06函数的单调性和最值题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，按定义梳理、性质拓展、题型应用逻辑架构知识体系，通过知识梳理明确概念内涵，方法指导（定义法、复合法等）提炼解题策略，真题训练（五年高考题、分层练习）强化应用能力，助力学生突破单调性判断、参数范围求解等难点。 资料以分层训练和方法创新为特色，如单调性应用中通过“脱f符号”转化不等式培养数学思维（推理能力），设置即练即清、能力拔高分层练习，配合易错点提示与详细解析，确保高效突破考点。为教师提供系统复习框架，帮助学生提升应考能力，精准把控复习节奏。

函数的单调性和最值 一、知识梳理 1. 函数的单调性 增函数 减函数 定义 设函数 的定义域为 ,区间 ,当 时, 都有 ,那么就称函数 在区间 上单调递增 都有 ,那么就称函数 在区间 上单调递减 当函数 在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是增函数 当函数 在它的定义域上单调递减时, 我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间 函数 在区间 上单调递增或单调递减, 那么就说函数 在这一区间具有 (严格的) 单调性,区间 叫做 的单调区间 ① 注意 1.函数在某个区间上单调递增 (减) 和该函数为定义域上的增(减)函数的含义完全不同; 2. 有多个单调区间时，不能用符号 “ ” 连接，也不能用 “或”连接，只能用 “，”或 “和”连接. 2. 知识拓展 1. 单调函数的定义有以下两种等价形式: ,且 , (1) 在 上是增函数; 在 上是减函数. (2) 在 上是增函数; 在 上是减函数. 2. 在公共定义域内,函数 与 的单调性相反. 3. 函数的最值 前提 设函数 的定义域为 ,如果存在实数 满足 条件 对于任意的 ,都有 ; 存在 ,使得 对于任意的 ,都有 ; 存在 ,使得 结论 为 的最大值 为 的最小值 4. 知识拓展 1. 闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. 2. 开区间上的“单峰”连续函数一定存在最大值或最小值. 二、练习题 即练即清 1. 判断正误.(对的打“ ”，错的打“ ”) (1)函数 的单调递减区间是 . ( ) (2)若定义在 上的函数 有 ，则函数 在 上为增函数( ) (3)若 是函数 的最大值，则是 图象上的最高点. ( ) 2. 易错题 若函数 是定义在 上的减函数,且 ,则实数 的取值范围是___. 3. 函数 在区间 上的最大值为 ___，最小值为___. 4. 若函数 在 上单调递增，则正数 的取值范围为___. 题型一　函数单调性的判断 判断函数单调性的常用方法 定义法 一般步骤为设元 作差 变形 判断符号 得出结论 图象法 若函数 是以图象形式所给出的,或者 的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调性 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数, 根据各基本初等函数的增减性及 “增+增=增, 增-减=增,减+减=减,减-增=减”来判断 复合法 对于复合函数,先将函数 分解成 和 ，然后分别讨论 (判断) 这两个函数的单调性，再根据复合函数 “同增异减” 的规则进行判断 赋值法 对于抽象函数可以通过对未知数赋值, 得到 的符号,进而判断单调性. 5. (1)(多选)下列函数在 上单调递增的是 ( ) A. B. C. D. (2)已知定义在区间 上,值域为 的函数 满足: ① 当 时， ；②对于定义域内任意的实数 均满足: . 则 ( ) A. B. 若定义域内 ,则 C. 函数 在区间 上单调递减 D. 函数 在区间 上单调递增 6. 图象法 函数 1 的单调递减区间为 ( ) A. B. C. D. 7. 复合法 函数 的单调递增区间是 ( ) A. B. C. D. 题型二　函数单调性的应用 角度 1 比较函数值的大小 8. 已知函数 为 上的偶函数，对任意 ,均有 0 成立,若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 9. 已知条件变式 已知函数 ,则有 ( ) A. B. C. D. 角度 2 解函数不等式 10. 已知函数 满足 ,对任意 ,且 ,都有 成立,且 ,则 的解集是 ( ) A. B. C. D. 11. 易错题 已知函数 ,若 ,则 的取值范围是 ___. 上归纳总结 求解函数不等式的本质是利用函数的单调性将“ ”符号脱去,转化为关于自变量的不等式求解,应注意函数的定义域对自变量的限制. 角度 3 求参数的取值范围 12. 函数 若对任意 ,且 ,都有 成立,则实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 发技巧点拨 分段函数的单调性除要注意各段的单调性，还要注意分界点处的函数值. 13. 关键元素变式 若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 考点 1 函数的单调性 14. 下列函数中是增函数的为 ( ) A. B. C. D. 15. 设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 16. 已知函数 在 单调递增,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 17. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 18. 已知函数 . 记 ，则( ) A. B. C. D. 19. 若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 20. 设 ，函数 ① 在区间 上单调递减; ② 当 时， 存在最大值； ③ 设 ,则 ; ④ 设 . 若 存在最小值,则 的取值范围是 . 其中所有正确结论的序号是___. 考点 2 函数的最值 21. 已知函数 则 ___；若当 时, ,则 的最大值是 ___. 22. 设函数 存在最小值,则 的一个取值为___； 的最大值为___. 基础强化 23. 已知函数 在 上单调递减且对任意 满足 ,则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. 24. 已知函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 25. 记实数 的最小数为 , 若 ,则函数 的最大值为 ( ) A. 4 B. C. 1 D. 5 26. 函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 27. 设函数 是 上的减函数,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 28. 函数 在 上的最小值为 -1,最大值为 1,则 的最大值为___. 29. 设函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 ___. 30. 函数 则不等式 的解集为___. 能力拔高 31. 已知函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 32. 已知函数 在 上单调递增,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 33. 定义在 上的偶函数 满足 ,且在 上单调递增, ,则 $ a, b, c a > b > c $ B. C. D. 34. 设 ,记 在区间 上的最大值为 ,则 的最小值为 ( ) A. 0 B. C. D. 2 35. 已知函数 的定义域为 ,若对于任意的 ,都有 ,当 时,都有 ,且 ,则函数 在区间 上的最大值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 36. 已知函数 的定义域为 ,对任意 , ,均有 , 已知 为关于 的方程 的两个解,则关于 的不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 37. 已知定义在 上的奇函数 ,当 时, . (1)求 的解析式； (2)若对任意的 ，不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 38. (新定义理解) 对于实数 $ a, b $ ,定义新运算: 设函数 ,当 时，函数 的值域为___. 39. (新定义理解) 俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱. 对定义在非空集合 上的函数 ,以及函数 ,切比雪夫将函数 的最大值称为函数 与 的 “偏差”. 若 ,则函数 与 的 “偏差” 取得最小值时, 的值为 ___. 参考答案与解析 1. (1)× (2) ×(3) √ 2. 3. 3; 4. 5. 答案 (1)AC (2)D 解析 (1) 与 为 上的增函数, 为 上的增函数,故 正确; 由 的图象 (图略) 知, B 不正确; 对于选项 C,易知 在 上单调递增,故 正确; 的定义域为 ,故 不正确. (2)令 ，则有 ，所以 ，故 错误; 令 ,得 ,定义域关于原点对称. 所以函数 为奇函数. 任取 ,且 ,取 ,得 , 所以 且 . , 所以函数 在区间 上单调递增. 又函数 为奇函数且 ，因此函数 在区间 上单调递增,故 错误, 正确. 故选 D. 6. 选 B 画出函数图象,如图所示,根据图象知,函数的单调递减区间为 . 7. 选 B 可分解为 和 两个函数, 在 上单调递增, 在 上单调递增,在 上单调递减,根据复合函数单调性得到函数 在 上单调递增. 8. 选 B 第一步:确定单调区间 对任意 ,均有 成立， 函数在区间 上单调递减， 是偶函数, 当 时, 单调递增, 第二步: 确定要比较的函数值的自变量是否在同一单调区间内 ,又 ,易知 均在 内. 第三步:利用单调性比较大小 因此 ,即 . 故选 B. 9. 选 A 因为 是增函数, 是减函数, 所以 在 上单调递增,且 . 又 在 上单调递增,且 , 所以 在 上单调递增. 又 , 即 ,所以 . 10. 选 D 因为函数 满足 ,所以 的图象关于直线 对称. 又函数 满足对任意 , 且 ,都有 成立,所以 在 上为增函数. 由 的图象关于 对称,且 , 得 在 上为减函数,且 . 的草图如图, 由图知: . 故选 D. 11. 填 解析 易知 在定义域 上是减函数 (减+减=减),且 , 由 ,得 , 解得 12. 选 A 因为对任意 ,都有 成立,所以 在 上是减函数, 则 解得 . 故选 A. 13. 选 D 函数 在 上单调递增, 而函数 在区间 上单调递减, 所以 在区间 上单调递减, 依题意得 ,解得 ,则 的取值范围是 . 故选 D. 五年高考 14. 选 D 对于 ,易知 是减函数,故 A 不符合题意; 对于 ,易知 是减函数,故 不符合题意; 对于 在 上单调递减,在 上单调递增,故 不符合题意; 对于 ,由幂函数的性质可知, 在 上单调递增,故选 D. 15. 