当a,m在满足a>m>1的条件下任意变化时 △PGH的面积不变化. (2)直线PH与BC边的交点在函数y2的图象上.理 由如下： 如图，延长PH交BC边于点N. 设直线PH的表达式为y= G D x十a+1.将H(m-a,a aa》 代人，得，m-a）+a十1=a, a .k:=a a-my= a -x十a a-m +1. 当x=m-a时，y=1,.N(m-a,1), ∴点N在，=m二“(x<0)的图象上. 第3课时反比例函数的应用 1.C2.1803.400 4.8【解析】：四边形AOEB为矩形，∴.BE=OA=5m, OE=AB=2m,∴.点B的坐标为(2,5).设反比例函数 BC的表达式为y三，k=2×5=10,.y号 CD=1m,∴.当y=1时，x=10,.DE=10-2= 8(m). 5.解：(1)设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y -兰将点C的坐标代人，得5-分解得长=90， ·反比例函数的表达式为y=900 900 当x=45时y=45=20点D的坐标为(45,20)， .点A的坐标为(0,20)，∴.点A对应的指标值为20. (2)能.理由如下： 设当0≤x<10时，线段AB的表达式为y=m.x+20. 5 将点B的坐标代入，得45=10m+20,解得m=2, 5 ∴线段AB的表达式为y=2x+20, 当y之≥36，即号x+20≥36时，解得x≥写 32 900 由(1)，得反比例函数的表达式为y= Y12 九年级数学HK版 当y≥36，即900≥36时，解得≤25， ∴当号<≤25时，注意力指标都不低于36， 而25-号9>17，张老师能通过适当的安排，使学 生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 强化训练专题反比例函数的比例 系数k的几何意义 1.C2.B ,1【解析】由题意，得Som=)X42,SA0p户2 6=3,.S△0m=SAA0p-S△AoB=3-2=1. 7 4.2 【解析】如图，连接OA,OB.由1 题意，得SAMm=Sax,SAP=2O术 1 5 X2=1,Samp=2X|-5|=2, /B 57 ∴SABK=SA0w=SAAOP十S△WP=1+2=2· 5.C【解析】如图，连接OA,OB,设AB与y轴交于点M. 0 :AB红轴，点A在双曲线y,=2(x>0)上，点B在 双曲线y,=(x<0)上， 8S6aw=X2=1,Sam=2·1k1=- 1 1 1 S△=S△4os=6…1-2k=6k=-10. 6.(1)相等(2)3【解析】(1)：点E与点D在反比例函 数y=女(k>0>0)的图象上∴Sar=SE=号 1 (2),BD=2CD,四边形OABC为矩形， 设D(m,),则B(3m,) :S网边形ODBE=6,Sg边形ODBE=S矩形OABC一S△A0E一S△D0c, 1 .6=3m· ”m一2k一2k,解得k=3. 7.3【解析】设BC与x轴交于点F,连接DF,OD,如 图.：四边形ABCD为平行四边形，∴.AD∥BC,AD= BC,∴.SAODF=S△Ee,S△ADF=S△AB,∴.S△OAD=S△ABE 3 .3 …k=2×2=3.