精品解析：浙江绍兴市上虞区2026届高三第一学期期末教学质量调测数学试题

2025学年第一学期高三期末教学质量调测 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某射击运动员的10枪成绩分别为，则这10枪成绩的第一四分位数是（ ） A. 9.0 B. 9.1 C. 9.2 D. 9.4 3. 已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10. 设函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 可能为奇函数 B. 既有极大值也有极小值 C. 若恒成立，则 D. 若是方程的两个不同实根，且，则 11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，且为中点，则 C. 不存在与，使得 D. 当时，则最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____. 14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形，是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证：平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 17. 在数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围. 18. 已知抛物线，焦点为.过点的直线交抛物线于两点，过抛物线上一点作切线，且. （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且（为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程. 19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 （1）求函数在上的值域； （2）已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期高三期末教学质量调测 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的含义即可求解. 【详解】 故选：C 2. 某射击运动员的10枪成绩分别为，则这10枪成绩的第一四分位数是（ ） A. 9.0 B. 9.1 C. 9.2 D. 9.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解. 【详解】将该运动员的成绩按照从小到大的顺序进行排序可得： 又，所以这10枪成绩的第一四分位数是9.1， 故选：B 3. 已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算，以及复数加法法则计算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到的值，代入后根据参数的取值范围即可得结果. 【详解】由得. 又，所以，所以，所以， 所以，所以. 由得，解得. 所以，根据对勾函数的性质知在上单调递减， 当时，；当时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 5. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质求出，再化简，即可得出答案. 【详解】在等差数列中，， 则. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时取以为底的对数，可判断，，根据函数在上单调递增，可得，故可得答案. 【详解】因为，， 则，， 则， 又函数是增函数，则， ， 因为，则函数在上单调递增， 又，则，即， 则. 故选：C. 7. 设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可得，求出，，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】设切线交轴于点， 由椭圆的光学性质可得， 则， 又， 则在中，， ， 由椭圆的定义得， 即，解得， 所以该椭圆的离心率是. 故选：A. 8. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图： 如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径. 故选A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 10. 设函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 可能为奇函数 B. 既有极大值也有极小值 C. 若恒成立，则 D. 若是方程的两个不同实根，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据判断；对于B求导判断函数的单调性即可；对于C由的正负性和单调性可得；对于D根据韦达定理以及计算. 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，且为中点，则 C. 不存在与，使得 D. 当时，则最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：运用已知公式直接判断即可； B：根据面面垂直的性质定理，结合勾股定理和逆定理进行运算判断即可. C：运用假设法，结合余弦函数的最值性质进行判断即可； D：根据锐角三角函数定义，结合余弦定理、基本不等式进行求解判断即可. 【详解】A：当时，由已知公式，得 ， 所以，所以本选项说法正确； B：当为中点，取的中点，连接， 因为在矩形中，， 所以， 由勾股定理可得，且 ，而， 所以， 所以，于是， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面，平面， 所以，于是有， 因为， 所以，所以本选项说法正确； C：假设存在与，使得， 因为在矩形中，， 所以， 由已知公式 ， 显然，所以假设成立，因此本选项说法不正确； D：在矩形中，设， 所以， 于是有， 因为， 所以由 ， 由余弦定理可得： ， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 所以有，当且仅当时取等号， 所以由 ，所以本选项说法正确. 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求解. 【详解】由题得，所以， 故答案为：. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，由题意可得，结合点在圆上可求解. 【详解】对于，，故切线斜率存在，于是，又， 解得或（舍去），于是，所以，所以. 故答案为：. 14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得小鼠逃生路线有六种情况：利用独立事件的概率公式求得每种情况的概率，再利用互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况： ； . 概率分别为 所以小老鼠逃生概率为 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出，进而求出，在中，根据正弦定理可求出；（2）由题意知，设，在中，由余弦定理可得到与x的关系，在和中，由余弦定理可求得x，进而可求得面积. 【小问1详解】 因为所以，所以. 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得，即，解得. 【小问2详解】 由知，， 由角平分线定理可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 在中，由余弦定理得，解得或， 当时，，，由得 ， 解得，与矛盾，所以. 所以，，所以的面积为. 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形，是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证：平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 【答案】（1）由题意可知，， 点的路径所在平面的展开图如图， 其中最短路径为， 得 ，则点为的中点， 因为，所以，得 ，则点为上靠近点的四等分点， 分别取线段的中点，连接 ， 易知平面，，故以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则，即， 又平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面展开图求出点的位置，再取线段的中点，以为原点建系，求出平面的法向量，根据即可求证； （2）利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，平面的法向量为， 则， 则平面和平面所成的二面角（锐角）的余弦值为， 故平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值为. 17. 在数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)已知数列的递推公式，用累加法求通项即可; (2)由(1)可得，则，化简得到对任意恒成立，分类分别求出当时的取值范围，再证明出时为递增数列，即，综合求出的取值范围. 【详解】解：(1)， ， ， …… ， 上式累加可得:， ， 又，∴; (2)由(1)可得， ∴， 因为为数列中的最小项， 所以， 即， 当时，得，∴; 当时，; 当时，得，∴， 令， 则， 当时，，， ∴， 又可验证当时，也成立， ∴当时，数列为递增数列， ∴，即. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法，答题时要仔细区分，且最后一定要注意检验; ②数列本质上是函数，因此具有一些函数的性质，解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法. 18. 已知抛物线，焦点为.过点的直线交抛物线于两点，过抛物线上一点作切线，且. （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且（为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程. 【答案】（1）20 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得直线的方程为，与抛物线联立后结合韦达定理与弦长公式即可求得弦的长； （2）当直线斜率存在时，设直线，交抛物线于，由抛物线的定义得，由题意可得，联立得，设，，因为与抛物线相切，将直线代入到抛物线后只有一个根，则可得，易得，点，因为，结合点到直线的距离公式可得，与即可解得的值，进而求得直线的方程，当直线斜率不存在时，易得不符合题意. 【小问1详解】 若，直线斜率为时，直线的方程为，交抛物线于， 联立得，则， 则. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时，设，交抛物线于， 易得，由抛物线的定义得， 易得，所以，因为，所以， 且，即，且满足，， 联立得， 设，， 联立得， 由题意得，整理得， 由两边同时乘以得， 联立得，即点处切线的斜率，即， 代入，则，即， 易得，则点到的距离， 则， 即，联立，解得， 故直线的方程为或， 当直线斜率不存在时，点与点重合，不符合题意，故舍， 综上，直线的方程为或. 19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 （1）求函数在上的值域； （2）已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）整数的最小值为1 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数可得函数的单调性，进而可求得值域； （2）（i）要证不等式成立，需证，令，需证，构造函数，利用导数证明即可； （ii）不等式等价于，令，可得，构造函数，利用导数，可得整数的最小值. 【小问1详解】 由，可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以，又， 所以函数在上的值域为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）不等式恒成立， 等价于，又， 所以等价于， 令，则等价于， 即， 即等价于， 所以等价于， 令，求导得 ， 又因为，所以，所以，所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 所以整数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $