第六章 概率的进一步认识 章末总结 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了概率的进一步认识单元核心知识，包括用树状图或表格求概率及用频率估计概率两大知识点。通过知识点分类、步骤拆解（如树状图法四步流程）和应用场景归纳（如公平性判断、模拟试验），构建清晰的知识网络，体现概率计算与估计的内在逻辑。 其亮点在于结合数据观念与推理意识设计分层例题，如基础题摸球概率计算、综合题游戏公平性判断及拓展题模拟试验设计，满足不同学生需求。通过实例培养学生用数学语言表达现实问题的能力，有效巩固知识，助力教师精准开展复习教学。

第六章 概率的进一步认识 章末小结 九上数学北师 概率的进一步认识 概率的应用 理论计算 试验估计 数据观念 概率计算公式 用频率估计概率 概率的计算 画树状图法 列表法 单元知识梳理 知识点1 用树状图或表格求概率 1.用树状图或表格求概率： 可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些随机事件发生的概率。 注意：树状图或列表求概率时，要确保试验结果出现的等可能性和试验结果的有限性。 单元知识梳理 知识点1 用树状图或表格求概率   树状图 列表  适用条件 具体步骤   当一次试验涉及两个因素(两步试验)并且可能出现的结果数目较多时。 当一次试验涉及两个或更多个因素 (两步或多步试验)时。 确定试验有几个因素及其先后顺序 确定试验涉及的两个因素 其中一个因素作为横行， 另一个因素作为竖列， 列出表格； 利用概率公式P(A)=算概率。 分别求出该试验包含的所有等可能结果数n，和某事件A包含的结果数m 画出树状图：   开始   第一步 A1 A 2   第二步 B1 B2 B1 B2 1.定 2.列 (画) 3.求 4.算 单元知识梳理 知识点1 用树状图或表格求概率 2.应用： 解决有(或无)放回试验问题； 解决公平性问题； 根据概率设计配色游戏。 单元知识梳理 知识点1 用树状图或表格求概率 游戏公平性的判断：游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方获胜的概率是否相等。 把不公平的游戏变公平的方法： (1)若游戏中不涉及得分情况，则可改变游戏规则，使双方获胜的概率相等； (2)若游戏中涉及得分情况，先计算出概率，再根据游戏规则改变游戏得分，使双方平均每次游戏所得的分数相等。 单元知识梳理 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量 为20g和70g的物品后，天平倾斜(如图所 示)。现从质量为10g，20g，30g，40g的四件物品中， 随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 。 解析：由题意可知，20g+50g=70g，10g+40g=20g+30g=50g。 列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能使天平恢复平衡的结果有4种， ∴天平恢复平衡的概率为=。 例1 知识点1 用树状图或表格求概率  第一件 第二件 10 20 30 40 10   (10，20) (10，30) (10，40) 20 (20，10)   (20，30) (20，40) 30 (30，10) (30，20)   (30，40) 40 (40，10) (40，20) (40，30)   单元知识梳理 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球。 两次都摸到黄球的概率是( ) A. B. C. D. 例2 A 知识点1 用树状图或表格求概率 单元知识梳理 小莉的爸爸买了一张动物园的门票，她和哥哥两人都很想去，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，他拿了八张除数字外其他完全一样的扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥先从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌上的数字相加，若和为偶数，则小莉去，若和为奇数，则哥哥去。 (1)求小莉去动物园的概率。 例3 知识点1 用树状图或表格求概率 单元知识梳理 解：根据题意，列表如下： (1)总共有16种等可能的结果，其中，抽出的两张扑克牌上的数字的和为偶数的结果 有6种，所以小莉去动物园的概率为=。 知识点1 用树状图或表格求概率 小莉 哥哥 4 6 7 8 1 (1，4) (1，6) (1，7) (1，8) 2 (2，4) (2，6) (2，7) (2，8) 3 (3，4) (3，6) (3，7) (3，8) 5 (5，4) (5，6) (5，7) (5，8) 单元知识梳理 (2)哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平，请说明理由；若不公平，请说明理由并设计一个公平的游戏规则。 (2)不公平。 理由：由表格知，抽出的两张扑克牌上的数字的和为奇数的结果有10种， 所以哥哥去动物园的概率为， 结合(1)可知，游戏规则不公平，对哥哥有利。 可将游戏规则改为：若和小于9，则小莉去动物园；若和大于9，则哥哥去动物园；若和等于9，则游戏重来。（答案不唯一） 知识点1 用树状图或表格求概率 单元知识梳理 下图是两个可以自由转动的转盘，转盘A被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3这三个数字；转盘B被分成了一个圆心角是240°，另一个圆心角是120°的两个扇形，并分别标上6，7这两个数字。若同时转动两个转盘各一次(若指针落在分界线上，则重转)，则转盘停止后，两指针指向的数字之和为偶数的概率是( ) A. B. C. D. 例4 C 知识点1 用树状图或表格求概率 单元知识梳理 知识点2 用频率估计概率 1.用随机事件的频率估计概率： 一般地，大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)=p。 适用条件：当试验的结果有无数个，或者各种可能出现的结果发生的可能性不相同时，我们一般通过频率来估计概率，即在相同的条件下，用大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率。 单元知识梳理 知识点2 用频率估计概率 频率与概率的区别和联系：   频率 概率 区 别 ①试验值或使用时的统计值； ②与试验次数的变化有关； ③与试验人、试验时间、试验地点有关。 ①理论值； ②与试验次数的变化无关； ③与试验人、试验时间、试验地点无关。 联 系 大量重复试验中，频率稳定于概率。 单元知识梳理 知识点2 用频率估计概率 2.模拟试验：在用试验法估计某些事件发生的概率时，往往受试验条件的限制，使试验具有一定的难度或所得的结果误差较大，或者试验次数太多，或者试验具有一定的破坏性，导致完成起来比较困难。这时，我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率。 单元知识梳理 知识点2 用频率估计概率 模拟试验的两种方法： (1)利用替代物模拟实际事物进行试验。 (2)利用计算器产生的随机数进行模拟试验。 步骤：进入产生随机数的状态→输入所产生的随机数的范围→按键得出随机数。 单元知识梳理 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是( ) A.8 B.10 C.16 D.20 例5 C 知识点2 用频率估计概率 单元知识梳理 某商场设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示， 并规定：顾客购物满50元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止转动时，指针指向哪一区域就可以获得相应的奖品(若指针指向分界线，则重新转动转盘)。下表是活动进行中的一组统计数据： (1)计算并完成上表(结果精确到0.01)。 例6 知识点2 用频率估计概率 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000 指向铅笔区域的次数m 68 111 136 345 564 701 指向铅笔区域的频率             0.68 0.74 0.68 0.69 0.71 0.70 单元知识梳理 (2)请估计，当n很大时，指针指向铅笔区域的频率将会接近多少(结果精确到0.1) ? (3)假如你去转动该转盘一次，估计你获得铅笔的概率是多少? (4)在该转盘中，标有铅笔的扇形的圆心角的度数约是多少(结果精确到1°)? 解：(2)由(1)知，当n很大时，指针指向铅笔区域的频率将会接近0.7。 (3)用频率估计概率可知，获得铅笔的概率约是0.7。 (4)标有铅笔的扇形的圆心角的度数约是0.7×360°=252°。 知识点2 用频率估计概率 单元知识梳理 假设某省共6个地区，这6个地区均购买了该省发行的某彩票第188期，本期彩票售完时，统计发现这6个地区购买彩票的人数相等，且该省本期彩票共设立4名一等奖，请设计一个方案，估计4名一等奖中奖彩民中有2名或2名以上来自同一地区的概率。 解：将一个质地均匀的正方体的各面上分别标上1~6这6个数字，分别代表该省6个地区。 抛掷该正方体，记下朝上的数字，再抛掷，再记录，连续抛掷4次作为一次试验，记录是否有同一数字出现2次或2次以上。 重复多次这样的试验，利用试验频率估计概率。 例7 知识点2 用频率估计概率 单元知识梳理 $