选 D ,由复合函数的单调性知函数 在 上单调递减,所以 ,解得 ,即 的取值范围是 ,故选 D. 16. 选 D 在 上单调递增, 解得 . 故 的取值范围为 . 17. 选 B 当 时,函数 显然是增函数; 当 时, ,而 在 上单调递增,所以 则 ,即 的取值范围是 . 故选 B. 18. 选 A 是由 和 两个函数复合而成的, 在 上单调递增,在 上单调递减,又知 , 的图象关于直线 对称, , 又 , 即 ,故选 A. 19. 选 D 是定义在 上的奇函数, 的图象关于点 中心对称,又 在 上单调递减, 在 上单调递减,在 上也单调递减,且过 和 , 的大致图象如图. 当 时, , ; 当 时, . 综上,满足 的 的取值范围是 . 故选 D. 20. 填 ②③ 解析 的大致图象如图所示, 易知 在 上单调递增,在 上单调递增,在 上单调递减，在 上单调递减. 对于①,当 时, 在 上单调递增,故①错误. 对于②,当 时, ,当 时, ,当 时, . 综上, 时, 取得最大值 ,故②正确. 对于③，令 ， 显然 ,故③正确. 对于④,若 存在最小值,则点 到直线 的距离大于 ,且直线 与 的交点 在射线 上,则 ,且 ,又 ,所以 ,故④错误. 综上,所有正确结论的序号是②③. 21. 填 解析 . 当 时， (舍负)，作出 的图象如图所示， 由图可知，当 时， ， ，则 的最大值为 . 22. 填 解析 当 时, 在 上为增函数,无最小值. 而 在 上的最小值为 0,所以 不存在最小值. 当 时, 此时 存在最小值,最小值为 0 . 当 时, 在 上单调递减，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 而 在 上存在最小值,最小值为 0, 所以 在 上存在最小值. 当 时, 在 , 上单调递减,所以 在 上的最小值大于或等于 0,而 ,所以函数 在 上不存在最小值. 综上, 的取值范围为 的最大值为 1. 23. 选 B 因为对任意 满足 , 所以 图象的对称轴为直线 , 又函数 在 上单调递减， 所以 在 上单调递增, 所以 等价于 ,即 , 解得 ,故选 B. 24. 选 D 函数 的图象如图, 函数的单调递增区间为 , 则有 或 ，解得 或 ，故选 D. 25. 选 B 在同一个坐标系中,分别作出函数 , 的图象，如图所示， 的图象是图中实线部分, 要求的函数 的最大值即图中最高点 的纵坐标. 由 解得 故所求函数 的最大值为 . 故选 B. 26. 选 A 因为函数 在区间 上单调递增, 在 上单调递增,所以由复合函数的单调性知 在 上单调递增,则 ,即 . 故选 A. 27. 选 A 根据题意,得 解得 ,即 的取值范围为 . 故选 A. 28. 填 解析 作出 的图象,如图所示, 由图象得,当 时,令 ,解得 ; 当 时,令 ,解得 , 所以 在 上的最大值为 1,最小值为 -1, 所以 的最大值为 . 29. 填 2 解析 ,令 ,易证 为奇函数,所以 的最大值与最小值的和为 0,又 ,所以 ,即 . 30. 填 解析 作出函数 的图象,如图, 函数 在 上单调递增, 所以 等价于 ,解得 , 所以不等式 的解集为 . 31. 选 D 若 在 上单调递增,所以 , , 在 上单调递减,在 上单调递增,无最大值,所以 . 因为函数 的值域为 ,所以 ,结合 得 . 若 ,则 的值域为 . 若 在 上单调递减,所以 , , 在 上单调递减,在 上单调递增,无最大值,所以 , 所以函数 的值域不可能为 . 若 在 上单调递减,所以 , 在 上单调递增, , 此时函数 的值域不可能为 . 综上可知,当 时,函数 的值域为 . 故选 D. 32. 选 C 若 在 上单调递增,则 恒成立,则 ,若 在 上单调递增,则 ,即 , 若 在 上单调递增,则 ,即 ,故 的取值范围是 . 33. 选 A 由 得 ,即 是周期为 2 的函数, 则 , 又 为偶函数, . 在 上单调递增, ,即 . 故选 A. 34. 选 B 设 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增, ，所以 是 ， 三者中的较大者， 所以 (结合图象得出 ) 所以当 时， 的最小值为 . 故选 B. 35. 选 D 任取 ,且 ,则 ,所以 , 令 ,则 , 所以 , 则 ,因此 在 上单调递增, 令 ,则 ,令 ,则 , 又 ,所以 , 令 ,则 ,所以 , 所以函数 在区间 上的最大值为 . 故选 D. 36. 选 D 由 ,得函数 的图象关于点 对称. 由对任意 ,均有 , 可知函数 在 上单调递增. 又因为函数 的定义域为 ,所以函数 在 上单调递增. 因为 为关于 的方程 的两个解, 所以 ,解得 . 又 ,所以令 ,则 , 则由 ,得 ,所以 . 综上,所求不等式的解集是 . 故选 D. 37. 解析 (1) 当 时, ,则 ,又因为 为奇函数,所以 , 所以 ,所以 (2) 因为当 时, ,又 单调递减,(两个减 也单调递减,因此 在 上单调递减,(两个减函数的和仍为减函数)又 为奇函数，所以 在 上单调递减， 所以 在 上单调递减. 因为 在 上恒成立, 所以 ,又因为 为奇函数, 所以 , 所以 在 上恒成立,即 在 上恒成立,所以 ,即 . 故实数 的取值范围是 . 38. 填 解析 由 得 ,解得 或 ,则 故当 时, 的值域为 . 39. 填 解析 令 , 4],令 , 因为 ,所以 , 由 ,得 , 令 ,即 ,解得 , 则 因此当且仅当 时,有 . 所以函数 与 的 “偏差” 取得最小值时, 的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $