内蒙古自治区呼和浩特市中央民族大学附属中学呼和浩特分校2025-2026学年试高二下学期期末考试数学试卷

NM (人教B版) 2025~2026学年度第二学期期末 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效。 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效， 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试卷不回收， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.(1-i)(1+i)= A.2 B.√2 C.0 D.-1 2.设集合A={x∈N*x>-1},B={-1,0,1,2},则A∩B= A.{0,1,2 B.{1,2} C.{0,1} D.{-1,0,1,2} 3.若平面向量m,n满足：m=1,(m-n)⊥m,则m·n A.-1 B.2 c.0 D.1 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a>b>c,则“b2+c2<a2”是“△ABC是钝角三角 形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.如 图，现有一方亭ABCD-EFHG,其上、下底面的周长分别为4、8，方亭的高为 ⑩0，则该方亭的体积为 2 (第5题图) 4.73 B.710 c.73 D.310 3 6 6 2 高二数学期末-人教B版-1-（共4页） 6已知图C:t+-4y+1=0与双由线号卡=1(o0,0)的斋近线相切，则双面线的离心幸为 4.23 B.2 C.- D.5 3 几已知等数列a的前n项和为S,。:侧」 S12 B.3 9 D.g 8.已知函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x)与y=f(x+1)均为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)是减 函数，设a=马)，b-号)，c=og),则a,6c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a>b,c>0且c≠1，则下列不等式一定成立的是 A.a+c>b+c B.ac>bc C.a2>b2 D.c2>c 10.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2=2,S2=6,则 A.an=-2n+6 B.a4和a2的等比中项为4 C.Sn取最大值时，n的值为2或3 D.若Sn>0,则n的最大值为4 11.若函数f(x)=x(x-3)(x-a)的图象在点(0,0)处的切线的斜率为0，则 A.f(x)有3个不同的零点 B.f(x)在区间(a-2,a)上单调递增 C.Hx∈(0,1)f(x2)>f(2x) D.x∈(-1，+∞)，f(x+4)<f(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若sina= 3,则cos2a= 13.为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演.现有4架不同型号的四 旋翼无人机和3架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示.要求任意两架相 邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有 种.（结果用数字表示） 14.已知正实数m,n满足e2m-2-e2-2m=e-e",则m+8的最小值为 n 高二数学期末-人教B版-2-（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为 棱PA的中点，PD=AD=2 (1)证明：PC∥平面BDE; (2)求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值. B 16.(本小题满分15分) (第15题图) 圆E号+1(o>60)的两个焦点分别是F1,0),(,0),并且其离 (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线1：y=kx-2与椭圆E有两个公共点，求实数k的取值范围. 17.（本小题满分15分) 2026年新春，某市质检部门抽查了一家生产剪纸的文创工坊，随机抽取了100幅剪纸作品，检 测其工艺质量指标，检测结果的频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值，并估计该工坊生产的剪纸质量指标值的25%分位数； (2)新春佳节，市民选购剪纸时更看重工艺品质，若规定质量指标值不低于30为“新春优品剪 纸”，用样本估计总体，从该厂生产的大量剪纸中随机抽取3幅，记其中“新春优品剪纸”的幅数 为X,且各剪纸是否为“优品”相互独立.求X的分布列并计算数学期望与方差 ↑频率组距 0.030 0.020 0.015 0.010 01020304050质量指标值 (第17题图) 高二数学期末-人教B版-3-（共4页） 18.（本小题满分17分) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)在an与a+1之间插人n个数，使这n+2个数成等差数列，公差记为dn,设cn=n(n+l)dn,求 数列{cn}的前n项和. 19.