21.1 二次函数&21.2 二次函数的图象和性质-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

第21章 二次函数与反比例 21.1二次函数 要固梳理 1.二次函数的定义：一般地，表达式形如y二ax2十bx十c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫作x的二次函 教，其中x是自变量，，b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项 2.列二次函数表达式的步骤：(1)分清已知量（常量）和未知量（变量）；(2)找出等量关系；(3)根据等量关系 写出用一个变量表示另一个变量的函数表达式： 3.二次函数自变量的取值范围：一般情况下，二次函数自变量的取值范围都是全体实数，但在实际问题中， 自变量的取值范围应使实际问题有意义， 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 二次函数的定义 3.用一根长为30cm的绳子围成一个矩形，设 1.(2025一2026安庆期末)下列函数中，是二次 矩形的一边长为xcm,则矩形的面积S(单 函数的是 位：cm2)与x(单位：cm)之间的函数关系式 A.y=x2-1 为 ,其中自变量x的 B.y=√2x 取值范围是 C.y=x2-1 D.y=1 x 4.数形结合思想如右图，等 腰直角三角形ABC的直角 变式题判断是否是二次函数→判断二次 边长与正方形MNPQ的边 函数中参数的取值范围 长均为10cm,边CA与边 (1)若关于x的函数y=(a+1)x2-3ax MN在同一条直线上.△ABC沿MN方向 一2十a是二次函数，则a必须满足的条件 以1cm/s的速度匀速运动，开始时点A与 是 点M重合，运动到点A与点N重合时停止. (2)已知函数y=(m-3)xm-1+2.x一1 设运动的时间为ts,运动过程中△ABC与 为二次函数，则m的值为 正方形MNPQ重叠部分的面积为Scm2.求 S与t之间的函数表达式，并直接写出自变 知识点② 根据简单的实际问题列出二次函 量t的取值范围. 数表达式 2.(教材变式)某集成电路公司主动适应市场需求， 引进新设备和新技术提升产能后，第一年生产晶 圆1.5万片，计划第三年生产晶圆y万片.设该 公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为 x,那么y与x之间的函数关系式是() A.y=1.5(1+x)2B.y=(1-x)2+1.5 C.y=1.5(1-x)2D.y=x2+1.5 上册第21章 21.2二次函数的图象和性质 21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 第1课时二次函数y=x2的图象和性质 点梳理 函数 图象 开口方向顶点坐标对称轴 增减性 最值 当x=0时， 当x>0时，y随x的增大而增大； y=x 向上 (0,0) y轴 y有最小 当x<0时，y随x的增大而减小 值0 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点二次函数y=x2的图象和性质 4.一题多解法若点(0，y1),(1,y2),(2,y3)都 1.在下面的网格中建立平面直角坐标系，并画 在二次函数y=x2的图象上，则 () 出二次函数y=x2的图象. A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2 5.如图，正方形OABC的顶 点B在抛物线y=x2位于 第一象限的图象上.若点B 的横坐标与纵坐标之和等 0 于6，则正方形OABC的面 积为 第5题图 6.在平面直角坐标系中，抛 2.(2025一2026合肥瑶海区检测)观察二次函 物线y=x2如右图所示. 数y=x2的图象，回答下列问题 已知点A的坐标为(1， (1)图象 (填“是”或“不是”)轴对 1),过点A作AA1∥x轴 A(1,1) 称图形 交抛物线于点A1,过点 0 (2)图象有最 (填“低”或“高”) A1作A1A2OA交抛物线于点A2;过点A? 点，该点的坐标是 作A2A3∥x轴交抛物线于点A3,过点A3作 (3)当x>0时，随着x的增大，函数y A3A4∥OA交抛物线于点A4;….依次进 (填“增大”或“减小”) 行下去，求点A2o26的坐标. 易错点求函数取值范围时忽视抛物线图 象特点 3.已知二次函数y=x2,当一2≤x≤3时， y 的最大值和最小值分别是 九年级数学HK版 第2课时二次函数y=ax2的图象和性质 要闾梳理 函数 图象 开口方向顶点坐标对称轴 增减性 最值 当x>0时，y随x的增大而增 当x=0时，y取 y=ax 向上 大；当x<0时，y随x的增大 得最小值，y地 (a>0) 0 而减小 =0 (0,0) y轴 y↑ 当x>0时，y随x的增大而减 当x=0时，y取 y=ax 向下 小；当x<0时，y随x的增大 得最大值，y大他 (a<0) 而增大 色课内基础闯关 关系是 知识点二次函数y=ax2的图象和性质 变式题点在对称轴同侧→点在对称轴 1.(教材变式)若二次函数y=ax2的图象经过 异侧 点A(3,一6)，则该图象必经过点 ( 若点A(一1，y1),B(2,y2)在二次函数y A.(-3,6) B.(-3,-6) =ax2(a<0)的图象上，则y1与y2的大 C.(6,-3) D.(6,3) 小关系是 2.(2025一2026江门蓬江区期末)关于抛物线 y=3x2,下列说法正确的是 ( 7.注重学习过程在同一平面直角坐标系中， A.开口向下 B.顶点坐标为(0,3) 画出函数1=3与y=一32的图象。 C.对称轴为y轴 (1)列表： D.当x<0时，函数y随x的增大而增大 -1 0 1 3 3.抛物线y=3x2,y=-32,y=-xy y 2x2中，开口最大的是 B.y=-3.x2 (2)描点并连线. C.y=-x2 D.y=2x2 yt 4.开放题已知抛物线y=(k一2)x2的开口向 上，写出一个满足条件的k值： 2+ 5.抛物线y=mx与y=一3x2的形状相同， 6543_2_10 开口方向相反，则m的值是 6.一题多解法若点A(1,y1),B(2,y2)在二次 (3)写出这两个图象的位置关系： 函数y=2的图象上，则与y的大小 上册第21章 已课外拓展提高 (2)点B的坐标 8.当ab>0时，函数y=a.x2与y=a.x十b的 图象大致是 业不术 已综合能力提升 9.转化思想如图，正方形的 边长为4，以正方形中心 12.如下图，已知直线AB∥x轴，直线AB与抛 为原点建立平面直角坐标 物线y1=mx2交于C,D两点，与抛物线 系，作出函数y=2x2与y y2=nx2交于A,B两点， 三一 2x2的图象，则阴影 (1)若AB=4,CD=2,直线AB为y=4, 部分的面积是 第9题图 则m= ,n= A.2B.4 C.6 D.8 (2)若点(1,1)，(1,4)分别在两条抛物线 10.已知二次函数y=(m十1)xm-1 的图象开 AB 上，直线AB为y=4,求CD的值. 口向下，则m的值是 (3)叁数法在(2)的条件下，将直线AB沿 变式题已知二次函数y=(2-a)x-3, AB y轴向上平移，CD的值是否会发生变化？ 在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而 请说明理由. 减小，则a的值为 YI=mx2 11.如下图，二次函数y=a.x2的图象与直线y= 2x十2相交于点A,B.已知点A的横坐标为 0 一2，求 (1)该二次函数的表达式. 九年级数学HK版 21.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 要固梳理 函数 图象 开口方向顶点坐标 对称轴 增减性 最值 当x>0时，y随 当x=0时，y y=ax2+k x的增大而增大； 向上 取得最小值， (a>0) 0 当x<0时，y随 y表小道三k k>0 k<0 x的增大而减小 (0,k) y轴 当x>0时，y随 当x=0时，y y=ax2+k x的增大而减小； 向下 取得最大值， (a<0) 当x<0时，y随 义表大值三k k 0 k<0 x的增大而增大 已课内基础闯关 6.已知二次函数y=一x2十1. (1)在给定的网格图中建立适当的平面直角 知识点① 二次函数y=ax2十k的图象和性质 坐标系，并画出这个函数的图象。 1.抛物线y=3x2一3的顶点坐标是 ( (2)当x的取值范围为 A.(0,-3) B.(3,3) 时，该二次函数的图象在x轴的下方. C.(0,3) D.(3,-3) 2.下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减 小的是 A.y=2x+2 B.y=-x2 C.y=-x2+2 D.y=2x2+2 3.对于二次函数y=一x2一2，下列说法不正 确的是 ) 知识点② 抛物线y=ax2十k与抛物线y= A.函数图象的开口向下 ax2的平移关系 B.函数图象的对称轴是直线x=2 7.(教材变式)将抛物线y=一2x2+1向上平移 C.函数图象的顶点坐标为(0，一2) 4个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达 D.当x=0时，y取得最大值，y最大值=一2 式是 4.设点(-1，y1),(2,y2),(3,y3)在抛物线y 变式题逆向思维：由平移过程推函数表达 -2x2+1上，则y1y2y3的大小关系为( 式→由函数表达式推平移过程 A.y3>y2>y1 B.y1>y3>y2 二次函数y= 1 C.y3>y1>y2 D.y1>y2>y3 一的图象可以由二次 1 5.抛物线y=2-2与x轴的交点坐标为 函数y=4x的图象向 平移 ,与y轴的交点坐标为 个单位得到 上册第21章 已课外拓展提高 11.已知点(2,8)在关于x的二次函数y=ax2 8.(2025一2026淮南田家庵区期未)在同一平 +b的图象上，且当x=-1时，y=5. 面直角坐标系中，直线y=ax十c和二次函 (1)求a与b的值， 数y=一a.x2一c的图象大致为 (2)若点(12，m),(n,17)也在这个函数的 图象上，求m与n的值. 综合能力提升 12.如下图，正比例函数y=2x的图象与抛物 线y=ax2+3相交于点A(1,b). 9.转化思想如图，两条抛物线y1=一 x2 (1)求a与b的值， 1,y2=- 22-1与分别经过点(-2,0). (2)已知抛物线的顶点是C,若P是x轴上的 一个动点，求当PA十PC的值最小时点P的 (2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴 坐标. 影部分的面积为 12 第9题图 10.通过上下平移二次函数y= 3x2的图象， 能使得到的新函数的图象经过点(3，一3)， 求平移的方向和距离 九年级数学HK版 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 要闾梳理 L.二次函数y=a(x一h)2的图象与性质： 函数 图象 开口方向顶点坐标 对称轴 增减性 最值 当x>h时，y随x的增大 当x=h时，y y=a(x-h) 向上 而增大；当x<h时，y随 取得最小值， (a>0) 10 x的增大而减小 直线 y表小通=0 h>0 (h,0) x=h 当x>h时，y随x的增大 当x=h时，y y=a(x-h) 向下 而减小；当x<h时，y随 取得最大值， (a<0) x的增大而增大 儿装大丝三0 h<0 2.二次函数y=a(x一h)的图象可以由二次函数y=ax2的图象通过左右平移得到：当h>0时，向右平 移h个单位；当h<0时，向左平移一h个单位.两个函数图象的形状、开口方向和最值相同. 课内基础闯关 5注重学习过程三次函数y}的图象如 知识点① 二次函数y=a(x一h)2的图象 下图所示，直接在平面直角坐标系中画出二 和性质 1.对于二次函数y=一2(x十3)2，下列说法正 次函数y=4(x-3)和y=4(x+3)2的 确的是 】 图象，并解决下列问题： A.图象的开口向上 B.图象的对称轴为直线x=一3 C.当x>一4时，y随x的增大而减小 D.图象的顶点坐标为（一2，一3） 2.当x= 时，抛物线y=一 2(x-2)2 取得最 值，最值是 将抛物线y= 4(x-3)2向 平移 3.若二次函数y= 五(x-5)2的图象上有 个单位得到抛物线y=(x十 1 A(4,y1),B(6,y2)两点，则y1 y2(填“>”“<”或“=”). 3)2. 知识点② 抛物线y=a(x一h)2与抛物线 易错点 对二次函数增减性的相关判断 y=ax2的平移关系 出错 4.将函数y=2x2的图象向左平移1个单位 6.已知在二次函数y=3(x一a)2的图象 后，得到的图象对应的函数表达式为( 上，当x>2时，y随x的增大而增大， A.y=2(x-1)2B.y=2x2-1 则a的取值范围是 C.y=2(x+1)2D.y=2x2+1 上册第21章 已课外拓展提高 综合能力提升 7.在同一平面直角坐标系中，抛物线y=(x 12.几何直观如下图，在平面直角坐标系xOy a)2与直线y=a十a.x可能是 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经 女毕 1 过点(4,1)，直线y=4x与抛物线交于A, B两点，直线l为y=一1. 8.已知抛物线y=a(x一h)2向左平移3个单 (1)抛物线的表达式为 位后再沿x轴翻折得到抛物线y=一2(x (2)在1上是否存在一点 1)2,则a,h的值分别为 P,使PA+PB取得最小 A.-2,-2 B.2,-2 值？若存在，求出点P的 C.-2,4 D.2,4 坐标：若不存在，请说明 9.若平行于x轴的直线与抛物线y=a(x一 理由. 2)2的一个交点的坐标为（一1,2），则另一个 交点的坐标为 10.安徽中考特色·双空题已知二次函数y =一(x一h)2(h是常数)，且自变量的取值 范围是2≤x≤5. (1)当h=3时，函数的最大值是 (2)分类讨论思想若函数的最大值为一1， 则h的值是 11.如下图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB= 2个单位长度.把Rt△OAB沿x轴正方向 平移2个单位长度后得到△AA1B· (1)求以A为顶点，且 经过点B,的抛物线的 表达式 (2)若(1)中的抛物线与 0 OB交于点C,与y轴交于点D,则点D,C的 坐标分别为 48 九年级数学HK版 第3课时 二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 要梳理 1.二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质： 开口 顶点 函数 图象 对称轴 增减性 最值 方向 坐标 h<o yt h=0h>0 y 当x>h时，y随x 当x=h h<0:0h>0 y=a(x-h)2 X>0 的增大而增大；当 时，y取得 十k(a>0) 0 k<0 向上 x<h时，y随x的 最小值， x=h x=h x=h x=h 直线 增大而减小 y装小维三k (h,k) x=h 当x>h时，y随x 当x=h y=a(x-h)2 的增大而减小；当时，y取得 向下 +k(a<0) x<h时，y随x的 最大值， h>0 增大而增大 义表大他三k 2.二次函数y=a(x一h)2十k的图象可以由二次函数y=a(x一h)2的图象通过上下平移得到：当k>0 时，向上平移k个单位；当k<0时，向下平移一k个单位.二次函数y=a(x一h)十k的图象的平移遵循 “左加右减，上加下减”的原则 已课内基础闯关 知识点② 二次函数y=a(x一h)2+k的图 知识点① 二次函数y=a(x一h)2十k的图象 象的平移 和性质 5.将抛物线y=2(x一1)2十2向左平移3个单位， 1.(2025一2026阜阳期末)二次函数y=3(x+ 再向下平移4个单位，得到的新抛物线对应的 2)2十4的图象的顶点坐标是 函数表达式为 A.(3,4)B.(-2,4)C.(2,4)D.(2,-4) 变式题逆向思维：由平移过程推函数表达 2.已知二次函数y=一(x十2)2一1，当函数值y 式→由函数表达式推平移过程 随x的增大而减小时，x的取值范围是( ) 抛物线y=一x2是由抛物线y=一(x十 A.x<-1 B.x<-2 2)2一3经过平移得到的，则正确的平移过 C.x>-1 D.x>-2 程是 () 3.已知抛物线y=(x一2)2+1，下列结论错误 A.向右平移2个单位，再向下平移3个 的是 单位 A.对称轴为直线x=2 B.向右平移2个单位，再向上平移3个 B.抛物线与y轴的交点坐标为(0,5) 单位 C.y有最小值，且最小值为1 C.向左平移2个单位，再向上平移3个 D.当x<2时，y随x的增大而增大 单位 4.开放题写一个满足下列两个条件的二次函 D.向左平移2个单位，再向下平移3个 数：(1)开口向下；(2)顶点坐标是（一3,2）.函数 单位 表达式可以是 上册第21章 9 已课外拓展提高 片上描画出点P及抛物线C的一段，分别 6.在平面直角坐标系中，抛物线y=4(x十2)2 记为P',C.平移该胶片，使C所在抛物线 -3经过A(-3,a),B(0,b),C(1,c)三点， 对应的函数恰为y=一(x一3)2.求点P'移 则a,b,c的大小关系是 动的最短路程. ( A.b<c<a B.a<b<c C.c<b<a D.a<c<b 7.二次函数y=a(x一2)2十c与一次函数y cx十a在同一平面直角坐标系中的大致图 象是 已综合能力提升 11.几何直观如下图，二次函数y=a(x一3)2 十b的图象经过点A(2,4),B(6,0). (1)求a,b的值. 8.分类讨论思想已知二次函数y=a(x一1) (2)若C是该二次函数图象上一点，且在点 a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为 A,B之间运动，其横坐标为x(2<x<6).请 一4，则a的值为 写出四边形OACB的面积S关于点C的横 坐标x的函数表达式，并求出S的最大值. c或 D.- 2或4 易错点未分类讨论 9.已知抛物线y=a(x一h)2十k与x轴有 12345 A(一1,0)，B(3,0)两个交点，若抛物线 y=a(.x一h-m)2+k与x轴的一个交 点是(4,0)，则m的值是 10.如下图，点P(m,3)在抛物线C:y=4一(6 一x)2上，且在对称轴的右侧. (1)m的值为 (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶 10 九年级数学HK版 第4课时 二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 要闾梳理 1.当a>0(<0)时，抛物线y=ax2十bx十c的开口向上（下）.当x< 2a时，y随x的增大而减小（增大）： b 当x> 2a时y随x的增大而增大（减小）.当x=一 2a 时，y取得最小（大）值，y装小（大）值 4ac-b2 4a 2.二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象可由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移 b 2a 个单位，再 向上或向下平移 4ac-b2 个单位得到. 4a 3.(1)a决定抛物线开口方向，a还可以决定开口大小，a越大，开口就越小.(2)b和a共同决定对称轴 位置：当a与b同号，即ab>0时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号，即ab<0时，对称轴在y轴右侧. (3)c决定抛物线与y轴的交，点：抛物线与y轴交于(0，c). 已课内基础闯关 (2)结合图象回答：当一2<x<2时，函数值 知识点① y的取值范围是 二次函数y=ax2+bx+c的图象 和性质 知识点② 二次函数y=ax2+bx十c的图 1.二次函数y=x2一2x+3的图象的顶点坐标 象的平移 是 ( ) 4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2一2x一1 A.(1,2)B.(1,6)C.(-1,6)D.(-1,2) 先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所 2.关于二次函数y=一x2十4x一5，下列说法 得到的新抛物线对应的函数表达式是() 错误的是 A.y=(x+1)2+1B.y=(x-3)2+1 A.图象开口向下 C.y=(x-3)2-5D.y=(x+1)2+2 B.图象与y轴的交点为(0，一5) 变式题逆向思维：求平移后的函数表达式→ C.当x<2时，y随x的增大而增大 求平移前的函数表达式 D.函数值有最大值1 在平面直角坐标系中，将抛物线y=ax2十 3.已知二次函数y=x2一2x一3. bx十c先沿x轴向右平移3个单位，再沿 (1)填表，并在下图所示的平面直角坐标系 y轴向上平移2个单位，得到抛物线y 中利用描点法画出此抛物线 x2-2x一4，则抛物线y=ax2十bx十c的 … -1 0 2 函数表达式为 知识点③ 二次函数y=ax2+bx+c的图象 与系数的关系 5.二次函数y=a.x2十bx十c图象 的大致位置如图所示.下列判断 错误的是 )第5题图 b A.<B.2 >0C.c>0 D.b>0 上册第21章 已课外拓展提高 (2)将此二次函数图象平移，使平移后的图 6.(2025一2026阜阳颍州区期末)一次函数y 象经过原点O.设平移后的图象对应的函 =a.x十b(a≠0)与二次函数y=a.x2十bx十c 数表达式为y=a(x一h)2十k,当x<2时， (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可 y随x的增大而减小，求k的取值范围. 能是 米云深 7.已知点A(x1y1),B(x2,y2)在二次函数y =一x2+2x十1的图象上，且一2<x1< 一1,1<x2<2,则下列结论正确的是() A.y>y2 B.y1=y2 已综合能力提升 C.y<y2 D.无法确定 12.推理能力已知抛物线y=一x2+bx(b为 1 常数)的顶点横坐标比抛物线y=一x2十 8.已知二次函数y=ax2-2x十2(a为常数， 2x的顶点横坐标大1. 且a>0),下列结论：①函数图象一定经过第 (1)求b的值. 一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三 (2)点A(x1,y1)在抛物线y=一x2+2x 象限；③当x<0时，y随x的增大而减小； 上，点B(x1十t,y1十h)在抛物线y=一x2 ④当x>0时，y随x的增大而增大.其中正 十bx上.若x1=t一1，求h的最大值. 确的是 ) A.①② B.②③ C.② D.③④ 9.一题多解法已知将抛物线y=一x2十(b 1)x+b向左平移2个单位长度后得到的新 抛物线与y轴交于点C(0,3),则原抛物线 的顶点坐标为 10.新定义题我们定义：关于x的函数y a.x2+bx与y=bx2+a.x(其中a≠b)叫作 “互为交换函数”.如y=3x2十4x与y= 4x2+3x是“互为交换函数”.如果函数y= 2x2十bx与它的“交换函数”图象顶点关于 x轴对称，那么b= 11.已知二次函数y=x2一3x十1. (1)当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是 一1≤y≤4-n,n的值为 Λ12 九年级数学HK版 21.2.3二次函数表达式的确定 要固梳理 1.二次函数的表达式有三种常见形式：(1)一般式，y=a.x2+bx十c(a,b,c是常数，a≠0)：(2)项点式，y=a(x h)2十k(a,h,k是常数，a≠0)，其中(h,k)为顶点坐标；(3)交点式，y=a(x一x1)(x一x2)(a是常数，a≠0). 2.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线 的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶，点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交，点时，可选择设其表 达式为交点式来求解 色课内基础闯关 5.已知二次函数图象的顶点坐标是(1，一4)， 且经过点(0，一3) 知识点①用一般式求二次函数的表达式 (1)求这个二次函数的表达式。 1.已知二次函数y=x2一3x十c的图象经过 (2)若点B(m,12)在该函数图象上，求点B 点A(0,1),则这个二次函数的表达式为( 的坐标 A.y=x2-3x+2B.y=x2-3x-1 C.y=x2-3x+1 D.y=x2-3x-2 2.已知二次函数y=ax2十b.x一3的图象经过 点（一1,0）和点(2，一3)，则这个二次函数的 表达式为 3.(教材变式)已知一个二次函数的图象经过 (1,10),(-1,4),(-2,7)三点，求这个二次 知识点③ 用交点式求二次函数的表达式 函数的表达式 6.若抛物线与x轴交于点（一2,0）和点(3,0)， 且可由抛物线y=一x2平移得到，则该抛物 线的函数表达式为 (化为 一般式). 7.(教材变式)如下图，抛物线与x轴交于A(一1， 知识点②用顶点式求二次函数的表达式 0),B(3,0)两点，与y轴交于点E(0,一3) 4.已知二次函数的二次项系数为1，顶点坐标为 (1)求此抛物线对应的函数表达式. (1,3),则抛物线对应的函数表达式为( A.y=(x-1)2+3B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-1)2-3D.y=(x+1)2-3 变式题二次函数表达式唯一→二次函数 表达式不唯一 若某二次函数图象的形状与抛物线y=3x 相同，且顶点坐标为(0，一2)，则它的表达式 为 上册第21章 13 (2)若直线y=x十m与该抛物线交于A, 的对称轴是直线x=2,且最高点在直线y= D(4,n)两点，与y轴交于点F,连接DE,求 2x十1上，求这个二次函数的表达式 △DEF的面积. 已课外拓展提高 已综合能力提升 8.已知一个二次函数，当x>1时，y随x的增 13.如下图，在平面直角坐标系中，抛物线C1: 大而减小；当x<1时，y随x的增大而增 大.该二次函数的表达式可以是 y=x2与抛物线C2:y=一x2+bx十c(b,c A.y=3(x+1)2B.y=3(x-1)2 为常数)相交于点A,B,点A,B的横坐标 C.y=-3(x+1)2D.y=-3(x-1) 分别为一2和1.过点A作AC∥x轴，与抛 9.已知某抛物线与二次函数y=5.x2的图象的开 物线C,相交于点C,分别以AC,AC的 口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（一1， 长为边长向AC上方作矩形ACDE. 2025),则该抛物线对应的函数表达式为() (1)求抛物线C2的函数表达式。 A.y=-5(x-1)2+2025 (2)将矩形ACDE先向左平移m个单位长 B.y=5(x-1)2+2025 度，再向下平移n个单位长度，得到矩形 C.y=-5(x+1)2+2025 D.y=5(x+1)2+2025 A'C'DE',点C的对应点C'在抛物线C 10.下列各函数表达式中，是如图所示的抛物 上.求n关于m的函数表达式，并直接写出 线对应的函数表达式的是 自变量m的取值范围， A.y=-x2-x+2B.y=-x2+x+2 C.y=x2+x+2D.y=-x2+x-2 C 第10题图 第11题图 11.(2025一2026阜阳临泉期末)如图，抛物线 y=ax2十bx一3与y轴交于点C,与x轴 交于A,B两点，且OB=OC=3OA,则该 抛物线的表达式是 12.已知二次函数y=(m2-2)x2-4mx十n图象 14 九年级数学HK版 方法技巧专题 求二次函数表达式的方法 题型① 利用一般式求二次函数的表达式 题型③ 利用交点式求二次函数的表达式 1.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图3.