专题2.2函数的单调性与最值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按“定义梳理-判断方法-应用拓展”逻辑架构知识，涵盖定义域优先、同增异减原则、导数法等关键内容，通过考点梳理、方法指导、真题训练（含模拟题及跟踪练习）环节，帮助学生构建系统知识网络，突破单调区间求解、参数范围确定、最值计算等难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如结合复合函数单调性“同增异减”原则设计推理训练，通过导数法判断单调性培养运算能力。设置分层练习（基础跟踪到综合应用）和真题模拟，确保复习针对性，助力学生掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题2.2函数的单调性与最值 知识梳理(阅读教材 人教A版必修1 P76-P80) 1.求函数的单调区间 求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间. 2.函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 3.求函数最值的三种基本方法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.复杂函数求最值: 对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】(2025 海南海口 模拟预测)函数的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 【答案】B 【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数,由二次函数的性质即可求 【解答过程】, 则由二次函数的性质知,当时,的单调递减区间为; 当,的单调递减区间为, 故的单调递减区间是和. 故选:B. 跟踪训练 1.已知函数的图象如图所示,则该函数的单调递增区间为( ) A. B.和 C. D.和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知,该函数的单调递增区间为和, 故选:B. 2.(22-23高三上 江苏南通 开学考试)设函数,,则函数的减区间为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、判断二次函数的单调性和求解单调区间、对数型复合函数的单调性 【分析】根据给定条件,求出函数的定义域,再利用对数型复合函数单调性求解作答. 【详解】依题意,,则得:,即函数的定义域为, 显然函数在上单调递增,在上单调递减,而在上单调递减, 因此函数在上单调递减,在上单调递增, 所以函数的减区间为. 故选:B 3.(2025 江苏苏州 模拟预测)已知定义在区间上,值域为的函数满足:①当时, ;②对于定义域内任意的实数a、b均满足:.则( ) A. B. C.函数在区间上单调递减 D.函数在区间上单调递增 【答案】D 【解题思路】赋值:令代入可得,令代入可得函数为奇函数,再根据函数单调性定义可以证明函数在的单调性. 【解答过程】对A,令,则, ,即, 故,所以A不正确; 对B,取代入:, 即,即在上为奇函数, 设, 所以,且, 故: 即:,故B错误; 对C,由B知函数在上单调递增,故C错误; 对D,由C结合函数为奇函数且, 所以在上单调递增,故D正确. 故选:D. 4.设,,则( ) A.在区间上单调递增 B.在区间上单调递减 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 【答案】 专题2.2函数的单调性与最值 知识梳理（阅读教材 人教A版必修1 P76-P80） 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2025·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 跟踪训练 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 2.（22-23高三上·江苏南通·开学考试）设函数，，则函数的减区间为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·江苏苏州·模拟预测）已知定义在区间上，值域为的函数满足：①当时， ；②对于定义域内任意的实数a、b均满足：．则（    ） A． B． C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 4.设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【题型2 根据函数的单调性求参数】 【例2】（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练 1.（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）“”是“函数在内单调递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 2.（2025·广东韶关·一模）已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知函数，则不等式的解集为__________． 6.（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 求函数的最值】 【例3】（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 3.（25-26高三·全国·一轮复习）定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4.（2025·山西·模拟预测）已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有 ，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 课后作业： 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃天水·一模）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6.（2026·山东德州·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 10．（多选2025·河南信阳·二模）下列说法中不正确的是（    ） A．已知的定义域为，则的定义域为 B．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．“”是“不等式对一切实数恒成立”的充要条件 11．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是__________． 12.（25-26高二下·广西河池·期末）已知函数，则不等式的解集为___________． 13.（2026·安徽滁州·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 14.（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 15．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知函数 (1)求的单调区间； (2)解不等式； (3)设的最小值为，若正数满足，求的最小值． 16．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． ． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $