湖南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期暑假作业过关练习数学试题

2026年秋季高二年级暑假作业过吴徐习 数学参考答案 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号12345678 1.C1 解桥】由一科=2=一1+i,所以复数z的模为2， 2i(1+) 2.B【解析】数据从小到大排列为4,4,5,7,7,8,8,8,9,10， :10×80%=8,第80百分位数为8牛9-8.5。 2 3.B【解析】因为MA.Mi=M店.MC=MC.MA,.Mi·(MA-MC)=0→M店.CA=0→MB⊥AC, 同理可得：MA⊥BC,MC⊥AB,所以，点M是△ABC的垂心 4.A【解析】a=(4,2),b=(m,n),若a,b不能作为基底，则4n=2m,即m=2n, 当m=2时，n=1;当m=4时，n=2;当m=6时，n=3, 两次投掷得到点数的总可能性有6×6=36种， 所以所求的概单P=1一品-》 5.D【解析】由sinC+cosC=2,得sin(C+4)=l, 因为C∈(0，)所以C+∈（圣，），所以C+=登→C=平 由余弦定理，c2=a2+b2-2abco9C=8+9-2X22X3X号=5，所以c=5. 9. 6.A【解析】对于A,存在平面B使得nCβ且a∩B=l,因为n∥a,nC平面B,故n∥l,因为mLa,lCa,故m⊥1， 所以m⊥n,故A正确； 对于B,若m∥n,则a与B可能相交或平行，故B错误； 对于C,若a∥B,则a与B无公共点，又aCa,bCB,则a与b平行或异面，故C错误； 对于D,若m⊥a,a⊥B,则mCB或m∥B,故D错误. 7.D【解析】取BP的中点D,连接DE,因为E是BC的中点，则DE∥CP 连接AD,则直线AE与PC所成角为∠AED或其补角， 由题设，令PA=PB=PC=2,而PA,PB,PC两两垂直，△ABC为等边三角形， 所以AD=VPA+PD=5,DE=PC=1,AE-BC-号×2PC=6, 2 在△ADE中，os∠AED=AE+DE-AD=6+1-5-E 2AE·DE 2X6X161 故直线AE与PC所成角的余弦值为 61 8.C【解析】取BC的中，点M,AD的中点N,连接MN,ON,如下图所示： N 易知M心+Mi=0, 高二数学(T)参考答案一1 所以0花.O克=(OM+MC)·(OM+M)=O脉-Mi-O派-子=1oM-子 因为OM≤ON+NM=号AD+AB=号，当且仅当O,N,M三点共线时等号成立 所以O心.可B的最大值为2. 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC BD ABD 9.AC【解析】对于A:方程x2+1=0,解得x1=i,x2=-i,故A正确； 对于B:0C-}Oi+号oi.0心-OA-oi-oA, 可得AC-号AB,所以A,B,C三点共线，选项B错误； 对于C:假设{m,n,c》共面，则存在实数x,y,使得c=十ym,即c=x(a十b)十y(a一b), 即(x十y)a十(x一y)b-c=0,因为{a,b,c}不共面，所以(x十y)a+(x一y)b一c=0无非零解， 所以{m,n,c)不共面，能为空间的一组基底，选项C正确； 对于D:设x=x+yi(x,y∈R),则z十2i=x+(y十2)i,因为|x十2i≤2， 所以√x2+(y+2)7≤2，所以x2+(y+2)2≤4， 所以复数x所对应的点Z的集合是以点(0，一2)为圆心，2为半径的圆面，故D错误. I0,BD【解折]对于A,若A与B三示，则P(A+B)=P(A)十P(B)=号十号-哥，tA每送： 对于B,因为P(A)-合P(B)-=分则PA)=1-P(A)=1-号=号， 因为P(P(B)=号×号-号=P(B),所以事件万与B相互独立，故B正确， 对于C,若A发生时B一定发生，则ACB,则P(AB)=P(A)=子，故C错误； 对于D,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=号-PAB,周为ABCA, 0<P(AB)<P(A)-号，所以号≤P(A十B)<号，故D正确， 11.ABD【解析】对于A选项，将四棱锥P-BCC,B1补成长方体PEFG-C,B1BC, 所以，四面体BCC,P的外接球的直径即为长方体PEFG-C1B,BC的体对角线长， 即四面体B0CP的外接球的直径为2R=√P+1P+(合》=是， 所以，四面体BCCP的外接球的表西积为S=4R2=资，A正确， 对于B选项，连接A1B,A,P,CD1, 因为BC∥A,D且BC=A,D,故四边形A,BCD,为平行四边形，所以CD1∥A1B, 因为P,N分别是CD,CC中点，则PN∥CD1,所以PN∥A,B, 即A1,P,N,B四，点共面， 当Q与A,重合时满足B,N,P,Q四点共面， 但Q是线段D1A1上的动点（不包含端点），B正确； 对于C选项，如图，在平面A,B1CD1上作QK⊥BC,垂足为点K, 过点K在平面BB,C,C内作KT⊥BN交BC或者CC,于T, 因为平面ABCD1⊥平面BCCB1,平面A,BCD,∩平面BCCB1=B,C1, 高二数学(T)参考答案一2 且QKC平面A1B,CD1,所以QK⊥平面BCCB, 又BNC平面BCCB1,所以QK⊥BN, 因为QK∩KT=K,QK,KTC平面QKT,所以BN⊥平面QKT, 平面QKT截正方体ABCD-A,B,CD,截面为平行四边形QKTL, D. 当T与点C重合时，面积最大，此时KT=5 ，0K=1,面枚为汽， 当Q与，点D1无限接近时，面积接近于0， D 过Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-A,B,CD,所得截面面积的取值范围为 (o,号]，c错送 对于D选项，取A1B1的中点O,连接PO,则PO∥AD, 则PO⊥平面AA,B1B,取AB的中点V,以O为圆心，OV=1为半径作圆， 交AA,BB于X,Y, 则点H的轨迹为以O为圆心，1为半径的部分圆弧XVY, 此时满足直线PH与直线AD的夹角为牙， 如图，OX=0Y=XY=1,故∠X0Y=5, 所以点H的轨迹长度为否X1=哥，D正确。 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-3【解析】因为41∥2，所以b-3×(-1)=0→b=-3. 13.2yS【解析】由题设，AC=AD,=CD,=2E,则△ACD,为等边三角形， 所以5m,=合×22X2反X号-23，设点B到平面ACD,的距离为d, 所以VAc=Veam,则号XDD,XSce=号×dXSm 所以号×2x号×2X2=日×dX2,可得d-2想 14.9π【解析】如图所示正四面体A-BCD,记棱长为a,高为h,O为正四面体A-BCD内 切球的球心，延长AO交底面BCD于E,E是等边三角形△BCD的中心，过A作AF⊥ CD交CD于F,连接BF, 则OE为正四面体A一BCD内切球的半径， 图为AP-BF-9。,BE-号BF- 31 a,BBn-E。 a, 所以h=AE=√AF-E=Ea 3Q, 所以0B=VB0-B8=AB-0E-BE,解得-0E-得e=, 由图可知最大球内切于高h-号X26=4的正四面体中，最大球半径r发==1， 中等球内初于高hm=Ak-2r=2的正四面体中，中等球半径rm=子+= 4 2 最小球内切于高h=h一2r=1的正四面体中，最小球半径小==}， 所以九个球的表面积之和V=4x[12+4×(合)》°+4X(得)门=9m 高二数学(T)参考答案一3 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)由频率分布直方图，得(0.08十0.16十a十0.40十0.52十a十0.12+0.08+0.04)×0.5=1， 所以a=0.30,… (3分) 由图可知，月均用水量位于[2,2.5]的频率最大，由此众数为2十2.5=2.25t… 2 (5分) (2)月均用水量低于3t的频率为1-(0.12十0.08十0.04)X0.5=0.88,…(7分) 所以全市居民中月均用水量低于3t的人数为100X0.88=88万，… (8分) (3)月均用水量不超过3t的频率为1-0.12=0.88，月均用水量不超过3.5t的频率为0.88十0.06=0.94，因 此x∈(3.3.5)，…(10分) 0.8s+(x-3)×012=0.92,所以x=9 (13分) 16.【解析】(1)由题意，，cosB=cosLπ-(A十C)]=一cos(A十C), .'.cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=4sin Asin Ccos B, 整理得：sin Asin C=2 sin Asin Ccos B,… (2分) CA∈(0,2》smA0且smC≠0cosB=合B=晋 (4分) (2)设△ABC周长为L,则L=a十b+c=a十c十2，只需确定a十c的取值范围， 由正按定理得前品c品B=一 sin 3 因此a=43inA,G43SiC,a, 3 3 (6分) 由A十B+C=元得C=元一A-B=-A, 0<C-ξ-A<受， 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得吾<A<受， …（7分) 0<A<F, 所以L=a十e+2=9(snA+smO+2=45[snA+sin(号-A]+2 3 =4(snA+sin经osA-cas等nA)+2=4g(号nA+停asA)+2=4停inA+2osA)+2 =4(cos石sinA+-sincos A）+2=4sin(A+）+2,… (11分) 因为吾<A<受，所以晋<A+答<，号<in(A+吾)≤1， 所以23+2<4sinm(A+否）+2≤6， 即L∈(25十2,6].… (15分) 17.【解析】(1)连接BE,在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=2,CD=4,E为CD中，点， 四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE, ∴.OB⊥AE,OD⊥AE,即OB⊥AE,OP⊥AE,且OB∩OP=O, OBC平面POB,OPC平面POB,AE⊥平面POB.…(4分) 0 高二数学(T)参考答案一4 (2)由(1)可知四边形ABED为菱形，.AD=DE=2, 在等腰梯形ABCD中，AE=BC=2,△PAE正三角形， ∴OP=√3，同理OB=3, .PB=√6， ..OP2+OB=PB2, ∴.OP⊥OB, 由(1)可知OP⊥AE,OB⊥AE, 以0为原点，OE,OB,OP分别为x轴、y轴、x轴，建立空间直角坐标系Ozyz,…(7分) 则P(0,0,√3)，A(-1,0,0),B(03,0),C(2,3,0),E(1,0,0), ∴P=(0,3,-√3)，P式=(23，-3)，A克=(2,0,0)， PQ=APB(0<A<1),AQ=AP+PQ-AP+APB=(1,3x,V3-/3), 设平面AEQ的一个法向量为n=(z,y,z), n·AE=0,。2x=0, 则 即 n·AQ=0x+3λy+(W3-√3λ)x=0, 取x=0=1,得x产n=(0,1之)， (11分) 设直线PC与平面ABQ所成角为0,0e[0,登]， W6m-震-剑 西1+(2) 化简得：4以2-4纵十1=0，解得入=2， ∴存在点Q为PB的中点，即 =1时， QB 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为 51 …（15分） Q 0 E之 18【解折11)甲获得30天会员的薇率为号×是×号-号 …(2分) (2)当力=是时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为呈×号+(1-是)×号×合=0 按道2+题3→通1的瓶序答题，甲我得会员的瓶率为是×号+(1-是)×号×号-品 …(6分) 因为品>品所以要使甲获得会员的就辛最大，应挨题2→题1→题3的顺序答题。…(8分》 (3)根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲技得会员的薇率卫，=（停+p)×告一是×告=多+号： 高二数学(T)参考答案一5 若通2位子中间的顺序，则甲孩得会员的概率P=(停+p)×是-是×号=号+品<号+号=B: 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的版年户，=（告+）×p一×号-品 …（14分） 国为P,>P,所以只离满足P>P,即可，即品>是十号，解得p>号 国为0<p<1,所以力的取位范国为（号，1 （17分) 19.【解析】(1)因为sin2x-cosx=(sin2x十cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x, 所以x∈R,都有f2(x)=f∫(x).…（2分） (2)因为f(x)<∫，(x),且f2(x)=f(x),所以f(x)<f(x), 所以sinx-cosx<sin2x-cos2x,则(sinx-cosz)(sinx十cosx-l)>0, 则v2sin(x-)儿2sin(+晋)-1]>o, …(4分） 又xe(年，买）则sin(x-晋）>0， 所以w2sin(女+》一1>0，则sm(e+晋）>吗， …(6分） 所以牙+2r<x+年<+2m,k∈Z,即2km<x<受+2x,k∈乙， 又x∈（牙，）所以x(晋，】 (8分) (3)假设存在正数m,对于任意n≥3，关于x的方程sin"x一cos"x=sin2"x一cos2"x在区间(0，m]内至少有三 个不同实数解 所以(sin"x一cos"x)(sin"x+cos"x-1)=0, 所以sin”x=cosx①或sin”x十cos"x=l②.…(9分） 对于方程①，若cosx=0,则sinx=土1，方程①不成立，所以cosx≠0， 所以tanz=1对于任意n≥3恒成立，所以tanx=l,所以x=晋十m(k∈Z). (11分) 对于方程②， (|)若sinx=一l,则cosx=0,当n为奇数时，sin"x十cos"x=-l,方程②无解； （I‖)若sinx=0,则对于任意n≥3，cos"x=1,所以cosx=1,得x=2kπ(k∈Z). ()若sinx=1,则对于任意n≥3，cosx=0,则cosx=0,则x=受+2kx(k∈Z). (v)若sinx∈(-1,0)U(0,1),则cosx∈(-1,0)U(0,1), 所以sin-2x<1且cos"-2x<1, 所以sin"x十cos"z=sin2x·sin-2x十cos2x·cos"-2x<sin2x十cos2x=1,因此方程②无解 综上，原方程的解为x=2kr或=至十km或z=受十2kπ（∈Z).…。 …（15分) 若及=0，则方程的解为0，晋受：若负=1，则方程的解为2，平，受； 所以若m≥平，对任意一个整数≥3，关于x的方程$inx一c0sx=sinx一60sx在区间（0，m]内至少有3 个互不相等的实数解， 故正数m的最小值为 4 …(17分） 高二数学(T)参考答案一62026年秋季高二年级暑假作业过关练习 数学 时量：120分钟 满分：150分 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1已知复数马其中i为虚数单位，则复数z的模为 A.1 B.-√2 C.√2 D.-1 2.数据4,4,5,7,7,8,8,8,9,10的第80百分位数为 A.9 B.8.5 C.8 D.10 3.点M在△ABC所在平面内，且满足MA·MB=MB·MC=M心.MA, 的 则点M是△ABC的 A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 的 4.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m,n.设平面向量a=(4,2), 部 b=(m,),则向量a,b能作为平面内的一组基底的概率为 A是 1 C.2 D是 5.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=22,b=3,sinC+ 灯 詔 製 cosC=√2，则边长c为 阳 A.2 B.2√5 C.√10 D.√5 6.已知两条不同直线，n,两个不同平面a,B,下列命题中正确的是 A.若ma,n∥a,则m⊥n B.若mC&,nC&且m∥B,nB,则a∥B C.若a∥B,aCa,bCB,则a∥b D.若m⊥a,a⊥B,则m/∥g 7.如图，在三棱锥P-ABC中，PA,PB,PC两两垂直 且相等，E为BC中点，则直线AE与PC所成角的余 弦值为 A② 2 B 5 C③ 3 D.6 6 高二数学试题(T)第1页（共8页） 8.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点A,D分别在x轴，y轴的正半 轴（含原点）上滑动，则O心.O的最大值是 0 A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分， .下列命题为真命题的是 A.在复数集C中，方程x2十1=0有两个根，分别为i,一i B若空间中的0，A,B,C满足O心=}OA+号Oi,则A,B,C三点不 共线 C.{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a十b,n=a一b,则{m,n,c}能为空 间的一组基底 D.复平面内满足条件|z十2≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点 (0,2)为圆心，2为半径的圆 10.已知随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=3,P(B)=,则下列 说法正确的是 A.若A与B互斥，则P(A十B)=6 B若P(AB)=},则事件A与B相互独立 C.若A发生时B一定发生，则P(AB)= D.<P(A+B)≤号 高二数学试题(T)第2页（共8页） 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，N,P分别是CC1, CD,的中点，Q是线段DA,上的动点（不包含端点），则 A四面体BCCP的外接球的表面积为？ B.不存在点Q,使B,N,P,Q四点共面 C.过Q且与BN垂直的平面截正方体ABCD-A,B,CD,所得截面面 积的取值范围为(0√5] D.点H是四边形AA1BB内的动点，且直线PH与直线AD的夹角 为牙，则点H的轨迹长度为贺 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线1：x-y-2=0,直线l2:3x十by+2=0,若11∥2，则b= 13.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，点B到平面ACD: 的距离为 B 14.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁 里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平 衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型， 中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体 三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面 体ABCD棱长为2√6，则模型中九个球的表面积和为 O 高二数学试题(T)第3页（共8页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.（本小题满分13分) 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出.某市政府为了 鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一 个合理的居民用水标准x(单位：t),月用水量不超过x的部分按平价 收费，超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况， 通过抽样，获得了1000位居民某年的月均用水量（单位：t),制定了如 图所示的频率分布直方图. 频率组距 0.52 0.40 0.16 0.12-- 0.08 0.04 0 0.511.522.533.544.5月均用水量 (1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000位居民某年的月均用水 量的众数； (2)已知该市有100万居民，估计全市居民中月均用水量低于3t的 人数； (3)若该市政府希望使92%的居民每月的用水量不超过标准xt,估计 x的值， 高二数学试题(T)第4页（共8页） 16.（本小题满分15分) 在锐角△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若b=2且cos(A一 C)+cos B=4sin Asin Ccos B. (1)求B; (2)求△ABC周长的取值范围. 高二数学试题(T)第5页（共8页） 17.（本小题满分15分)》 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AD=AB=BC=2,CD=4,E 为CD中点，AE与BD交于点O,将△ADE沿AE折起，使点D到达 点P的位置(P平面ABCE). 0 D E (1)证明：AE⊥平面POB; (2)若PB=√6，试判断线段PB上是否存在一点Q(不含端点)，使得直 线PC与平面ABQ所成角的正弦值为，若存在，求出5器的值； 若不存在，说明理由。 高二数学试题(T)第6页（共8页） 18.（本小题满分17分) 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安 排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题 可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为 善，答对题2的概率为是，答对题3的概率为力0<<1)，各题答对与 否相互独立 (1)若力一3，且甲按题1-→题2→题3的顺序答题，求甲获得30天会员 的概率 (2)若p一2，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何 安排其他两次答题顺序？ (3)若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大， 求力的取值范围， 高二数学试题(T)第7页（共8页） 19.（本小题满分17分) 已知函数fn(x)=sin"x一cosx(n∈N). (1)证明：Vx∈R,都有f2(x)=(x); (2)当z∈（年，），求不等式f(x)<(x)的解集； (3)是否存在实数m>0,对任意一个整数n≥3，关于x的方程sin”x一 cos”x=sin2x一cos2x在区间(0，m]内至少有3个互不相等的实数 解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由. 高二数学试题(T)第8页（共8页）