21.2 二次函数的图象和性质 课后训练 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习按“夯实基础-能力提升-拓展创新”三层次设计，题量配比10:6:3，梯度合理，从单一知识点应用到综合问题解决，强化二次函数图象与性质的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|顶点坐标、平移规律、基本性质判断、解析式求解|以选择、填空为主，直接应用概念（如第1题顶点坐标），基础解答题强化运算（如第9题求解析式）| |能力提升|含参数函数性质、图像与坐标轴交点、面积问题|综合选择填空（如第13题多结论判断），解答题结合图像应用（如第16题面积计算），培养推理能力| |拓展创新|动态几何、旋转变换、开放探究|压轴题融入几何情境（如第18题点运动路径），开放问题（如第19题旋转落点），发展空间观念与创新意识|

21.2 二次函数的图象和性质课后训练2026-2027学年沪科版九年级数学上册 一、夯实基础 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 3．对于抛物线 以下说法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴为直线x＝5 C．顶点坐标为（5， 4） D．当x＞5时，y随x的增大而减小 4．在平面直角坐标系中，二次函数y=2(x-1)2的图象可能是(　　) A． B． C． D． 5．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 6．二次函数的最小值为　 　. 7．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是　 　．（写出一个即可） 8．若点 A（－3，y1）、B（0，y2）是二次函数 y = 2(x - 1)2- 1 图像上的两点，那么y1与y2的大小关系是　 　（填y1＞ y2 、y1 =y2 或y1＜y2）． 9．求过，和三点的抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标． 10．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式以及顶点坐标． 二、能力提升 11．已知抛物线 经过点A(3，m)和点B(-2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为(　　) A．m>n B．m<n C．m=n D．与a的值有关 12．如图，二次函数 的图象经过点A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-8).那么二次函数 的图象中，当图象位于x轴下方(不包含x轴)时，自变量x的取值范围是(　　) A．-2<x<0 B．-2<x<2 C．0<x<2 D．2<x<4 13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，0<a<c），经过点（-1，0），下列结论： ①b>0； ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； ③当x<-1时，y随x的增大而减小； ④m为任意实数，若c=3a，则代数式am2+bm+c的最小值是-n 其中正确的结论是　 　（填写序号）． 14．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是　 　． 15．已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （3）当时，直接写出函数y的取值范围； 16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，已知B(-1，0)，且抛物线经过点D(2，-3). （1）求抛物线的表达式； （2）若E是抛物线上第四象限内的一点，且求点E的坐标. 三、拓展创新 17．点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．①③⑤ B．①③ C．①②⑤ D．③⑤ 18．如图，在中，，点D，E分别是边上的中点，点F在的延长线上，连接，．点P从点D出发，沿运动到点F，在边上找一点Q，连接，使得，则在点P的运动的过程中，点Q的运动路径长为　 　． 19． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】26 7．【答案】（答案不唯一） 8．【答案】 9．【答案】解：∵抛物线经过， ∴设函数的表达式为： 将点代入得： 解得： ∴该函数的解析式为 ∴顶点坐标为： 答：函数的解析式为，顶点坐标为. 10．【答案】解：抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后得到的关系式为， 即，其顶点坐标为. 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】①②④ 14．【答案】或 15．【答案】（1）解： （2）答： 开口向上， 对称轴为直线，顶点 （3）y的取值范围． 16．【答案】（1）解：将B(-1，0)，D(2，-3)代入解析式可得： ，解得： ∴解析式为 （2）解：令y=0，得 解得：x1=-1，x2=3 ∴A(3，0) ∴AB=3-(-1)=4 设E(x，x2-2x-3) ∵ ∴ 解得：，(舍去) ∴ 17．【答案】A 18．【答案】 19．【答案】（1）解： 抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(-3，0) 、 B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3) ， ， 解得： ∴ 抛物线的表达式为y=- x2 -2x+3 ； （2）解： 联立得： 解得：， ∴ D (-4，-5) ， ∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线x =-1 ，顶点为N (-1，4) ， 设M(-1， n ) ， ∵ MB = MD ， ∴ MB2=MD2 ， ∴(-1-1)2+(n-0 )2=(-1+4)2+(n+5)2 ， 解得：n=-3 ， ∴ n的值为-3 ； （3）解：符合条件的点P的坐标为：或或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $