精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市中央民族大学附属中学呼和浩特分校2025-2026学年试高二下学期期末考试数学试卷

2025～2026学年度第二学期期末 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 3. 若平面向量，满足：，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义即可求解. 【详解】由可得 即，所以. 4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为A为三角形内角，所以A为钝角， 若△ABC是钝角三角形，结合得A为钝角，所以， 所以，所以“”是“是钝角三角形”的充分必要条件. 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱台的体积公式即可. 【详解】由已知得该方亭上、下底面的边长分别为1、2. 所以该方亭体积为. 6. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程得其一条渐近线的方程，由圆得圆心、半径，利用直线与圆相切列方程即可得． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 8. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义分析可知函数的一个周期为2，且，，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】因为函数为偶函数，则， 又因为函数为偶函数，则， 可得，可知函数的一个周期为2， 则，且， 当时，是减函数， 因为，则，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A，因为，所以，选项A正确； 选项B，因为，，所以，选项B正确； 选项C，因为，当时满足，此时， 所以不一定成立，选项C错误； 选项D，且， 当时，是上的单调递增函数， 因为，所以， 当时，是上的单调递减函数， 因为，所以， 则选项D错误. 10. 已知为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 和的等比中项为4 C. 取最大值时，n的值为2或3 D. 若，则n的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出等差数列的首项与公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一验证四个选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，由，且，得，因此公差， 所以通项公式，前项和. 对于A：由上述推导得，A正确； 对于B：计算得，，二者的等比中项满足， 解得，即等比中项为，并非只有4，B错误； 对于C：是开口向下的二次函数，对称轴为，由于为正整数， 因此或时取得最大值6，C正确； 对于D：令，解得，又，所以的最大值为，D正确. 11. 若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ） A. 有3个不同的零点 B. 在区间上单调递增 C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据切线斜率条件求导，由得，确定，再分析其零点、导数与单调性，结合函数在各区间的增减性，逐一判断选项． 【详解】，， 因为函数的图象在点处的切线的斜率为， 所以，解得， 所以，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 对于A，由，得，，A错误； 对于B，区间，即是， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，B正确； 对于C，当时，，所以， 因为在区间上单调递减，所以，C正确； 对于D，， ，所以恒成立， 即对所有成立，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由二倍角的余弦公式，可得. 故答案为：. 13. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有4架不同型号的四旋翼无人机和3架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有______种．（结果用数字表示） 【答案】144 【解析】 【详解】设架不同的四旋翼无人机为，架不同的六旋翼无人机为， 因为有架、有架，且任意两架相邻无人机的旋翼数不同， 所以它们排成一列只能是：这种模式 架不同的全排列为， 架不同的全排列为， 则不同的飞行队形共有种. 14. 已知正实数m，n满足，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据已知等式构造函数，利用导数的性质、基本不等式进行求解即可. 【详解】设函数，因为， 所以函数是实数集上的增函数， 由， 因为函数是实数集上的增函数， 所以由， 因为m，n是正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为正方形的对角线与的交点，则， 又因为棱的中点，则， 由 平面，平面，可得平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证明，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）建系，写出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，，底面，所以，， 易得，于是可建立如图所示的直角坐标系. 则，，，，所以， ，易知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得，，可得， 则， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立，消元整理得 由，解得或. 即实数的取值范围为. 17. 2026年新春，某市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值，并估计该工坊生产的剪纸质量指标值的分位数； （2）新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各剪纸是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 【答案】（1），分位数为 （2）的分布列为： 0 1 2 3 ； 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质可求出的值，再根据百分位数的定义即可求出分位数； （2）先求出抽中“新春优品剪纸”的概率，再根据二项分布的特点求出概率列出分布列，最后利用公式即可求出数学期望与方差． 【小问1详解】 由，解得． 由图知，分位数在区间内，设分位数为， 则，解得， 所以该工坊生产的剪纸质量指标值的分位数为． 【小问2详解】 通过频率分布直方图计算得抽中“新春优品剪纸”的概率为， 由题意可知X服从二项分布，即． 则；； ；， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为， 方差为． 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征； （2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和． 【小问1详解】 ， 当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列． ． 【小问2详解】 ， 由题意知，. ， 设数列的前项和为， ， ， 则， 两式相减得：， 即， ． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）（ⅰ） （ⅱ）证明：由（ⅰ）知，当时，，恒成立， 即对恒成立，取，， 则， 因此 ． 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的符号得到的单调性，进而即可求出的极值； （2）（ⅰ）结合（1）得到，通过构造函数，求导，再结合零点存在性定理即可求出正整数的最大值； （ⅱ）结合（ⅰ），通过放缩得到不等式，再利用裂项相消法求和即可证明． 【小问1详解】 由函数的定义域为，， 则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减；在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令函数，，则， 所以函数在上单调递减， 而，， 则存在，使得，即， 因此当时，， 所以正整数的最大值为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若平面向量，满足：，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. 和的等比中项为4 C. 取最大值时，n的值为2或3 D. 若，则n的最大值为4 11. 若函数的图象在点处的切线的斜率为，则（ ） A. 有3个不同的零点 B. 在区间上单调递增 C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有4架不同型号的四旋翼无人机和3架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有______种．（结果用数字表示） 14. 已知正实数m，n满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为与的交点，为棱的中点，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围. 17. 2026年新春，某市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值，并估计该工坊生产的剪纸质量指标值的分位数； （2）新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于为“新春优品剪纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数为，且各剪纸是否为“优品”相互独立．求的分布列并计算数学期望与方差． 18. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 19. 已知函数，． （1）求函数的极值； （2）（ⅰ）若在上恒成立，求正整数的最大值； （ⅱ）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $