浙江省绍兴市新昌中学2026-2027学年第一学期高三数学周考1试题

新昌中学2026学年第一学期高三数学周考1试题 姓名 班级 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 1.(2-4i)·i的虚部为 A.2 B.2i C.-2 D.-2i 2.已知双曲线后-兰=1a>0)的渐近线的方程为y=土号x,则a的值为() A.2 B.3 C.4 D.9 3.已知M川表示集合M中的元素个数，若A=5,AnB=3,IAUB引=6，则IB=（ A.5 B.6 C.3 D.4 4.已知向量e,e2不共线，且(xe+e2)/(e-2e2),则x=() A.-2 B.- c. D.2 5.已知{a}是无穷等比数列，则“a2<a4<a5”是“[an是递增数列的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.张、王、李、赵、吴共五名教师，利用周末时间去包括“半山崖线”在内的四条徒步路线进行考 察.要求每条路线至少去一名教师，每名教师只能去一条路线，那么张老师恰好被安排去“半山崖 线”考察的不同安排方法数为（). A.60 B.64 C.72 D.96 7.已知三棱锥A-BCD中，AB=AD=AC=2V2,BD=BC=2,DC=2V5,则它的体积为（) A.2W3 B.3 C.23 3 D.9 8.已知函数f)=4cos(侣-wx)·cos(ox-习-1(u>0)在区间[号羽上单调递增，且在区间 [0,π]上只取得一次最大值2，则ω的取值范围是（) A.[o,引 B.6周 c.(o, D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分) 试卷第1页（共4页) 9.已知(3x-1)的二项展开式共有6项，则下列说法中正确的有( A.n=5 B.含x2项的系数为90 C.第3项的二项式系数为10 D.常数项为1 10.已知正数x,y满足x+y=1,则下列选项正确的是() A.+号的最小值是4 B.xy的最小值是1 C.x2+y2的最小值是1 D.xy+)的最大值是品 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足B2=B元+BB,且0≤1≤1,0≤H≤1， 则下列说法正确的是( D A.若2+4=1，则AP/平面A1C1D B.若2+u=1,则AP⊥BC1 C.若2=μ=2则P到平面A1BD的距离为 D.若2=1,0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为0，则sin0∈[停，9 三、填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,4),若P(X1≤1)=0.3413，则P(1≤X≤3)= 13.等差数列[a3的前n项和为S,a=3,S4=10,则数列{}的前20项和为 14.已知函数f(x)=e-3x+3a有零点，则a的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是棱AB,AC,A1B1,A1C1的中点，求证： (1)A1E/平面BCHG; A (2)平面EFA1//平面BCHG. B 试卷第2页（共4页) 16.在△ABC中，bsinA-acos号=0. (I)求LB的大小： (2)若a=3,c=2,∠B的平分线交AC于D,求BD的长. 17.已知数列{aJ与log2bn]都是等差数列，其前n项和分别为Sn与Tn,且a2十a4十a6=24,as+ Ss=40,b1=an,T3=a3. (I)求数列[an}与bn的通项公式； 2求数列2}的前n项和： 试卷第3页（共4页） 18.某市举办青少年科技创新知识竞赛，共设三个环节，依次为“基础理论“实验操作”和“综合应用”. 已知某选手通过三个环节的概率分别为，号，2且各环节之间相互独立每个环节通过得10分，未通 过得0分，已知该选手三个环节全部绘加记X为该选手的总得分. ()求该选手恰好通过两个环节的概率： (②)求随机变量X的分布列： (3)学校规定：总分达到20分及以上可获一等奖学金500元，总分10分可获二等奖学金200元，总 分0分不获奖学金.记该学生获得的奖学金金额为Y元求Y的数学期望E), 19.抛物线y2=2px(p>0)被直线y=2x-3所截得的弦P2的中点M的纵坐标为1. (I)求p的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点F作两条互相垂直的直线L1,L2,直线礼1与抛物线相交于A,B两点，直线L2与抛物 线相交于C,D两点. (i)若AB|=12,求直线L1的方程： (i)求四边形ACBD的面积S的最小值. 试卷第4页（共4页） 周考1参考答案 1-5:ABDBB 6-8:ACB 9:AC 10:AD 11:AD 12.0.3413 13.碧 14.(-∞，-1+ln3] 5.B.首先证明必要性：若“[a是递增数列”，则根据递增数列的定义可知， 任意n∈N,均有an+1>an,故a2<a4<a5,必要性成立 充分性不成立，理由如下：数列a,若a=16,a=16:(-) 那么a2=-8,a4=一2，as=1,满足a2<a4<a5,但数列{an}是摆动数列，不是递增数列. 所以“a2<a4<a5”是“{an}是递增数列的必要不充分条件 6.第一类安排2人“半山崖线”考察，则有C4A=24种不同安排方法； 第二类安排1人“半山崖线”考察，则有CA3=36种不同安排方法， 故共有24+36=60种不同的安排方法 7.C【详解】过点A作A0⊥平面BCD,垂足为O, 因为AB=AC=AD,故OB=OC=OD,即0为△BCD的外心. 在△BCD中，由余弦定理得cOS∠CBD=BC2+BD2-cD==- 2-BC-BD 2x2×2 23 又zcBD∈(0，，故LcBD=则Sacn=三BC-BD·sin-CBD=×2×2x9=V3, 设△BCD的外接圆半径为R,由正弦定理得D nC8D=2R,所以R=2. 在Rt△A0B中，A0=VAB2-R=J(2V②2-22=2. 所以三棱锥A-BCD的体积为V=×SABCD×A0=×V3×2= 3 8.B【详解】由题意得f)=4cos（传-ux·cos(ox-习-1=4 tsinwx(停-c0swx+号sinox）-1 =2v3sin@xcoswx+2sin2wx-1=3sin2wx-cos2wx =2sin (2x-"), 由题意得f在区间，上单调递增， 由xe[别，则2ax-e【号w-g要w-引 6'2 结合w>0 可得-号仙-若之-受w-君5分解得0<ω≤萄 4 当x∈0闲时，2ux-三e言，2um-引，要使得该函数取得一次最大值2， 6 故只号≤2wm一晋<受解得w∈层，)：综上所述，ω的取值范围为引， 故B正确 10.AD由题知，x>0,y>0,x+y=1. 对于选项A,+号+6c+刃=++2≥2号+2=4， 当且仅当=手即x=y=时等号成立，所以+的最小值是4，故A正确： 2 对于B,y≤（使=③-号当且仅当x=y=时等号成立，所以y的最大值是号故B错误； 对于C,由x+y=1,得y=1-x>0,即0<x<1, 所以2+y2=2+1-2=2x2-2x+1=2(-}+号 所以当x=时，x2+y取得最小值是影，故C错误； 对于D,由C知，y=1-x,0<x<1, 所以x0+2=x(-x+月=-2+x=-(x-到+品 所以当x=时，x0+2)取得最大值是品故D正确. 11.AD【详解】连结AC,AB1,B1C,由入+4=1可知，点P在线段B1C上， 因为A1C1/AC,ACc平面ACB1,A1C1￠平面ACB1,所以A1C1/平面ACB1, 同理A1D/平面ACB1,且A1C1∩A1D=A1,且A1C1,A1DC平面A1C1D, 所以平面ACB1/平面A1C1D,APc平面ACB1,所以AP/平面A1C1D,故A正确； 如图以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0),B1(0,0,2),A(0,-2,0),A1(0,-2,2),C(-2,0,0),C1(-2,0,2),D(-2,-2,0),D1(-2,-2,2), 对于B,BC=(-2,0,0),BB1=(0,0,2), 则BF=BC+BB=(-21,0,20,得P(-210,20, 所以AF=(-21,2,20),BC=(-2,0,2),A.BC=41+4μ=4≠0， 故AP不与BC1垂直，故B错误； 对于C1=u=时，P(-1,0,1),又BA=(0,-2,2),BD=(-2,-2,0), 设平面41BD的法向量为元=：4,2，则所-元=-21+2a1=0】 (BD.i=-2x1-2y1=0 故可取元=(-1,1,1)，又B=(-1,0,1), 则P到平面A,BD的距离为-后- 3 ,故C错误； 对于D,当2=1,0≤≤1时，P(-2,0,2),则D丽=(0,2,2)， 又由C已得平面A1BD的法向量为元=(-1,1,1)， Dp. 则sin= cos <DP,> 2+2μ 1+μ2+24 231+= 3N1+2 当=0时，sin0=9,当0<u≤1时，sin0=写 +2+24=3 + 2μ_V3 1+ 2 31+μ2 因f6网=x+在0止单调递减。则取+之2，则有0<品≤1， 则<sin0≤气V2-,则当0≤k≤1时，≤sin0≤故D正确. 14.(-∞，-1+ln3]【详解】由f(x)=e*-3x+3a得f(x)=e-3. 令f(x)=0,即ex-3=0,得x=ln3. 当x<ln3时，f(x)<0;当x>ln3时，f()>0. 所以f(x)在区间(-o,ln3)上单调递减，在区间n3,+o)上单调递增. 所以f()mim=fn3)=eln3-3n3+3a=3-3ln3+3a. 又当x→-∞时，f()→+∞？当x→+o时，fx)→+∞ 因为函数f(x)=e*-3x+3a有零点，则f(x)min=3-3n3+3a≤0. 所以a≤-1+ln3. 16.(1)由bsinA--acos号=0和正弦定理，得sinB.sinA-sinA:cos号=0 因Ae0,,sinA≠0.可得sin8=cos号即2sin号cos号=cos号 因B∈(0，m,∈0，爱)，cos号≠0，则sin号=子故=g所以B= (2)因为B=亨因为BD为LABC的平分线，所以LCBD=LABD=君 由SABCD+SABAD=SAACB可得：2BC·BD·sin-CBD+2BA~BD·sinABD=BC·BA·sin-ABC, 即×3×BD×+×2×BD×=×3x2×号，解得BD= 5 17.作业本A11-T3) (1)已知数列|an|与Ilogzb.|都是等益数列，其前n 项和分别为S。与T。, 且a2+a4+a6=24,a5+S5=40,b1=a1,T3=a3, 设等差数列|a.|与Il0g2b.|的公差分别为d,、d山， 由凸+a+a,=24,可 r3(a1+3d)=24, 1a5+S5=40 a1+4d+5a+3登4=40， 解得d=2, la=2, 所以an=2n, 由b1=a1=2,T=a=6, Ep log2b +l0g202 +log b3 =3l0g2 b2 =6, 所以b2=4,则d2=log2b2-1og2b1=2-1=1,又1og2b1=1, 所以log2b。=n,则bn=2. （2)1)可得-'a-2n2少=(-1)×2. 2 所以R=+经-多+(-1)×品+(-1) 23-1, 则-P=分-是+是++(-1)×(-1)… 2 2n 两式相减得2+方-+…+(-1)”× (-1)×22 -安1(-w…受号()广 1-(-3) ×3n+2 所以载列-》”的首n项本R=号(-宁)八 ×6n+4 18.(1)设事件A表示“第个环节通过”(1=1,2,3)，则P(A1)=年P(A2)=,P(A3)=2且A1,A2, A3相互独立. “恰好通过两个环节”包含三种互斥情况： 通过第1,2个，未通过第3个：P1=P(A1)P(A2)P④g)=,,号=总 通过第1,3个未通过第2个：B=PK4P4P4)克图 通过第2,3个，未通过第1个：P3=PaP42)P4g)=· 50° 因此，恰好道过两个环节的总概率为P=P,十P+乃-会十号+品一需 (2)由题意易知，随机变量X的所有可能取值为0,10,20,30. ①当X=0时，三个环节均未通过：P0X=0)=P④P网P国)=号=云 ②当X=10时，恰好通过一个环节，分为三种情况： 仅通过第1个：概率为：口=号三云仅道过第2个：概率为：口=目昌品 仅通过第3个：概率为：p=×号×经云所以Px=10)=会+品+云=昌 ③当X=20时，恰好通过两个环节，由(1)可知P《=20)=0 ④当X=30时，三个环节全部通过：PK=30=P(A,)P42)PCA)=××生= 6 综上，随机变量X的分布列为： X 0 10 20 30 1 13 23 6 25 50 50 25 (3)由题意，奖学金Y与总分X的关系如下： 当X=30或x=20时（总分≥20），获得一等奖学金500元： 当x=10时，获得二等奖学金200元；当x=0时，获得0元. 因此，随机变量Y的取值为0,200,500， 对应概率为：P=0)=PK=0)=云PW=200)=P(K=10)=号 PY=50=pX=20)+P0=30=+--名 所以Y的分布列为： 0 200 500 1 13 7 p 25 50 10 B0m=0×号+200×号+500×名=0++350=52+350=402 50 故该学生获得奖学金金额的数学期望为402元， 19.【详解】(1)解法一：设抛物线y2=2px与直线y=2x-3交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立方程组P。2x-3 y2=2px，整理得y2-py-3p=0, 所以y1+y2=p,因为yM=业=1，所以p=2, 2 则抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=一1； 解法二：设抛物线y2=2px与直线y=2x-3交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为截得的弦的中点M的纵坐标为1，故x1+x2,y1+y2≠0， 则任-2，作差得-要01+y2=2p, y=2p 1一2x1一2 2p=2,因为y1+y2=2,所以p=2, 所以kpQ=01+2, 则抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1; (2)解法一：(i)依题意设直线AB的方程为x=my+1,m≠0，A(x3,y3),B(x4y4), 联立方程组社，整理2-y-4=0,放本》二， 所以AB|=lAF+IBF=x名+1+x4+1=my3+1+1+my4+1+1 =m0y3+y4)+4=4m2+4=12,解得m=±V2, 所以直线1的方程为x=土V2y+1, 即x+V2y-1=0或x-V2y-1=0: ()因为AB1CD,AB=42+4,同理可得1CD=奈+4， 所以5=Al-1cDl=m2+到-（侍+4）=8+m2+)≥82+2，m2司周=32， 当且仅当m2=品，即m=土1时，取等号， 所以四边形ABCD面积S的最小值为32. 解法二：(i)依题意设直线AB的方程为y=k(x-1),k≠0，A(3y3),B(x4,y4). 粒方程组0”，聚理-2E+g+0,放5十7克， 4 气x3x4=1 所以ABl=A+BF1=名+1+4+1=4+急=12，解得k=土号 所以直线h的方程为y=±号c-1), 即x+V2y-1=0或x-V2y-1=0; ()因为AB1CD,AB=4+毫，同理可得1CD=42+4, 所以5=4811GD1=42+4到（侍+4=8(2+2+）≥82+2,2周=32， 当且仅当k2=之，即k=士1时，取等号， 所以四边形ACBD面积S的最小值为32.