21.2 二次函数的图象和性质（一）（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本同步练通过A/B/C三级分层设计，以二次函数图象性质为核心，从基础形式到综合应用逐步进阶，强化几何直观与推理能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|二次函数各基础形式（y=ax²等）的图象与性质|以选择填空为主，聚焦单一知识点辨析，如顶点坐标、平移规律| |B组能力进阶|图象平移、顶点式转化及简单综合应用|中档解答题，涉及多知识点结合，如含参数函数性质分析| |C组思维拔高|含参数综合题、中考真题及探究性问题|复杂推理与建模题，如二次函数与几何图形结合，培养创新意识|

分层作业 21.2 二次函数的图象和性质（一） 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型05 二次函数图象的平移 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型09 二次函数与各项系数符号 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数（）的性质，其图像开口向下，对称轴为y轴，将点A和点B的横坐标代入函数解析式，计算和的值，并利用比较大小即可． 【详解】解：由函数（），点在图像上，代入得；点在图像上，代入得， 因为，所以，即； 故答案为<． ( 题型0 2 )二次函数的y=ax²+k的图象和性质 4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（ 　　） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而增大 D．抛物线与轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系即可找到说法正确的选项． 【详解】解：抛物线中的系数， 抛物线开口向下，选项说法错误； 抛物线的顶点坐标为， 选项说法错误； 抛物线开口向下， 在对称轴的右侧，随的增大而减小，选项说法错误； 一元二次方程中， 该方程有两个不等实数根， 即抛物线与轴有两个交点，选项说法正确． 故选：． 5．（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则_____(填“>”或“<”)． 【答案】< 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过代入点A和点B的横坐标到二次函数解析式中，计算对应的纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】对于二次函数， 当时，． 当 时，． 由于， 因此． 故答案为：<． 6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． ( 题型0 3 )二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 9．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而_____（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 故答案为：减小． ( 题型0 4 )二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 10．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 11．（25-26八年级下·北京·期末）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 12．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 14．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 15．（25-26九年级上·江苏南京·期末）将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到函数____________的图象． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象平移问题， 根据“上加下减，左加右减”的规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函数解析式为． 故答案为： ( 题型0 6 )把y=ax²+bx+c化成顶点式 16．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 17．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 18．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（，是实数且）经过． （1）若，则抛物线的顶点坐标为______． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而增大，则代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合运用，涉及解不等式，二次函数的图像和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入得到，再把代入求出解析式，配方为顶点式得到顶点坐标即可； （2）得到，代入得到解析式，然后根据题意得到，且，求出n的取值范围为，然后代入得到，根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过， ∴，即， 又∵， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由得到， ∴抛物线的解析式为， ∵二次函数满足当时，总有随的增大而增大， ∴，且对称轴， 解得， ∴ ， ∴对称轴为， ∴在对称轴的左侧， ∵开口向上，则当时，随n的增大而减小， 则当时，最小，最小值为 故答案为：． ( 题型0 7 )画y=ax²+bx+c的图象 19．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 20．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数． (1)将函数化为的形式； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴：，顶点坐标为 (3)图象见解析 【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式； （2）由（1）可直接进行解答； （3）由（2）及五点法进行作图即可． 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：∵二次函数的开口向上， 顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示： ． 21．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；再描点、连线即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 画出函数图象如图所示： （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． ( 题型0 8 )y=ax²+bx+c的图象与性质 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 23．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 24．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值的取值范围为________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的开口向上，先化为顶点式确定对称轴和顶点，再把和分别代入，进行计算，然后进行比较大小，即可作答． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线，顶点坐标为， 二次项系数，抛物线开口向上． ∴最小值在处，即最小值为． 把代入，得； 把代入，得． 则的取值范围为． 故答案为：． ( 题型0 9 )二次函数与各项系数符号 25．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 27．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的函数值比较，可直接将点的横坐标代入函数解析式，得到和的表达式，再根据的条件比较大小． 【详解】解：将代入得：， 将代入得， ， ， 即． 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 【答案】1 【分析】直接根据顶点式即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ，开口向上，顶点为， 故函数的最小值为． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得， 从而或，求解即可． 【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为， 那么在抛物线上， 代入可得， 整理得， ∴或， ∴． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 【答案】8 【分析】根据二次函数的对称性及正方形的性质求出点A的坐标，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵A，B是x轴上方抛物线上的两个点，抛物线的对称轴为直线， ∴A，B关于y轴对称， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，， 即， 将代入得：， 解得：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 一、单选题 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】已知二次函数为顶点式，可根据开口方向直接确定函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式， ∴二次项系数，二次函数开口向下，函数存在最大值， ∵顶点式的顶点坐标为，该函数顶点坐标为， ∴的最大值为． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴，算出每个选项中函数的对称轴逐一进行判断即可． 【详解】A、对称轴为直线，本选项不合题意； B、对称轴为直线，本选项不合题意； C、对称轴为直线，本选项不合题意； D、对称轴为直线，本选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 4．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 5．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东德州·期末）抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，该抛物线解析式已为顶点形式，可直接根据顶点式写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则“上加下减，左加右减”计算即可． 【详解】解：原抛物线， 向左平移1个单位，将原解析式中的替换为，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 10．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断二次函数系数的符号，以及式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号，即可得到的符号；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断即可；③求出二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵由图可知抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴故①正确，不符合题意； ∵由图可知抛物线与轴有两个交点， ∴，即， ∴故②正确，不符合题意； ∵由图可知，当时，有最大值， 可以将看成，即当时，有最大值， 将看成，即当时，其值不是最大值， ∴， ， 即． ∴故③错误，符合题意． 故答案为：③． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）①根据二次函数图象的对称性求解即可； ②结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：函数图象如下图; （2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ②由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 13．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）通过对称求出点坐标，然后代入二次函数解析式求解即可； （3）分两种情况①当时，②当时，分别进行讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． （3）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 14．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法或直接套用顶点坐标公式求解即可； （2）由（1）易知抛物线的对称轴为直线,在此基础上利用二次函数的增减性即可求解； （3）由于的符号不确定，故点相对于对称轴的位置无法确定，因此先对m进行分类讨论，然后在此基础上利用增减性和对称性求解． 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：，对称轴是直线， 抛物线的开口向上． 当时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， ； （3）解：当时，则， 点在对称轴的右侧或对称轴上，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ； 当时，则， 点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧． 点关于对称轴的对称点在对称轴的右侧，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ， 综上可知m的取值范围为． 15．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 3．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.2 二次函数的图象和性质（一） 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数y=ax²的图象和性质 题型02 二次函数的y=ax²+k的图象和性质 题型03 二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 题型04 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型05 二次函数图象的平移 题型06 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型07 画y=ax²+bx+c的图象 题型08 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型09 二次函数与各项系数符号 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知点， 在函数图像上，则______．（填“”、“”或“”） ( 题型0 2 )二次函数的y=ax²+k的图象和性质 4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）下列关于抛物线的说法正确的是（ 　　） A．抛物线开口向上 B．顶点坐标为 C．在对称轴的右侧，随的增大而增大 D．抛物线与轴有两个交点 5．（25-26九年级上·北京延庆·期中）二次函数的图象过点和，则_____(填“>”或“<”)． 6．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数，当时，的取值范围是__________． ( 题型0 3 )二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 9．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知二次函数，当时，随的增大而_____（填“增大”或“减小”）． ( 题型0 4 )二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 10．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 11．（25-26八年级下·北京·期末）若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 13．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·北京·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 15．（25-26九年级上·江苏南京·期末）将二次函数的图象向左平移3个单位长度，得到函数____________的图象． ( 题型0 6 )把y=ax²+bx+c化成顶点式 16．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 17．（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 18．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线（，是实数且）经过． （1）若，则抛物线的顶点坐标为______． （2）若该二次函数满足当时，总有随的增大而增大，则代数式的最小值为______． ( 题型0 7 )画y=ax²+bx+c的图象 19．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 20．（25-26九年级上·云南临沧·期中）已知二次函数． (1)将函数化为的形式； (2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 21．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． ( 题型0 8 )y=ax²+bx+c的图象与性质 22．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 24．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数值的取值范围为________ ( 题型0 9 )二次函数与各项系数符号 25．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级上·北京·阶段检测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 27．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级下·重庆·期中）若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 4．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）二次函数的最小值是____________． 7．（2026·江苏·二模）二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 8．（2026·吉林长春·模拟预测）已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 9．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______． 10．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，A，B是x轴上方抛物线上的两个点，C，D是x轴上的两个点．若四边形是边长为4的正方形，则c的值为_______ 三、解答题 11．（25-26九年级上·河北张家口·期末）已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 12．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 13．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 14．（26-27九年级·全国·暑假作业）已知二次函数． (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若，求y的取值范围． x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 一、单选题 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）二次函数的最大值是（   ） A．1 B． C．5 D． 2．（25-26九年级上·河北承德·阶段检测）下列抛物线，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 5．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（     ） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东德州·期末）抛物线的顶点坐标是_____． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为_______． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 10．（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）抛物线如图，有下列四个结论：①；②；③．其中，错误的结论是________（只填序号）． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 12．（25-26九年级上·北京·阶段检测）抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． (1)在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： (2)结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 13．（2026·浙江湖州·二模）已知二次函数（为常数）的图象经过点． (1)求二次函数的表达式． (2)作点关于直线对称的点，若点恰好落在的图象上，求的值． (3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的取值范围． 14．（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)已知和是该抛物线上的两点．若对于，，都有，求m的取值范围． 15．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 21.2 二次函数的图象和性质（一） 参考答案 ( 题型0 1 )二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 2．A 3．< ( 题型0 2 )二次函数的y=ax²+k的图象和性质 4．D 5．< 6． ( 题型0 3 )二次函数y=a（x-h）²的图象和性质 7．C 8．D 9．减小 ( 题型0 4 )二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 10．C 11．A 12．2 ( 题型0 5 )二次函数图象的平移 13．B 14．A 15． ( 题型0 6 )把y=ax²+bx+c化成顶点式 16．D 17．< 18． ( 题型0 7 )画y=ax²+bx+c的图象 19．【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 20．【答案】(1) (2)开口向上，对称轴：，顶点坐标为 (3)图象见解析 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：∵二次函数的开口向上， 顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示： ． 21．【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 画出函数图象如图所示： （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． ( 题型0 8 )y=ax²+bx+c的图象与性质 22．A 23． 24． ( 题型0 9 )二次函数与各项系数符号 25．C 26．C 27．①③⑤ 一、单选题 1．B 2．B 3．B 4．A 5．A 二、填空题 6．1 7． 8． 9． 10．8 三、解答题 11．【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 12．【答案】(1)开口向上 (2) 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 13．【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．【答案】(1)见解析 (2)对称轴为直线，顶点坐标为 (3) 【分析】（1）根据列表，描点，连线的步骤画出图象； （2）根据二次函数的图象及性质即可解答； （3）求出当和时的函数值，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … … 2 0 2 … 描点，连线 （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （3）解：当时，， 当时，， ∴由图象可得时，． 一、单选题 1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 二、填空题 6． 7． 8． 9． 10．③ 三、解答题 11．【答案】见解析 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 12．【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③ 【详解】（1）解：函数图象如下图; （2）解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ②由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 13．【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，，解得：， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得：或． （3）解：∵ ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； ， ，即：， ①当时，， ∴当时，， ∴，， ∴； ②当时，， 此时，点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴此时最小值为，最大值为， ， ∴，， ∴， 综上所述，． 14．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 顶点坐标为； （2）解：，对称轴是直线， 抛物线的开口向上． 当时，随的增大而减小， 时，随的增大而增大， ； （3）解：当时，则， 点在对称轴的右侧或对称轴上，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ； 当时，则， 点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧． 点关于对称轴的对称点在对称轴的右侧，此时，随的增大而增大． 对于，，都有， ，解得， ， 综上可知m的取值范围为． 15．【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 1．B 2．A 3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $