6.1.2利用概率解决实际问题-课件-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用概率解决实际问题”，基于树状图、列表法等旧知，重点讲解游戏公平性判断、方案设计等应用，通过核心知识点回顾搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合“石头剪刀布”游戏、抽奖方案等生活情境及跨学科实例，以数学眼光观察现实，通过列表、树状图培养推理思维，用数据模型强化数学语言表达。丰富例题与解析助学生理解，也为教师提供实用教学资源。

北师大版（新教材）数学九年级上册 第六章 概率的进一步认识 6.1.2利用概率解决实际问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/6 北师大版九年级上册数学6.1.2利用概率解决实际问题专项练习 核心知识点回顾：本节在树状图、列表法求概率的基础上，重点学习利用概率知识解决生活中的实际问题，常见场景包括抽奖、游戏公平性、随机抽取、方案选择等。解题核心方法不变，依旧通过列表法或树状图列举所有等可能结果，结合概率公式计算事件概率。核心应用考点：判断游戏是否公平，只需比较双方获胜概率，概率相等则游戏公平，概率不等则游戏不公平；可通过修改规则、调整得分等方式设计公平游戏。概率是刻画随机事件发生可能性大小的量化工具，所有实际问题必须满足结果有限、等可能的前提条件。 一、选择题（每题5分，共20分） 1. 判断随机游戏是否公平的核心依据是（） A. 游戏规则简单程度 B. 双方获胜概率是否相等 C. 游戏参与人数 D. 游戏结果数量 2. 抽奖箱中有3个红球、2个白球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是（） A. $$\dfrac{1}{5}$$ B. $$\dfrac{2}{5}$$ C. $$\dfrac{3}{5}$$ D. $$\dfrac{4}{5}$$ 3. 甲乙两人做游戏，甲获胜概率为0.6，乙获胜概率为0.4，则该游戏（） A. 公平 B. 对甲有利 C. 对乙有利 D. 无法判断 4. 解决生活中两步随机实际问题，最稳妥的解题方法是（） A. 主观判断 B. 列表或画树状图 C. 粗略估算 D. 随机推测 二、填空题（每题6分，共24分） 5. 双方获胜概率________时，随机游戏是公平的。 6. 从标有1、2、3、4的四张卡片中随机抽取一张，抽到偶数的概率为________。 7. 概率可以量化随机事件发生的________大小。 8. 解决多步概率实际问题，优先选用________列举所有等可能结果。 三、解答题（共56分） 9.（18分）甲乙两人抛掷一枚均匀骰子做游戏，若点数为奇数甲胜，点数为偶数乙胜，判断该游戏是否公平，并说明理由。 10.（18分）一个不透明袋子中有2个黑球、1个白球，有放回地连续摸两次，求两次都摸到黑球的概率。 11.（20分）现有A、B两个抽奖方案，方案A：抽一张卡片，抽到奇数获奖；方案B：先后抽两张卡片，数字和为偶数获奖。卡片为1、2、3，判断哪个方案获奖概率更大。 参考答案与详细解析 1. B 解析：游戏公平的唯一判定标准是参与各方的获胜概率完全相等，与其他因素无关。 2. C 解析：总共有5种等可能结果，红球有3个，故抽到红球概率为$$\dfrac{3}{5}$$。 3. B 解析：甲的获胜概率大于乙，游戏规则偏向甲，对甲更有利。 4. B 解析：列表法和树状图可完整列举结果，无重复遗漏，是解决概率实际问题的标准方法。 5. 相等 6. $$\dfrac{1}{2}$$ 解析：偶数为2、4共2个，概率$$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$$。 7. 可能性 8. 树状图 9. 解：公平。骰子点数1、2、3、4、5、6共6种等可能结果，奇数、偶数各3种。$$P(甲胜)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$，$$P(乙胜)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$$，双方概率相等，游戏公平。 10. 解：画树状图得所有9种等可能结果，两次都是黑球的结果有4种。因此$$P(两次黑球)=\dfrac{4}{9}$$。 11. 解：方案A：3张卡片中奇数有2张，获奖概率$$\dfrac{2}{3}$$；方案B：所有9种结果中，和为偶数有5种，获奖概率$$\dfrac{5}{9}$$。$$\dfrac{2}{3}>\dfrac{5}{9}$$，故方案A获奖概率更大。 （字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 通过试验估计和理论计算，小明、小刚和小凡发现前面的游戏并不公平， 所以他们决定改做“石头、剪刀、布”的游戏(如图)。 游戏规则如下： 由小明和小凡玩“石头、剪刀、布”游戏，如果两人的手势相同，那么小刚为游戏的获胜者；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小凡中的获胜者为游戏的获胜者。 知识点 游戏的公平性 假设小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，那么你认为这个游戏公 平吗?你是怎么做的? 因为小明和小凡每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用表格列出所有可能的结果：   小明 小凡 石头 剪刀 布 石头 (石头，石头) (石头，剪刀) (石头，布) 剪刀 (剪刀，石头) (剪刀，剪刀) (剪刀，布) 布 (布，石头) (布，剪刀) (布，布) 知识点 游戏的公平性 可以利用树状图列出所有可能的结果： 知识点 游戏的公平性 由表格和树状图可知，共有9种等可能的结果。 其中，两人手势相同的结果有3种：(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)， 所以小刚获胜的概率为=。 小明胜小凡的结果有3种：(石头，剪刀)、(剪刀，布)、(布，石头)， 所以小明获胜的概率为=。 小凡胜小明的结果也有3种：(剪刀，石头)(布，剪刀)(石头，布)， 所以小凡获胜的概率为=。 因此，这个游戏是公平的。 知识点 游戏的公平性 知识点 利用概率解决实际问题 1.小颖、小明两人做游戏，掷两枚硬币，双方约定：两枚均正面朝上小 颖胜，朝上面一正一反小明胜，否则两人平局，则这个游戏( ) C A.公平 B.对小颖有利 C.对小明有利 D.无法确定对谁有利 返回 举一反三 6 2. 中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成 部分，形式多样、内容丰富。传统节日的形成，是一个民族或国家的历 史文化长期积淀凝聚的过程，被人民誉为“民俗荟萃”。小文购买了“传 统节日”主题邮票，他要将“清明”“端午”“中秋”“春节”四张邮票中的两 张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相 同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则 小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 7 3.[浙江中考] 现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有数字 1,4,5的卡片在甲手中，标有数字2,3,6的卡片在乙手中。两人各随机出一 张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是__。 返回 举一反三 8 知识点 游戏的公平性 游戏公平性的判断：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方获胜的概率是否相等。 把不公平的游戏变公平的方法： (1)若游戏中不涉及得分情况，则可改变游戏规则，使双方获胜的概率相等； (2)若游戏中涉及得分情况，先计算出概率，再根据游戏规则改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等。 小凡利用三张卡片设计了一个抽奖游戏：三张卡片形状和大小相同， 上面分别画有图书、文具和球拍的图案。将每张卡片从中间剪开成形状、大小相同的上下两部分，把三张卡片的上半部分都放在第一个盒子中，下半部分都放在第二个盒子中，并分别混合均匀。抽奖者从每个盒子中各随机地抽出一片，如果抽出的两片恰好能拼成原来的图案，那么就得到对应图案的奖品。小明参加了这个游戏，求： (1)小明得到图书的概率； (2)小明得到奖品的概率。 例1 知识点 游戏的公平性 解：为了方便，我们将图案为图书、文具和球拍的三张卡片的上半部分依次记为A，B，C，下半部分依次记为a，b，c。可以用树状图列出所有可能的结果： 第一个盒子 A B C 第二个盒子 a b c a b c a b c 所有可 能出现 (A，a) (A，b) (A，c) (B，a) (B，b) (B，c) (C，a) (C，b) (C，c) 的结果 总共有9种可能的结果。由于每片都是被随机抽出，所以每种结果出现的 可能性相同。 知识点 游戏的公平性 第一个盒子 A B C 第二个盒子 a b c a b c a b c 所有可 能出现 (A，a) (A，b) (A，c) (B，a) (B，b) (B，c) (C，a) (C，b) (C，c) 的结果 (1)抽出的两片恰好能拼成图书图案的结果只有(A，a)1种， 所以小明得到图书的概率是； (2)抽出的两片恰好能拼成原来图案的结果有(A，a)(B，b)(C，c)3种， 所以小明得到奖品的概率是=。 知识点 游戏的公平性 哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小相等、颜色相同、质地均匀的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥先从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的卡片上的两个数字之和。若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜。该游戏公平吗?请说明理由。 例2 知识点 游戏的公平性 解：不公平。理由如下： 根据题意，画树状图如图所示。 由图可知，共有9种等可能的结果， 其中，和为偶数的结果有5种， 和为奇数的结果有4种， 所以哥哥胜的概率是，弟弟胜的概率是。 因为>，所以该游戏不公平。 知识点 游戏的公平性 哥哥 弟弟 和 4. [教材P167随堂练习T1变式] 人类性别由一对染色体决 定，称为性染色体。女性的性染色体是一对同型的染色体，用 表示， 男性的性染色体是一对异型的染色体，用 表示，每个人的成对染色体 只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男 孩的概率是__。 返回 举一反三 15 5.当当和叮叮玩纸牌游戏：如图是同一副扑克牌中的4张黑桃牌的正面， 将这4张牌正面朝下洗匀后放在桌上，当当先从中抽出一张，叮叮从剩 余的3张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获 胜。该游戏是否公平？请用画树状图或列表的方法说明理由。 举一反三 16 解：公平。理由如下： 画树状图如图。 共有12种等可能的结果，其中当当抽出的牌面上的数字大的结果有6种， 叮叮抽出的牌面上的数字大的结果有6种， 所以当当获胜的概率叮叮获胜的概率 ， 所以该游戏公平。 返回 举一反三 17 6.［教材 例1变式］[常州中考] 在5张相同的小纸条上，分别写有： ；； ；④正数；⑤负数。将这5张小纸条做成5支签，①、 ②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子 中搅匀。 （1）从盒子 中任意抽出1支签，抽到0的概率是_ _； 举一反三 18 （2）先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子 中任意抽出1支签。求抽 到的数与文字描述相符合的概率。 解：画树状图，如图： 共6种情况，其中抽到的数与文字描述相符合的有2种， 抽到的数与文字描述相符合的概率为 。 返回 举一反三 19 7. 现有4种没有标签的无色溶液（蒸馏水、烧碱、稀盐 酸、纯碱），任取其中两种滴加无色酚酞溶液（提示：酚酞遇蒸馏水、 稀盐酸不变色，遇烧碱、纯碱变红色），颜色恰好都发生变化的概率是 __。 返回 举一反三 20 8.[安徽中考] 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为 和的物品后，天平倾斜（如图所示）。现从质量为 ， ，， 的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘 上，则天平恢复平衡的概率为__。 返回 举一反三 21 9.一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字， ，3，4的小球，它 们的形状、大小完全相同。小红先从口袋中随机摸出1个小球，记下数 字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出1个小球，记下数字为 。 （1）请用列表法或画树状图的方法，表示出由，确定的点 所 有可能的结果； 举一反三 22 解：列表如下。 3 4 3 4 举一反三 23 （2）若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点 在 第二象限或第四象限小颖获胜，则这个游戏是否公平？请说明理由。 解：这个游戏不公平。理由：从（1）中的表格可以看出，所有可能出 现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同， 其中点 在第一象限或第三象限的结果有4种， 在第二象限或第四象限的结果有8种， 小红获胜的概率，小颖获胜的概率 。 ， 这个游戏不公平。 返回 举一反三 24 解决公平性问题 用树状图或表格求概率 应用类型 课堂小结 谢谢观看 THANKS $