湖南省长沙市第一中学2026-2027学年高二上学期开学数学试题

2026年秋季高二数学入学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知A={xx2十2x-8>0),B={xx-a>0},若B二A,则实数a的取 值范围为 A.(2,十∞) B.[2,+∞) 纺 C.(4,十∞) D.[4,+o∞) 部 2.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若A=105°，B=45°，b= 2√2，则c等于 如 A.1 B.√2 的 C.√5 D.2 如 製 3.已知平面a,直线m,n满足m中a,nCa,则“mLn”是“mLa” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 都 4.欧拉公式er=cosx十isin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发 明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数 常 常 之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数é在复平 面内对应的点所在的象限为 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，已知△A'B'C'是水平放置的△ABC根据斜二测画法得到的直观 图，A'B在x'轴上，B'C'与x轴垂直，且B'C=2,则△ABC的边AB上 的高为 B A.√2 B.22 C.4 D.42 高二数学试卷(Q)第1页（共8页） 6.有八张卡片，分别标记数字1,2，…，8，从中随机抽取一张，记录它的数 字，记“数字为偶数”为事件A,记“数字大于4”为事件B,记“数字为1， 3,5,8”为事件C,则下列说法正确的是 A.事件A与事件C为互斥事件 B.P(AB)≠P(A)P(B) C.事件B与事件C不是独立事件 D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 7.△ABC中，BC.CA=CA·AB,|BA+BC=2,B≤5，则BA·BC的取 值范围是 A[号] co,号 D.(o.] 8.已知a,β∈(0，元)，a≠B,若e一e8=cosa一3cosB,则下列结论一定成立 的是 A.cos a<cos B B.cos a>cos B C.sin a<sin B D.sina>sinβ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9.下列命题是真命题的是 A若幂函数f)过点（合利，则f2)=号 B3x∈0,1)，（合）”>1g4 C.Vx∈(0，+o∞)，logx>logx D.命题“]x∈R,e<x0十1”的否定是“Vx∈R,e≥x十1” 10.（★)下列说法正确的是 A.直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取 值范围为(0,1] B.设直线1的斜率为，且一√3<k≤1，则直线l的倾斜角α的取值范 围是[o,买U(,x C.已知直线l的一个方向向量为p=(sin牙，cos ,则直线1的倾斜 角为贺 D.直线2 axcos a-y-3=0(a∈[，])的倾斜角的取值范围是 [,] 高二数学试卷(Q)第2页（共8页） 11.(★)如图，正四面体ABCD的棱长为1，E,F分别是棱BD,CD上的 点，且BE=DF=t,t∈(0,1)，则 A.不存在t,使得BC∥平面AEF B.直线AC与直线EF异面 C.不存在t,使得平面AEF⊥平面BCD D三枝能A-DEF体积的最大值为号 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热 情，某校举办了“学党史、育文化”知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成 绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计 这组数据的平均数为 ◆频率/组距 Sa 3a 405060708090100成绩/分数 13.三条直线x十y十1=0,2x一y十8=0，ax十3y一5=0不能围成三角形， 则a的取值集合是 14已知△ABC的边AC=2,区，且A品B-1,则△ABC的面积的 最大值为 高二数学试卷(Q)第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题 17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(★)（本题满分13分） 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球， 得到红球或黄球的概率是子，得到黄球或蓝球的概率是 (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数， (2)随机试验：从盒中有放回地取球两次，每次任取一球记下颜色， (ⅰ)写出该试验的样本空间2. (ⅱ)设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜， 从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由， 高二数学试卷(Q)第4页（共8页） 16.(本题满分15分) 已知平面向量a=(2,一3)，b=(3,m),m∈R. (1)若c=(7,-5),且c=十b,求x和m的值； (2)若a⊥b,求|a十2bl的值； (3)若a与b的夹角为锐角，求m的取值范围， 高二数学试卷(Q)第5页（共8页） 17.(★)（本题满分15分） 如图，在所有棱长都为2的三棱柱ABC-A1BC中，点E是棱AA1的 中点，AB1⊥CE: (1)求证：平面A1ABB1⊥平面ABC; (2)若∠AAB=于，点P满足A1C=3AP, (1)求直线CP与平面A1ABB1所成角的正弦值； (ⅱ)求二面角C-AA1-B的平面角的余弦值： A, B C B C 高二数学试卷(Q)第6页（共8页） 18.(本题满分17分) 已知向量m=(2sin0,sin0-cos0),n=(cos0,一2一m),函数f(0)= m·n的最小值为g(m): (1)当m=2时，求g(m)的值； (2)求g(m); (3)已知函数h(x)为定义在R上的增函数，且对任意的x1,x2都满足 h(x1十x2)=h()十h(x2),问：是否存在这样的实数m,使不等式 sin acos o)+i(2m+3)>h(f(9)对所有9e(军x恒成立？ 若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 高二数学试卷(Q)第7页（共8页） 19.(本题满分17分) 设a∈R,函数f)-+g 2x-a1 (1)若a=1,求证：函数f(x)为奇函数； (2)函数g(x)满足g(x)=(2x一2x)f(x),在(1)的条件下，若对任意 x∈R且x≠0，不等式g(2x)≥t[g(x)一2]一16恒成立，求t的取 值范围。 (3)若a≠0，函数f(x)在区间Lm,n](m<n)上的取值范围是 [奈，]∈R,求是的范围， 高二数学试卷(Q)第8页（共8页） 2026年秋季高二数学入学参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 5 6 8 9 10 11 答案 B D B B D D B C BD BD BC 4,B【解新析】依题毫得，ei=6os警+m=一+号， -1+③； 3 “复数部在复平西内对应的点（合）在第二象展，放选旦 5.D【解析】在xO'y坐标系下，过点C作y的平行线与x相交于点D',则CD=22, 根据水平放置的平面图形的直观图画法知，CD=4√2， 所以△ABC的边AB上的高为4√2，故选D. 6.D【解析】从分别标记数字为1、2、…、8的八张卡片中随机抽取一张，所有抽取方法数为8， 而A={2,4,6,8}、B=(5,6,7,8}、C=(1,3,5,8), 对于A,因为A∩C=(8)≠0，所以事件A与事件C不为互斥事件，故A错误； 对于B,图为AnB=6,8,所以PCAB)一号-子， 因为PA)=P(B)=音-合，所以P(AP(B)=壳X号-， 因此P(AB)=P(A)P(B),故B错误； 对于C,因为B=(1,2,3,4,所以B∩C-(1,3),因此P(BC)=名=1 8=4, 因为P团)=P(C=音=分，所以PEC)=PP(O=, 因此事件B与事件C是相互独立事件，故C错误； 对于D,因为AnBnc--(图，所以PABC=合，而PPBP(O=号×号×号-日， 因此P(ABC)=P(A)P(B)P(C,故D正确.故选D. 7.B【解析】BC.CA=CA·AB→CA·(BC-AB)=0→CA·(B武+BA)=0, 以BC,BA为邻边作平行四边形BCDA,如图： 所以BC+BA=BD,因此CA·Bi=0→CA LBD: 所以平行四边形BCDA是菱形， 设CANBD=-O,|BA+BC=2,所以Bò1=2→B0=1, 在BR△B0A中，o∠AB0-器>AB=之 C0s ABC 2 1 ·coS∠ABC- 2cos∠ABC 2 1+cos∠ABC, 茂=6 oosABC,.周为∠AB0C<音，所以xE[登1)， 当x[合，)时，一泽是增函数，故[骨，小，国光选日 8.C【解析】当0<<号时，则e-e=cos&-3 icos Bcosa一osB, ∴e-osa<e-cosB,令f(x)=e2-cosx,则f(x)在(0，x)上单调递增； ∴aK受，….sinsin: 当B受时，则e-e=c0sa-3c0sf=c0sa一osA,a==,不合题意； 当艺<Kx时，则e-e8=cosa-3c0 s Bcos a一cos8, “e-cosa>e-cosA,a>D号，sin<sinB,综上可得sina<sinA 高二数学参考答案(Q)一1 9.BD【解析】对于A:若幂函数fx)=过点（分，4，则（分）°=4， 解得a=一2，f2)=22=子，故A错误； 3 对于B:在同一平面直角坐标系上画出y=(分)”与y=10g+x两 函数图象，由图可如3x∈(0,1，（分）>1og4,放B正确； -3-2-10 12 34x 对于C:在同一平面直角坐标系上画出y=log时x与y=logx两 -1 y=loglx 函数图象，由图可知，当x∈(0,1)时，logx>logx, -2 当x=1时，log}x=1og5x,当x∈(1，十c∞)时，log}x<log尉x, 故C错误； 对于D:根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知，D正确. 故选：BD 10.BD【解析】对于A,6=号-1-一7<1，放直线2的斜率的取值范国为（一0,1，A错误 对于B,因为直线2的斜率为，k∈(-5,1门，k=ana∈[0，，即-一B<taa<1,所以e∈[0，牙]U(停x, B正确； 对于C,由题意可得，直线1的斜率为 n 号又倾斜角的范国是[0，)，所以直线1的倾斜角为晋，C错误； 对于D,直线2xos一3=0的斜率为2aa,由于a∈[晋晋]，所以cas6∈[合，号]，国比2a0sae[11,设 直线的倾斜角为0，则有am9E[1,wB],由于8c[0,d,所以8E[至，号]，即倾斜角的取位范国是[至，吾]，D正确。 11.BC【解析】当=号时，E,F分别是棱BD,CD的中点，此时BC∥EF,因为EF C平面AEF,BC吐平面AEF,所以BC∥平面AEF,故A错误； 因为直线AC与平面BCD交于点C,EFC平面BCD,且不经过点C,所以直线 AC与直线EF异面，故B正确； 设O为△BCD的中心，连接AO,因为经过点A有且只有一条直线AO垂直于平 面BCD,所以经过点A且垂直于平面BCD的平面一定经过直线AO, 即当且仅当E,O,F三点共线时，平面AEF⊥平面BCD, 因为DE=1-t,DF=,所以Di=亡p应，D心-市，设BC的中点为M,连接DM, 则D心-号D成=}D+D0=号（已p+),国为E,0,F三点共线，所以（日十）-1，基理得3 一3t+1=0,因为△=一3<0，所以此方程无解，所以不存在t∈(0,1)，使得平面AEFL平面BCD,故C正确； 易知A0=AD-D可=√AD-(号DM-5, 在△DEF中，DE=1一t,DF=t, 所以5四=合：1-)：血哥，[仕2门-得当显仅当合时等号成立， 所以三技像A-DEF你积的最大值为号×号×写-振tD错说敢选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.71【解析】根据频率分布直方图可知：10(2a十3a十3a+6a十5a十a)=1,即a=0,005, 由图可估计平均数为45×20a十55X30a+6530a+75×60a十85X50a十9510a=71. 高二数学参考答案(Q)一2 18.得3，-6 14.√2十1【解析】由题意，设△ABC中角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则有b=2W2, 肉+品B1可将警+器昌-1， 3cos Asin B+2sin Acos B=sin Asin B,.'cos Asin B+2sin(A+B)=sin Asin B, .A++B+C=,..cos Asin B++2sin C=sin Bsin A,..2sin C=sin B(sin A-cos A), 由正弦定理可得2c=b(sinA-cos A)=2W2(sinA-cosA),c=2(sinA-cosA)>0,则有A>至. 故△ABC的面积S=号bcsin A=合·2WE瓦(sinA-cosA)sinA=2sinA(simA-cosA)=2sirA-2 sin Acos A -1-os2A-sn2A=1-/2im(2A+F) :A∈（任，x,∴2A+平∈(，要），当A=受时，△ABC的面积S取得最大值厄+1. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应写出文字说朋、证明 过程或演算步骤， 15.【解析】(1)从盒中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A,B,C, 因为A,B,C为两两互斥事件， (P(A)+P(B)+P(C)=1, 所以由已知得 P(A+P( 3分 P(B)+P(C=克， 1 P(A)- 解得P(B=子， (O- 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2,1,1.…… …6分 (2)(1)由(1)知盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为2,1,1， 不妨用1,2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，(m,n)表示试 验的样本点， 则样本空间2=(1,1)，(1,2)，(1，a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,a),(2,b),(a,1),(a,2),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2), (b,a),(亿，b)).…8分 (l)由(1)得n(2)=16, 记“取到两个球颜色相同”为事件M,“取到两个球颜色不相同”为事件N,则n(0=6,…10分 所以PM=号-是，所以P(W=1-P0=1-号-号 ……12分 为号>号，所以此游戏不公平.…13分 16.【解析】(1)因为c=m十=x(2,一3)十(3，m)=(2x十3，一3x+m)=(7,-5), 所以 2x十3=7， -3x+m=-5, 解得x=2,=1.…4分 (2)若aLb,则a·b=(2,-3)·(3,m)=6-3m=0,解得m=2,… …6分 所以b=(3,2),a十2b=(2,-3)+2(3,2)=(8,1),a十2b=√82+1=√65.…9分 （3)因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0且a,b不同向，即2m-(-9)≠0， 16-3m>0, …12分 解得m<2且m≠-号，即m的取值范国是(-©，一号)U(-号，2) …15分 高二数学参考答案(Q)一3 17.【解析】(1)证明：取AB的中点O,连接E0,AB,OC,因为E为AA1的中点，0为AB的中，点， 所以EO∥A1B,在三棱柱ABC-A1B,C中，AB=AA=2, 则四边形ABB1A是菱形，得AB1⊥A,B,则AB1⊥EO, 又AB⊥CE,EO∩CE=E,EO,CEC平面EOC, 所以AB1⊥平面EOC,又因为OCC平面EOC,所以OC LAB,…3分 因为△ABC是等边三角形，O为AB的中点， 所以OCLAB,又因为OC LAB,AB∩AB,=A,AB,AB1C平面ABBA1, 所以OC⊥平面ABB1A1,又因为OCC平面ABC,所以平面ABB,A1⊥平面ABC …6分 (2)(1)连接AO,因为∠AAB=,AB=AA1,所以△AAB是等边三角形，所以 AO⊥AB, 又因为平面ABB1A⊥平面ABC,平面ABB,A∩平面ABC=AB,且A,O平面ABBA, 所以AOL平面ABC, 而C0,OBC平面ABC,故A1OLOC,A1OLOB, …7分 如图，以O为原点，OC,OB、OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xz, 则O(0,0,0),C(√3,0,0)，B(0,1,0),A1(0,0W3),B1(0,2W3), 设C(x,y,z),又CC=BB,解得C(W3,1W3), 则-a或+号A-(-2,w, …9分 平面AABB,的一个法向量m=1,00),所以cos(C,m= CP.n √30 10 设直线CP与平面A1ABB:所成角为0，则s血0=|cosC市，m= 10 …11分 (I)A(0,-1,0),则AA1=(0,1,N3),AC=(W3,1,0), 设平面AA1C的法向量为m=(x,y,z),则 Ad·m=0,即叶5x=0可取m=(1,一5,1D,… …13分 AC.m=0,W3x+y=0, 设二面角C-AA1-B的平面角为B,则cos=|os(m,m)=后-号， 1=⑤ 故二面角C-AA,一B的平面角的余弦值为5 …15分 18.【解析】(1)m=(2sin0,sin0-cos),n=(cos6,-2-m),f()=m·n, 则f(0)=2 sin dcos0-(2+m)(sin0-cos6),… …2分 令t=sin0-cos0,则t长[-√2，W2],2sin0cos0=-2十l,…3分 当m=2时，f()=g(t)=一严-4t+1在[-√2N2]上是减函数， 所以当t=√时，9(t)有最小值，最小值为一1一4W2。… …6分 ∴.当m=2时，g(m)的值为-1一4V2. (2)由(1)知f0)=9)=一-(2十m)+1,[一巨W2],其对称抽为=-1-受， 当=-1-受>0即m≤-2时，g(m）=g(一2)=-1十2厄十2m,…8分 当=-1-受<0即m>-2时，g(m）=g62)=-1-22-2m,…9分 [-1+2W2+√2m,m≤-2， 综上所述：g(m)= ……10分 -1-2/2-√2m,m>-2. 高二数学参考答案(Q)一4 （3)恨设存在持合条件的实鼓m,根据惠意得n0—cos0十2m十3>f代0)， 令t=sin0-cos0,0e(至，，则te(02], ……12分 所以4+2+3>-t-(2+m+1,E(0,],所以m>-(+）,” …15分 因为=-(+2)在02]上单调适增，所以[-(+2)】门=-2厄。 所以实数的取值范图为m>一2亿。…17分 19.【解析I(1)a=1时，有f)=士且定义战为（一0,0）U(0,十oo), Γ2一1 -共器-a, 综上有：f(x)的定义域关于原点对称且f(一x=一f(x),即f(x)为奇函数。…3分 （②)周为fa)-去，所以8a)=会答×结签--2+2+2 1一2 2 设u=24十2“，因为x∈R且x≠0,2十2x>2√2X2=2,所以>2.…5分 因为g(2x)=22x+22x+2=(2+2)2=t, 所以不等式可化为≥一16，即叶9在>2时恒成立，…7分 由塞本不等式得叶>2√X雪-8，当且仅当一4时等号成主， 所以实数t的取值范围是（一00,8].…。 9分 （③)由ma知：是>安，[系，会]a∈知会←会，所以0， :a≠0，所以a>0或a<0, ∴当a<0时，易知f(x)在R上单调递增，结合题意有， m=, (2m+4=飞 2-a2m, 得 m=，a, 2"十a=飞 甲m,州是法县一会的两个不同的实根， …11分 ∴.令t=2>0,则+(a-)t十ak=0(a,k<0)在>0上有两个不同实根， -分>0， 故(a-6-4和>0，可得0<2名<3-2E,…13分 ak>0, 当6>0时，fe=1+22。在（一o,l6ga,0ge,十o∞）上新适减， 若[m,n]≤(oga,十∞)，有f>l,则岛>1与k<0矛盾，舍去；…14分 若[m,n]三(-∞，loga),有f(x)<1,即有 m=会 (2m+a_ 2m-a2m’ 2"(2m+a)=(2m-a), 即 所以 两式相减得 f(=2m 2m十a=k (2m(2m+a)=(2m-a), (2m-a2m (a十)(20-2)=0，又2-20>0，即有a十=0，则点=-1，…16分 综上有色∈(-1U(0,3-22). …17分 高二数学参考答案(Q)一5