(本小题满分17分) 已知函数x)=a(1+)年1，bL (1)求函数f(x)的极值； (2)(i)若f(x)>0在x∈(0，+∞)上恒成立，求正整数k的最大值； ()证明：h(1+1x2)+h(1+23)+…a1+n(a+1)]>a2.neN 高二数学期末-人教B版-4-（共4页）》 NM (人教B版) 2025~2026学年度第二学期期末 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.A2.B3.D4.C5.B6.A 7.C8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分；有选错的得0分， 9.AB 10.ACD 11.BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2号 13.144 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)证明：由题知，点0为AC的中点， 又因为E为棱PA的中点，所以OE∥PC, 又因为PC平面BDE,OEC平面BDE, 所以PC∥平面BDE. (6分) (2)因为PD⊥底面ABCD,DA,DCC底面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, D 又因为底面ABCD为正方形，所以DA⊥DC, 于是可以建立如图所示的空间直角坐标系， B 则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(1,0,1), 所以D2=(0,0,2),E2=(1,2,-1), 易知D2=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量， 设直线EB与平面ABCD所成角为O, 则sim0=|cos<E成，D币=|E店.D呢 2 -V6 |E21·1D√P+22+(-1)7x26' 所以直线EB与平面ABCD所成角的正弦值为 6 (13分) 16.解：(1)依题意可得c=1, 因为烤闲E的高心率为号所以片一号可得8=月。 所以b2=a2-c2=3-1=2, 故椭圆E的标准方程为号+父 321 ，…（7分) 高二数学期末答案-人教B版-1（共3页） [y=kx-2, （2)联立三=，整理得(2+3)-126=0 32 由4=(-12k)2-4x6x(2+3k2)>0,解得kK-5或65 3 3 即实数的取值范图为(-，U(停+)。 (15分) 17.解：(1)由(0.010+0.020+0.030+a+0.015)×10=1,得a=0.025. (3分) 由图知，25%分位数在区间[10,20)内，设25%分位数为m, 则0.1+(m-10)×0.020=0.25,解得m=17.5.… (7分) (2)通过频率分布直方图计算得：P(优品)=0.4， 由题意可知：X服从二项分布，即X~B(3,0.4). 则P(x-0)=c0.1-04P-器：PX=I)=c041-04-话 125 PrX=2)=041-04)=说P(X=3)=Ca41-04P 8 1251 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 27 54 (11分) 36 8 125 125 125 125 B(X0=m=9D(X0=p(1-p)=2 (15分) 18.解：(1)因为Sn=2an-2, 所以当n=1时，S1=2a1-2=a1,解得a1=2. 又当n≥2时，Sn-1=2an-1-2, 所以an=S。-Sn1=(2a。-2)-(2a1-2)=2a.-2a-1, 所以an=2a-1,故数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an=a1…g1=2×2-1=2%.… (8分) (2)由(1)可知，an=2”,an1=21, 由题意知a1-a,=(n+2-1)d,所以d=2 +1 因为cn=n(n+1)dn,所以cn=nx2, 设数列{cn}的前n项和为Tn, 则T,=1×2+2×22+…+(n-1)×2-1+n×2", 2Tn=1×22+2×23++(n-1)×2"+n×21, 两式相减得：-Tn=2+22+23+…+2”-n×21, 高二数学期末答案-人教B版-2（共3页） 即-T,=2-21 f-2nx2=2l-2-nx2i=(1-n)x21-2, 所以T2=(n-1)×2+1+2.…(17分) 19.解：(1)函数fx)=ln(1+x)-+1的定义域为(-1，+∞)， x+1 求号得"浩雨1， 所以当-1<x<k-1时，f'(x)<0:当x>k-1时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-1，k-1)上单调递减，在(k-1,+∞)上单调递增， 所以函数f代x)在x=k-1处取得极小值f(k-1)=l如k-k+2,无极大值.…(5分) (2)(i)由(1)知，函数f(x)在(-1，k-1)上单调递减，在(k-1,+∞)上单调递增， f(x)min=f(k-1)=In k-k+2, 令函数g(x)=h+2,1,求导得g()--1<0, 所以函数g(x)在(1，+0)上单调递减， 而g(3)=ln3-1>0,g(4)=n4-2<0, 则存在x0e(3,4),使得g(x)=0,即lnx-x+2=0, 因此当1<k<xo时，f(x)≥lnk-k+2>lnxo-x+2=0, 所以正整数k的最大值为3.… (11分) (i)证明：由(i)知，当k=3时，Vx>0x)=n(1+x)-3x+1>0恒成立， x+1 即a(1)>2对V>0恒成立，取=a(a+1)aeN, 则tal1a(a012ntn2aa2-3片 因th1+1x2)+h(1+2x3++lh[1n(a+1]>2-31-号号+-2-3(1--=2a (17分) n+1 高二数学期末答案-人教B版-3（共3页）