如右图，二次函数的图象经 象过点(1,4)，并经过一次函数y=一x+3 过A,C,B三点，点A的坐 的图象与x轴、y轴的交点.求该抛物线的 标为（一1,0），点B的坐标为 A 表达式。 (4,0).若点C在y轴正半轴 上，且AB=OC,求二次函数的表达式。 题型④ 利用几何变换求二次函数的表达式 题型②利用顶点式求二次函数的表达式 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一4x十 2.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点 5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成 A,B关于直线x=一1对称，且AB=6,该 中心对称的抛物线的函数表达式为() 二次函数图象的顶点在函数y=2x的图象 A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x+5 上.求这个二次函数的表达式. C.y=-x2+4x-5D.y=-x2-4x-5 5.已知关于x的二次函数y1=2x2一2mx十m 十1和y2=a.x2十bx+c,其中y1的图象经过 点(1,1).若y1十y2与y1关于x轴对称，求 二次函数y2的表达式. 上册第21章 15△详解详析 第21章二次函数与反比例函数 6.解：A(1,1),直线OA的表达式为y=x.又，AA ∥x轴，且点A,在抛物线y=x2上，.A1(一1,1). 21.1二次函数 :A1A2OA,.直线A1A2的表达式为y=x+2.联立 1.A变式题(1)a≠-1 2,解得·2·点A:在第一象一 (2)-1【解析】(2)函数y=(m-3)xm-1十2x-1 y1=1,y2=4. 限，.A2(2,4).又，A2A。∥x轴，且A3在抛物线上， 为二次函数，.m-1=2且m-3≠0，解得m=-1. ∴.Ag(-2,4).同理可得A4(3,9),A(-3,9),… 2.A 照此规律，点A226的横坐标为2026÷2+1=1014，纵 3.S=一x2+15x0<x<15【解析】，用一根长为 坐标为1014°，.点A2026的坐标为(1014,1014). 30cm的绳子围成一个矩形，矩形的一边长为xcm, 另一边长为(15-x)cm,∴.S=x(15-x)=-x2+ 第2课时二次函数y=ax2的图象和性质 15x.由题意，得15-x>0,解得x<15.故自变量x的 1.B2.C 取值范围是0<x<15. 3.A【解析】二次函数中|a的值越小，函数图象的开 4.解：如图，设AB与MQ交于点R. 1 口越大，且3<-1川<21<|-3引抛物线开口 ,'△ABC是等腰直角三角形，四 边形MNPQ是正方形， 最大的是y=3x· .∠MAR=45°，∠RMA=90°， ∴.△AMR是等腰直角三角形，∴MA=MR=t, 4.3(答案不唯一)5.号 3 S=56w=241=2(0≤1≤10 1 6.y1<y2 【解析】当x>0时，二次函数y=2x随 21.2二次函数的图象和性质 x的增大而增大，且点A(1,y1),B(2,y2)在二次函数 1 21.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 y=2x2的图象上y<y 第1课时二次函数y=x2的图象和性质 》一题多解法 1.解：如图. 1 :点A(1,y1),B(2,y2)在二次函数y= 的图象上， 1 X4=2y<y 变式题y1>y2【解析】根据二次函数y=a.x图象的 对称性，可得点A'(1,y)也在该函数图象上. ,当x>0时，二次函数y=a.x(a<0)随x的增大而 2101量 减小，且点A'(1,y1),B(2,y2)在二次函数y=ax2(a <0)的图象上，y1>y2 2.解：(1)是(2)低(0,0)(3)增大 7.解：(1)列表如下： 3.9,0 -3 -1 0 3 4.A【解析】当x=0时，y=0;当x=1时，y2=1;当x =2时，ya=4..y1<y2<ys y 0 3 一一题多解法 1 ,a=1>0,当x≥0时，y随x的增大而增 y2 -3 0 3 3 大.又0<1<2，y1<y<ys (2)如图所示. 5.10【解析】：正方形OABC的顶点B在抛物线y=x 的第一象限上，，可设点B坐标为(x,x2),且x>0. 点B的横坐标与纵坐标之和等于6，∴x十x2=6,解 得x1=2,x2=-3(不合题意，舍去)，∴.B(2,4),.OB =2+4=20,∴正方形OABC的面积=之0B·AC= 20B=10. 1 上册详解详析 (3)关于x轴对称 8.D【解析】根据ab>0,得a,b同号.当a>0时，b>0, 抛物线y=ax2的开口向上，且经过原点，直线y=ax 十b过第一、二、三象限，没有选项符合；当a<0时，b <0,抛物线y=ax2的开口向下，且经过原点，直线y =a.x十b过第二、三、四象限，D选项符合. 9.D【解析】，函数y=2x2与y=-2x2的图象关于x 轴对称，.图中阴影部分的面积是图中正方形面积的 (2)x<-1或x>1 半图中阴影部分的面积是号×4×4=8。 7.y=-2x2+5 变式题下升 10.-5 8.A【解析】，一次函数的图象经过y轴上的点(0，c), 变式题一√5【解析】由二次函数定义可知a2一3= 二次函数的图象经过y轴上的点(0，一c),.两个函数 2,解得a=士√5.又，在其图象对称轴的左侧，y随x 图象交于y轴上的两点分布在原点两侧，故B,C,D选 项不符合题意，A选项符合题意， 的增大而减小，.2-a>0,解得a<2,.a=一√5. 9.8【解析】如图，过抛物线y2= 11.解：(1)点A的横坐标为一2，且点A在直线y 2x+2上心点A的纵坐标为2×(-2)+2=1， 2x2-1的顶点(0，-1)作的 2+1 平行于x轴的直线与抛物线y .点A的坐标为（一2,1）. 又：点A(一2,1)在二次函数y=a.x2的图象上， =号2+1围成的阴影部分 1=0(-2),解得a=子 (记作图形①)，同过点(0，一3)作的平行于x轴的直线 1 小该二次函数的表达式为y=4x 与抛物线=一分一1围成的图形形状相同，把图 形①向下平移2个单位，阴影部分可拼成一个矩形，矩 (2)令=1+2，解得，=-2.，=4 形的面积为4×2=8，即阴影部分的面积为8. 1 将x=4代入y=2x+2,得y=2×4+2=4, 10解：由题意可设新函数的表达式为y= 3x2+6 把3.-3》代人y=号+，得写X3+=一3，解 1 .点B的坐标为(4,4) 12.解：(1)41 得k=-6. (2),抛物线y1=mx2和抛物线y:=nx2分别过点 故平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度. (1,4),(1,1),∴.m=4,n=1,.y1=4x2,y2=x2. ,直线AB为y=4,联立函数表达式可得A(2,4), 11.解：)由题意可知，4十力8·解得二1， a+6=5, b=4. B(-2,4),C(1,4),D(-1,4),.AB=4,CD=2, (2)由(1)可知，y=x2+4.将(12，m),(n,17)分别代 =2. 入y=x2+4,得m=12+4,17=n2+4, 解得m=148,n=士√/13. (3)不会发生变化.理由如下： 设直线AB为y=a. 12.解：(1)将A(1,b)代入y=2x,得b=2×1=2,∴.点A 的坐标为(1,2). 联立y=4r,得4r2=a,解得x= 2； 将A(1,2)代入y=ax2十3，得2=a·12+3,解得a=一1. (2)抛物线y=一x2+3的顶点是C,.C(0,3), 联立y2=x2,得x2=a,解得x=士√a. ∴点C关于x轴的对称点C的坐标为(0，一3). 故AB=2√a,CD=√a, 如图，连接AC'交x轴于点P,此 湖2 时PA十PC的值最小. 设直线AC的表达式是y=kx 2L.2.2二次函数y=ax2十bx+c的图象和性质 十n. 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 把C'(0,-3),A(1,2)代入y= kx十n, -2-1 0P12 1.A2.D3.B 0任+a k=5, 4.D【解析】当x=-1时，y1=-2x2+1=-2 解得 (-1)+1=-1;当x=2时，y2=-2x2+1=-2×22 n=-3,y 5x-3. +1=-7;当x=3时，y3=-2x2+1=-2×32+1= 3 -17.故y1>y2>y3· 当y=5.x-3=0时，x= 5 5.(2,0),(-2,0)(0,-2) 6.解：(1)如图所示. ∴点P的坐标是(0) 九年级数学HK版 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 1 12.解：(1)y=4（x-2)2 1.B2.2大03.=4.C (2)存在.联立直线AB与抛物线的表达式，得 5.解：二次函数y=4x-3)和y=4(x+3)的图象 1 y= 4, x1=1, x2=4, 如图所示. 解得 1 =46+3列 =4=-3 y=4(x-2)2, 4,y2=1, A(1,)B4. = 如图，作点B关于直线（的对称点 B',连接AB交直线l于点P,此时 PA+PB取得最小值. B(4,1),直线1为y=-1, 左6 ∴.B(4,-3). 6.a≤2 设直线AB'的表达式为y=kx 7.D【解析】A.由直线y=a十ax可知，a<0且a>0, +b. 矛盾，故不符合题意；B.由直线y=a十ax可知，a<0, 此时抛物线y=(x一a)2的顶点坐标为(a,0),其中a 将A(1,）,B'(4,-3)代入y=x+6, >0,矛盾，故不符合题意；C.由直线y=a十a.x可知，a 13 <0且a>0,矛盾，故不符合题意；D.由直线y=a+ k=- ax可知，a>0,此时抛物线y=(x一a)2的顶点坐标 k十b=4解得 121 得 ,.直线AB'的表达 4 为(a,0),其中a>0,故符合题意. 4k+b=-3, b= 3 8.D【解析】，抛物线y=a(x一h)2向左平移3个单位 +当y=-1时 13 1 式为y= 后得到抛物线y=a(x一h十3)，再沿x轴翻折得到 2+3 抛物线y=-a(x-h十3)2，.-a=一2，-h十3= -1,解得x- ,-1) -1,∴.a=2,h=4. p 9.(5,2)【解析】·抛物线y=a(x一2)2的对称轴为直 第3课时二次函数y=a(x一h)十k的图象和性质 线x=2,平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐 1.B2.D3.D4.y=-(x十3)2十2（答案不唯一） 标为（一1,2），∴.另一个交点的坐标为(2十2-（一1）， 5.y=2(x+2)2-2 2),即(5,2) 变式题B【解析】原抛物线y=一(x十2)2一3的顶 10.(1)0(2)6或1【解析】(1)当h=3时，y=一(x一 点坐标为（一2，一3），新抛物线y=一x的顶点坐标为 3)(2≤x≤5)，∴.当x=3时，函数取得最大值，最大 (0,0),∴正确的平移过程是先向右平移2个单位，再 值为0. 向上平移3个单位. (2)①若h>5,则当x=5时，y取得最大值，即一(56.B【解析】抛物线y=4(x十2)2-3的对称轴为直线x -h)2=-1,解得h,=4(不符合题意，舍去)，h2=6: =一2.4>0，∴.抛物线开口向上，离对称轴越远的点， ②若h<2,则当x=2时，y取得最大值，即一(2一 其函数值越大.又：抛物线y=4(x十2)2一3经过 h)2=-1,解得h。=1,h,=3(不符合题意，舍去)； A(-3,a),B(0,b),C(1,c)三点，且|-3-(-2)1=1， ③若2≤h≤5，则当x=h时，y取得最大值，最大值 |0-(-2)|=2,11-(-2)1=3,1<2<3,∴.a<b<c. 为0，不符合题意.综上所述，h的值是6或1. 7.B【解析】二次函数y=a(x-2)2+c的图象的对称 11.解：(1)OA=2,A(2,0). 轴为直线x=2,∴.C选项不符合，而A,B,D选项中抛 OA1=4,A1B1=2,B1(4,2). 物线开口均向上，顶点均在第四象限，a>0,c<0,此 设抛物线的表达式为y=a(x一2). 时一次函数y=cx+a的图象经过第一、二、四象限， 把B,(4,2)代人，得4a=2,解得a=2, 故B选项符合. 8.D【解析】由抛物线y=a(x一1)2一a可知，其对称轴 抛物线的表达式为y-名一2以. 为直线x=1,顶点坐标为(1，一a).当a>0,一1x≤4 时，函数的最小值为-a,∴.-a=-4,.a=4;当a<0, (2)(0,2),(3-√5,3-√5) 一1≤x≤4时，函数在x=4处取得最小值，.9a-a= 1 【解析】(2)令x=0,得y=2×4=2,D(0,2).设直 一4，解得a=一2，综上所述a的值为一2或4 线OB的表达式为y=kx.把B(2,2)代入，得2k=2, 9.5或1【解析】由题意，得抛物线y=a(x一h一m)2+ 解得k=1,∴.直线OB的表达式为y=x.联立直线和 k可由抛物线y=a(x一h)2+k平移得到.，抛物线y 抛物线的表达式，得2(x-2)=x,解得x=3士5. =a(x一h)2+k的对称轴为直线x=h,抛物线y= a(x一h-m)2+k的对称轴为直线x=h十m,.若点 点C在第一象限，∴.C(3-√5,3-√5). A(-1,0)平移后的对应点是(4,0)，则m=4一（一1） 3 上册详解详析 =5:若点B(3,0)平移后的对应点是(4,0)，则m=4一 (2)-4≤y<5 3=1,即m的值是5或1. 4.A【解析】，抛物线y=x2一2x一1可变形为y=(x 10.解：(1)7 一1)2一2，.将其先向上平移3个单位，再向左平移2 (2),平移后的抛物线的表达式为y=一(x一3)， 个单位，所得到的新抛物线对应的函数表达式是y .平移后的顶点的坐标为(3,0) (.x-1十2)2-2+3=(x+1)2+1. :平移前抛物线的顶点的坐标为(6,4)， 变式题y=x2十4x一3【解析】，将二次函数y=x ∴.胶片的平移过程为先向左平移3个单位，再向下平 一2x一4变形，得y=(x-1)2一5，.由题意可知，将 移4个单位，∴.点P'移动的最短路程=√3+4=5. 抛物线y=(x一1)2-5先沿x轴向左平移3个单位， 【解析】(1)将P(m,3)代入y=-(x-6)2+4, 再沿y轴向下平移2个单位后得到抛物线y=ax2+ 得3=一(m-6)2十4，解得m1=5,m2=7. b.x+c,即y=(x-1十3)2-5-2，.抛物线y=a.x2+ 点P在对称轴的右侧，m>6,∴m=7 bx十c的函数表达式为y=(x十2)2-7=x2+4x-3. 11.解：(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=a(.x-3)2+b,得 5.B 1 6.D【解析】A,C,D选项中二次函数的图象开口均向 0= 1a+b=4, 2, 解得 下，顶点均在第二象限，∴a<0,b<0,此时一次函数y 19a+b=0, 9 b=21 =ax十b的图象经过第二、三、四象限，故D选项符合： B选项中，由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次 (2)如图，过点A作x轴的垂 函数的图象可知a>0,b<0,矛盾，故B选项不符合 线，垂足为D(2,0),连接CA, 7.C【解析】抛物线y=-x2+2x十1=-(.x-1)2+2, CD,CB,过点C作CE⊥AD 故该抛物线的对称轴为直线x=1.:a=一1<0，∴.抛 CF⊥x轴，垂足分别为E,F. 物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小.又，点A S=SAOAD+S△AD+S△eD= 1 1 oD234 (x1y1),B(x2,y2)在二次函数y=-x2+2x十1的 X2x4+2×4(x-2)+2 图象上，且-2<x1<-1,1<x2<2,∴.2<|x1-1< 3,0<|x2-1|<1,.|x1-1|>|x2-1,y1<y2 x4x[-+] 1 x2+8x 8.B【解析】，a>0,∴.抛物线开口向上，对称轴为直线 即S关于点C的横坐标x的函数表达式为S=一x2+ x=- -2_1 2a a >0,∴当x<0时，y随x的增大而减 8x(2<x<6). S=-x2+8.x=-(x-4)2+16,.当x=4时，四 小，当x>二时，y随x的增大而增大，故③正确，④错 边形OACB的面积S取得最大值，最大值为16. 第4课时二次函数y=ax2十br十c的图象和性质 误又 「2>0，一函数图象一定不经过第三象限，函数 1.A 图象可能经过第一、二、四象限，故①错误，②正确.综 2.D【解析】二次函数y=一x2十4x-5的二次项系 上，正确的是②③. 数小于0，.图象开口向下，故A选项不符合题意. 9.(1,4) 【解析】新抛物线的表达式为y=一(x+2)十 当x=0时，y=一5，∴.图象与y轴的交点为(0， (b一1)(x+2)+b.将C(0,3)代入，得一(0+2)2+(b 一5)，故B选项不符合题意.，二次函数y=一x2十4.x 一1)(0+2)十b=3,解得b=3,,∴.原抛物线的表达式 -5=-(x-2)2-1,.当x<2时，y随x的增大而增 为y=-x2十2x十3=-(x-1)2+4,.原抛物线的顶 大，有最大值一1，故C选项不符合题意，D选项符合 点坐标为(1,4) 题意 一题多解法 3.解：(1)填表如下： 由题意可知，原抛物线一定经过点(2,3)，代入， 得-4+2(b-1)+b=3,解得b=3,∴.原抛物线 0 的表达式为y=-x2+2x十3=一(.x-1)2+4, 抛物线如图所示 ∴.原抛物线的顶点坐标为(1,4). 10.一2【解析】由题意，得函数y=2x2+bx的“交换函 数”为y=bx2+2x.,函数y=2x2十bx与它的“交换函 数”图象顶点关于x轴对称，∴两个函数的对称轴相同， ,解得b=-2或2.a≠b,.b=-2. 4-3-2 11.解：(1)-1 (2)根据平移的性质可知，a=1. :当x<2时，y随x的增大而减小，h≥2. 平移后的图象经过原点O, .0=(0一h)2十k,即k=一h2 九年级数学HK版 h≥2，∴.h≥4，.-h2≤-4，.k≤-4. 9.C【解析】根据题意可知，该抛物线对应的函数表达式 【解析】(1)y=x2-3x+1,.抛物线的对称轴为直 的二次项系数为一5.：其顶点坐标为（一1,2025），∴.该 线=当<时随x的增大而减小， 3 抛物线对应的函数表达式为y=一5(x十1)2十2025. 10.B【解析】根据图象可知，该抛物线与x轴交于点 .当x=n时，y=x2-3x+1=n2-3n十1=4-n, (一1,0)，(2,0)，与y轴交于点(0,2).可设该抛物线 解得n1=-1,n2=3.又n≤1，∴.n的值为-1. 对应的函数表达式为y=a(x+1)(x一2).将(0,2) 12.解：①)八抛物线y=一x2十bx的顶点横坐标为2， b 代入，得一2a=2,解得a=一1，.该抛物线对应的函 数表达式为y=-(x十1)(x-2)=-x2十x十2. 抛物线y=一x2十2x的顶点横坐标为1， 11.y=x-2x-3【解析】当x=0时，y=-3,.C(0, 六合-1=1解得6=4 1 -3),0C=3,0B=0C=3,0A=30C=1. (2):点A(x1,y1)在抛物线y=一x2+2x上， ∴.B(3,0),A(-1,0).将B(3,0),A(-1,0)代入y ∴.y1=-x1十2x1. 点B(x1十t,y1十h)在抛物线y=-x2+4x上， a+红-3为82g释公2.该 b=-2. .y1+h=-(x1+t)2+4(x1十t), 抛物线的表达式是y=x2一2x一3. ∴.-x+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1十t), 1 1 ∴.h=-t2-2x1t+2x1+4t. 12.解：把x=2代入y=2x+1,得y=2×2+1=2, 将x1=1-1代入h=-12-2x1t+2x1十4t, .二次函数y=(m2-2)x2-4mx十n图象的顶点坐 得h=-3+8数-2=-3(-含》+9 标为(2,2)， -4m 一3<0当1=号即≤=专时，取得最大值， 2(m2-2) =2,解得m1=一1，m2=2. 最高点在直线上，∴.m2一2<0，.m=一1， 最大值为3 .10 ∴.y=-x2十4x十n. 将(2,2)代入y=-x2十4x十n,得2=-4十8十n,解 21.2.3二次函数表达式的确定 得n=-2, 1.C2.y=x2-2x-3 这个二次函数的表达式为y=一x2十4x一2. 3.解：设这个二次函数的表达式为y=ax2十b.x十c 13.解：(1)，当x=-2时，y=x2=4,当x=1时，y=x 把(1,10)，(-1,4)，(-2,7)代入y=ax2+bx+c,得 =1,.点A,B的坐标分别为（一2,4），(1,1). a+b+c=10, a=2, 将点A,B的坐标代入抛物线C2的表达式， a-b+c=4,解得b=3, 得4二一4二26十·解得 b=-2, 4a-2b+c=7,c=5, 1=-1+b+c, c=4, .这个二次函数的表达式为y=2x2+3.x十5. 抛物线C2的表达式为y=一x2一2x+4. 4.A变式题y=3x2-2或y=-3x2-2 (2):AC∥x轴，且点C在抛物线C1上，A(-2,4), 5.解：(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-1)2一4. ∴点C的坐标为(2,4)，∴.AC=4,平移后点C的坐 把(0，-3)代入y=a(x-1)2-4,得a-4=-3,解得 标为(2-m,4-n). a=1,这个二次函数的表达式为y=(x-1)2-4. 将点C的坐标代入抛物线C,的表达式， (2)将B(m,12)代入y=(x-1)2-4,得(m-1)2-4 得4-n=(2-m)2,即n=-m2+4m. =12,解得m1=5,m2=一3， ,AC=4,∴.当m>4时，点C'不在抛物线上， .点B的坐标为(5,12)或(-3,12)， ,∴.0<m<4,∴.n=-m2十4m(0<m<4). 6.y=-x2+x+6 方法技巧专题求二次函数表达式的方法 7.解：(1)由题意，设抛物线对应的函数表达式为y=a(x 十1)(x-3)(a≠0). 1.解：当x=0时，y=一1×0+3=3， 抛物线过点E(0,一3)， ∴.一次函数y=一x十3的图象与y轴的交点坐标为 ∴.-3=a(0+1)×(0-3),解得a=1. (0,3) 故此抛物线对应的函数表达式为y=(x十1)(x一3)， 当y=0时，一x十3=0，解得x=3,.一次函数y= 即y=x2-2x-3. 一x十3的图象与x轴的交点坐标为(3,0). (2)直线y=x十m过点A(-1,0),.m=1. 将(1,4)，(0,3)，(3,0)代入y=a.x2+bx+c, 又，点D(4,n)在直线y=x+1上，∴n=5,∴.D(4,5). 4=a+b+c, a=-1, 对于y=x+1,令x=0,得y=1,∴F(0,1). 得3=c, 解得b=2, E(0,-3),.EF=4, 0=9a+3b+c, c=3, F2×4X4=8. .该抛物线的表达式为y=一x2+2x十3. 2.解：由题意，得二次函数的图象与x轴交于（一4,0）， 8.D (2,0)两点，且顶点的横坐标为一1. 上册详解详析 顶点在函数y=2x的图象上， 有x1,x2两根，∴.x1十x2=2m,x1x2=m2一1. y=2×(-1)=一2，.顶点坐标为(-1，-2) x+x=4,.x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4m2 设这个二次函数的表达式为y=a(x十1)2一2. 2(m2-1)=4,解得m1=1,m2=-1. 把(2,0)代入y=a(x+1)2-2,得0=9a-2,解得a 综上所述，m的值为1或-1. 2 数学拓展专题二次函数与一元二次不等式 故这个二次晒数的表达式为y号十号吕 1.D变式题2<x<32.A 3.C【解析】观察图象可知，当一1<x<4时，直线y1= 3.解：点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0)， mx十n(m≠0)在二次函数y2=ax2+bx十c(a≠0)的图 ∴.A0=1,OB=4,AB=AO+OB=1+4=5, 象的上方，即当-1<x<4时，a.x2十bx十c<m.x十n, .OC=AB=5,即点C的坐标为(0,5). ,.不等式a.x2十(b一m)x+c<n的解集为一1<x<4. 设二次函数的表达式为y=a(x十1)(x-4). 4.-1<x<2 把(0,5)代入，得5=-4a,解得a=-5 4 变式题x<一1或x>5【解析】抛物线对称轴为 直线x=2,且抛物线与x轴交于点(5,0)，.抛物线与 y=-+1x-40, x轴另一交点坐标为（一1,0），∴.不等式ax2+bx十c <0的解集是x<-1或x>5. 即二次函数的表达式为y三，+5 4x+5. 5.x<1或x>3【解析】a.x2+(b 4.A【解析】由y=x2-4x+5=(x-2)2+1知，抛物线 -2)x十c>0可以变形为ax2+ 的顶点坐标是(2,1)，点C的坐标是(0,5)， bx十c>2x,.关于x的不等式 ∴.该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐 a.x2+(b-2)x+c>0的解集即 标是（一2,9），该抛物线关于点C成中心对称的抛物 二次函数y=a.x2+bx+c大于 线的函数表达式为y=-(x+2)+9=-x2-4x十5. 一次函数y=2x时x的取值范 5.解：y1的图象经过点(1,1)，∴.2-2m十m十1=1，解 围.如图，由图象可知，x<1或x>3. 得m=2,.y1=2x2-4x十3=2(x-1)2+1, 6.解：1)1或-亏 1 ∴.y1+y2=2x2-4x+3+a.x2+bx+c=(a+2)x2+ (b-4).x+c+3. (2)当k=1时，y1=x2+x-2. :y,十y:与y1关于x轴对称， ,y1>y2,.x2+x-2>x+2 ∴.y1+y2=-2(x-1)2-1=-2.x2+4x-3, 整理，得x2-4>0, a+2=-2, a=-4, 如图①，画出图象可得x<一2或x>2. ∴.b一4=4，解得b=8, 当k=一 5x2. c+3=-3, c=-6. 1 图① .二次函数y2的表达式为y2=-4x2十8x-6 整理，得x2+12x+20<0 21.3二次函数与一元二次方程 如图②，画出图象可得-10<x<-2. 1.B 综上所述，当k=1时，x<一2或x> 1 1 变式题c>4 【解析】由题意，得1-4c<0,.c>4 2;当k=-5时，-10<x<-2, 图② 2.x1=-1,x2=4 【解析】(1)设kx2+(2k一1)x一2=0的两根为x1,x2, 3.B【解析】当x=1.4时，y=-0.24;当x=1.5时，y 则十= 2k-1 k122= 万(x-x)2=(x =0.25. -0.24更接近于0，.方程的一个近似根为1.4. 十x)2-4x1x2= (2k+1) .由题意可知，x1一x21=3, 4.C【解析】分下列两种情况讨论： ①当m=0时，y=2x十1，此时y=0时，x=一0.5，该 2k+1) k2 =3,解得，=1，，=-1 5 函数与x轴只有一个交点； 强化训练专题二次函数的图象与系数的关系 ②当m≠0时，函数y=mx2+(m十2)x十2m十1的 1.A2.D 图象与x轴只有一个交点，则(m+2)-4m(2m+ 1 3.D【解析】由函数y=-x2+b.x十c,b>0,c<0可知， 1)=0,解得m1=2,m2=-2. 函数图象开口向下，图象的对称轴为直线x= 2>0, 综上所述，m的值为0或2或一2. 图象交y轴的负半轴，故D选项符合题意。 5.(1)4(2)m=0或m>4 4.C【解析】，a>b>c,且a十b+c=0,.必须a>0,c<0, 6.解：由题意可知，当y=0,即x2-2mx十m2-1=0时， 且该图象与x轴的一个交点是(1,0).故C选项符合题意. 46 九年级数学HK版