专项提升训练：用字母表示公式、规律（专项训练）-2026-2027学年数学五年级上册西南大学版

**基本信息** 聚焦用字母表示规律与公式，通过图形规律推导、公式应用及实际问题，系统培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形规律推导|填空1/3/5、选择9-13|观察-归纳-验证（如4n+1、2n+1）|从具体图形数量变化抽象代数表达式| |公式表示与应用|填空2、判断14-18|公式直接表示（如乘法分配律、面积公式）|概念生成→符号表达→应用验证| |实际问题解决|解答20-24|实际问题建模（如剩余面积、桌子拼摆）|表达式推导→代入计算→综合应用|

专项提升训练：用字母表示公式、规律 一、填空题 1．如图所示，将完全一样的正方体木块摆放在桌面上。摆放1个正方体木块，有5个面露在外面；摆放2个正方体木块，有9个面露在外面；摆放3个正方体木块，有( )个面露在外面……照这样的规律，摆放n个正方体木块，有( )个面露在外面。 2．用字母表示乘法分配律( )，如果正方形的边长是米，那么面积是( )平方米。 3．用小棒摆三角形，如图所示。 (1)像这样摆下去，摆n个三角形需要( )根小棒。 (2)摆30个三角形需要( )根小棒。 4．用火柴按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要( )根火柴棒（用含n的代数式表示）。 5．探究规律。 (1)照此规律，从左往右第n个图案中所贴剪纸“●”的个数是( )；当剪纸“●”的个数是101时是第( )个图案。 (2)如果用另一种数学眼光来看这个图形，第2026个图案中共有( )个正方形。 6．用小棒按照下图方式摆八边形。摆10个八边形需要( )根小棒。 7．小棒按下图方式摆图形（第1个图形用6根小棒摆成）。第7个图形需要( )根小棒，第n个图形需要( )根小棒。 8．如图，第1个图形中小黑点的个数为5，第2个图形中小黑点的个数为9，第3个图形中小黑点的个数为13，……，按照这样的规律，第个图形中小黑点的个数是( )。（用含的式子表示） 二、选择题 9．如图中，照这样接着画下去，第6个图形中有（    ）个白色的小正方形。 A．6 B．12 C．14 D．18 10．如图：1个杯子的高度是10cm，2个杯子叠起来的高度是13cm，3个杯子叠起来的高度是16cm，照这样计算，n个杯子叠起来的高度是（    ）cm。 A．4n－2 B．3n＋7 C．7n＋3 D．3n＋5 11．观察下图，用小木棒搭若干个平行四边形，按照这样的规律，第（    ）个图形中有100根小木棒。 A．25 B．30 C．32 D．33 12．观察下图，用小木棒搭若干个梯形，按照这样的规律，第⑥个图形中有（    ）根小木棒。 A．30 B．24 C．25 D．26 13．如图，用小棒摆五边形，按照这样的方法继续摆下去，摆第5幅图需要（    ）根小棒。 A．20 B．21 C．23 D．25 三、判断题 14．25×a＋25×b＝（a＋b）×25。( ) 15．一个长方形的周长是c厘米，长是a厘米，宽是（c÷2－a）厘米。( ) 16．表示的是3个相加。( ) 17．10a＋50＝10（a＋5）。( ) 18．长方形周长是20，若长为a，那么它的宽可以表示为。( ) 四、计算题 19．能简便的请简便计算。 （1）9.6－3.21＋1.4－6.79                （2） （3）        （4） 五、解答题 20．小可有一张长、宽的长方形纸（），从中剪下一个最大的正方形用于折星星。 (1)在图中画出剪裁的操作，剩余部分的面积可表示为：［（    ）×（    ）］或［（    ）－（    ）］。 (2)当，时，剩余部分的面积是( )。 (3)若剪下的正方形周长是32cm，且剩余部分也是一个正方形，则a和b存在什么关系？此时a和b分别是多少？ 21．手工社团要进行制作活动，为了便于协作，大家将桌子按如图所示拼在一起。 (1)2张桌子拼在一起可坐多少人？4张桌子呢？n张桌子呢？（n为非0自然数） (2)有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 22．如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 23．丽丽用小棒拼图形。照这样拼下去，第7个图形需要多少根小棒？ 24．伐木工人按下图的方式堆放木料，请照样子画出第五次堆放木料图，尝试计算出第十次可以堆放多少根木料。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专项提升训练：用字母表示公式、规律-2026-2027学年数学五年级上册（西南大学版-新教材）》参考答案 题号 9 10 11 12 13 答案 D B D C B 1． 13 4n＋1/1＋4n 【分析】观察图形可知，摆放1个、2个正方体木块，分别有5个、9个面露在外面，发现：每增加一个正方体木块，露在外面的面就增加4个，据此发现规律，并按规律解答。 【详解】观察图形发现： 摆放1个正方体木块，有5个面露在外面，5＝4×1＋1； 摆放2个正方体木块，有9个面露在外面，9＝4×2＋1； 摆放3个正方体木块，有13个面露在外面，13＝4×3＋1； …… 规律：摆放n个正方体木块，有（4n＋1）个面露在外面。 2． （a＋b）c＝ac＋bc a2 【分析】乘法分配律：两个数的和乘一个数，可以把它们分别乘这个数，再相加。用字母表示： （a＋b）×c＝ ac＋bc。正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长。边长是a米，面积就是a×a，a×a简写为a2。 【详解】乘法分配律：（a＋b）×c＝ ac＋bc 正方形面积：a×a＝ a2 3．(1)2n＋1 (2)61 【分析】（1）由图可知，每增加一个三角形，小棒的根数增加2根。 摆1个三角形需要1＋2×1＝1＋2＝3根小棒； 摆2个三角形需要1＋2×2＝1＋4＝5根小棒； 摆3个三角形需要1＋2×3＝1＋6＝7根小棒； …… 摆n个三角形需要1＋2×n＝2n＋1根小棒。 （2）把n＝30代入2n＋1计算即可。 【详解】（1）根据分析，摆n个三角形需要2n＋1根小棒。 （2）2×30＋1 ＝60＋1 ＝61（根） 4． 【分析】由图可知：图形标号（1）的火柴棒根数为6； 图形标号（2）的火柴棒根数为11； 图形标号（3）的火柴棒根数为16； 由该搭建方式可得出规律：图形标号每增加1，火柴棒的个数增加5， 所以可以得出规律：搭第4个图形需要火柴根数为21，搭第n个图形需要火柴根数为：。 【详解】由分析可知，第n个图形需要根火柴棒。 5．(1) / 33 (2)6080 【分析】（1）通过观察可得，第一幅图有5个●，第二幅图有8个●，第三幅图有11个●；对比三个图可以发现，相邻两幅图的差为3个，即第一幅图为：，第二幅图为：，第三幅图为：，由此可得第幅图为：； 求剪纸“●”的个数是101是第几个图案，代入可得，解方程即可； （2）通过观察可得，第一幅图有5个正方形，第二幅图有8个正方形，第三幅图有11个正方形；对比三个图可以发现，相邻两幅图的差为3个，即第一幅图为：，第二幅图为：，第三幅图为：，由此可得第幅图为：； 把，代入可得，可得正方形的个数。 【详解】（1）通过分析可知，第幅图为：； 即从左往右第n个图案中所贴剪纸“●”的个数是；当剪纸“●”的个数是101时是第33个图案； （2）当， 即第2026个图案中共有6080个正方形。 6． 【分析】根据图示，相邻的两个八边形共用根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒，摆个八边形需要根小棒。用乘加上算出摆个八边形需要的数量。 【详解】 （根） 摆10个八边形需要根小棒。 7． 【分析】观察可知，第一个图形需要根小棒； 第二个图形需要根小棒； 第三个图形需要根小棒； 第个图形则需要根小棒； 第个图形需要根小棒，据此得出答案。 【详解】 （根） 第7个图形需要根小棒，第n个图形需要（）根小棒。 8．/ 【分析】从题干所给的图形可知：相邻两个图形小黑点的数量的差值是4，依此推导出第m个图形中小黑点的个数与m的关系式。 【详解】第一个图形中小黑点的个数：1＋4（个） 第二个图形中小黑点的个数：1＋4×2（个） 第三个图形中小黑点的个数：1＋4×3（个） …… 第m个图形中小黑点的个数：1＋4×m＝（1＋4m）个。 所以第m个图形中小黑点的个数：（1＋4m）或（4m＋1）个。 9．D 【分析】观察图形可知，第1个图形有8个白色小正方形，可以写成：2×1＋6；第2个图形有10个白色小正方形，可以写成：2×2＋6；第3个图形有12个白色小正方形，可以写成：2×3＋6；第4个图形有14个白色小正方形，可以写成：2×4＋6…第n个图形有白色小正方形：（2n＋6）；当n＝6时，求出白色小正方形的个数即可。 【详解】由图形可知： 第1个图形有黑色小正方形1个， 白色小正方形： 2×1＋6 ＝2＋6 ＝8（个） 第2个图形有黑色小正方形2个， 白色小正方形： 2×2＋6 ＝4＋6 ＝10（个） 第3个图形有黑色小正方形3个， 白色小正方形： 2×3＋6 ＝6＋6 ＝12（个） 第4个图形有黑色小正方形4个， 白色小正方形： 2×4＋6 ＝8＋6 ＝14（个） …… 第n个图形有黑色小正方形n个，白色小正方形：（2n＋6）个 当n＝6时，白色小正方形有： 2×6＋6 ＝12＋6 ＝18（个） 照这样接着画下去，第6个图形有18个白色小正方形。 10．B 【分析】我们先找叠放的规律： 1个杯子高10cm； 2个杯子叠起来比1个杯子多了：13－10＝3（cm）； 3个杯子叠起来比2个杯子又多了：16－13＝3（cm）；也就是说每多叠1个杯子，高度就增加3cm。 【详解】当有n个杯子时，比1个杯子多了（n－1）个叠放的增量 总高度就是：10＋3×（n－1）＝10＋3n－3＝3n＋7。 11．D 【分析】观察图形可知，每增加1个平行四边形，增加3根小木棒，图1需要1＋3根小木棒，图2需要1＋2×3根小木棒，图3需要1＋3×3根小木棒，……第n个图形需要1＋3n根小木棒。第几个图形中有100根小棒，就是1＋3n＝100，求解即可得出是第几个图形。 【详解】设第n个图形中有100根小木棒。 1＋3n＝100 3n＝100－1 3n＝99 n＝99÷3 n＝33 即第33个图形中有100根小木棒。 12．C 【分析】观察图形可知，每增加1个梯形，增加4根小木棒，第①个图形需要5根小木棒，第②个图形需要[5＋4×（2－1）]根小木棒，第③个图形需要[5＋4×（3－1）]根小木棒，……第⑥个图形需要[5＋4×（6－1）]根小木棒。 【详解】5＋4×（6－1） ＝5＋4×5 ＝5＋20 ＝25（根） 所以第⑥个图形中有25根小木棒。 13．B 【分析】第1幅图需要的小棒数为5根，即：；第2幅图需要的小棒数为9根，即：；第3幅图需要的小棒数为13根，即：；……第n幅图需要的小棒数为：；代入数据得出答案即可。 【详解】（根） 14．√ 【分析】乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。a×c＋b×c＝（a＋b）×c，据此解答即可。 【详解】25×a＋25×b ＝（a＋b）×25 运用了乘法分配律。原题说法正确。 故答案为：√ 15．√ 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，所以宽＝（周长－长×2）÷2或宽＝周长÷2－长，据此用字母表示计算即可。 【详解】由分析可知，一个长方形的周长是c厘米，长是a厘米，宽是（c÷2－a）厘米；原题干说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】x的立方表示x×x×x，即x3。而3个x相加表示为x＋x＋x＝3x，据此解答。 【详解】所以x的立方表示的是3个x相加这种说法是错误的。 故答案为：× 17．√ 【分析】先把10（a＋5）运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括号，再与10a＋50进行比较，得出结论。 【详解】10（a＋5）＝10×a＋10×5＝10a＋50 所以，10a＋50＝10（a＋5）。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．√ 【分析】长方形的周长是两条长和两条宽的总和，周长是20，则长＋宽是20÷2＝10，再减去长即可求得宽，据此判断。 【详解】20÷2＝10，长＋宽＝10，则宽＝10－a； 故答案为：√ 【点睛】本题考查了长方形的周长的含义，求得长＋宽的和是解题的关键。 19． （1）1；（2）2； （3）6.25；（4） 【分析】（1）观察算式，利用加法交换律和结合律，将能凑整的小数结合在一起计算，同时利用减法的性质进行简便计算。 （2）按照分数四则混合运算的顺序，先算小括号里面的减法，通分后计算，再算中括号里面的乘法，最后算括号外面的除法，除以一个数等于乘这个数的倒数。 （3）将分数和百分数化成小数0.625，利用乘法分配律的逆运算，提取公因数0.625； （4）带分数拆成整数部分和分数部分分别相加。整数部分是连续奇数求和；分数部分利用裂项相消法，进行简便计算。 【详解】（1）9.6－3.21＋1.4－6.79 ＝9.6＋1.4－3.21－6.79 ＝（9.6＋1.4）－（3.21＋6.79） ＝11－10 ＝1 （2） （3） （4） 20．(1) a－b；b；ab； (2)100 (3)；8cm；16cm 【分析】 （1）如图，长方形中最大正方形的边长等于长方形的宽；剩余部分是长为、宽为b的长方形，用长方形的面积＝长×宽写出剩余面积，也可以用原长方形面积减去剪下的正方形面积表示。 （2）已知a和b的具体数值，那么代入（1）中得到的剩余面积表达式计算即可。 （3）根据正方形的边长=周长÷4求出剪下的正方形的边长，也就是b的值；剩余部分是正方形，说明剩余部分的长和宽相等，剩余部分的一条边是原来的宽b，另一条边是，因此，由此得到a和b的关系式，然后代入b的值就可以计算出a。 【详解】（1）画图略 剩余部分的面积可表示为：cm²或cm² （2） 剩余部分面积是。 （3） 答：a是b的2倍，a为16cm，b为8cm。 21．(1)8人；12人；人 (2)112人 【分析】（1）先通过观察图示的不同桌数对应的可坐人数，归纳得到人数随桌子数量变化的通用规律，得到人数和桌子数的关系式。 （2）因为每5张小桌拼1张大桌，所以先算1张大桌子的可坐人数，再算8张大桌的总人数，即可求出可坐的人数。 【详解】（1）1张桌子：可坐（人） 2张桌子：可坐（人） 4张桌子：可坐（人） 规律：每多拼1张桌子，多坐2人，左右两侧始终一共坐4人。 n张桌子：可坐人 答：2张桌子拼在一起可坐8人，4张桌子拼在一起可坐12人，n张桌子拼在一起可坐人。 （2）（人） （人） 答：则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐112人。 22．42 【分析】从第二个开始，将每一个图形的周长都补成一个长方形，如图： 第一个图形的周长：（2＋1）×2； 第二个图形的周长：（4＋2）×2； 第三个图形的周长：（6＋3）×2，以这样的规律继续往后写到第七个是（14＋7）×2。 【详解】根据分析，第七个图形的周长是 （14＋7）×2 ＝21×2 ＝42 答：第七个图形的周长是42。 23．36根 【分析】观察图形可知，第一个图形需要6根小棒，即1×5＋1，第二个图形需要11根小棒，即2×5＋1，第三个图形需要16根小棒，即3×5＋1，则第7个图形需要（7×5＋1）根小棒。据此解答即可。 【详解】7×5＋1 ＝35＋1 ＝36（根） 答：第7个图形需要36根小棒。 24．；55根 【分析】由图可知，第一次堆放1根；第二次堆放3根，可以看作1＋2；第三次堆放6根，可以看作1＋2＋3，第四次堆放10根，可以看作1＋2＋3＋4，由此推出第五次堆放的木料从上至下，每层的木料根数依次为1根、2根、3根、4根、5根，共15根，可以看作1＋2＋3＋4＋5……第n次堆放的木料总根数是从1开始的连续n个自然数的和，也就是1＋2＋3＋…＋n。结合这一规律，可进一步推导得出第n次堆放木料总根数的公式为：n×（n＋1）÷2，进而求出第十次堆放木料的根数。 【详解】图略。 10×（10＋1）÷2 ＝10×11÷2 ＝110÷2 ＝55（根） 答：第十次可以堆放55根木料。 【点睛】堆放木料的计数问题，核心是第n次堆放量＝从1到n的连续自然数求和，对应的求和公式是n×（n＋1）÷2。 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $