浙江绍兴市上虞区2026届高三第一学期期末教学质量调测数学试题

2025学年第一学期高三期末教学质量调测 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某射击运动员的10枪成绩分别为，则这10枪成绩的第一四分位数是（ ） A. 9.0 B. 9.1 C. 9.2 D. 9.4 3. 已知复数（为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，则的值为（ ） A. 18 B. 15 C. 12 D. 9 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10. 设函数，其中.则下列说法正确的是（ ） A. 可能为奇函数 B. 既有极大值也有极小值 C. 若恒成立，则 D. 若是方程的两个不同实根，且，则 11. 类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，且为中点，则 C. 不存在与，使得 D. 当时，则最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数_____. 14. 如图所示的迷宫共有9个格子，相邻格子有门相通，9号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在4分钟后坍塌，若1号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜它通过各扇门的机会相等，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角是的角平分线，且. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形，是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证：平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 17. 在数列中，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围. 18. 已知抛物线，焦点为.过点的直线交抛物线于两点，过抛物线上一点作切线，且. （1）当，直线斜率为时，求弦的长； （2）当，且（为原点）的面积等于2时，求此时直线的方程. 19. 拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系.定理的表述如下：若函数在上连续，且其导函数为，那么在开区间内至少存在一点，使得.已知函数 （1）求函数在上的值域； （2）已知，求证： （i）； （ii）若对满足条件的，不等式恒成立，求整数的最小值. 2025学年第一学期高三期末教学质量调测 数学试卷 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）由题意可知，， 点的路径所在平面的展开图如图， 其中最短路径为， 得 ，则点为的中点， 因为，所以，得 ，则点为上靠近点的四等分点， 分别取线段的中点，连接 ， 易知平面，，故以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则，即， 又平面，所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）. 【18题答案】 【答案】（1）20 （2）或 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明：由，结合拉格朗日（Lagrange）中值定理可得， 要证，需证，又在上单调递增， 故只需证，又， 所以只需证，即证， 即证， 令，则， 不等式等价于， ， 只需证， 即证， 令， 求导得 令， 求导得 ， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 所以成立， 故. （ii）整数的最小值为1 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $