第一章 特殊平行四边形 单元练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“特殊平行四边形”单元复习卷，全面覆盖菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，有效培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|菱形与矩形性质对比（1）、正方形判定（5）|基础概念辨析，突出图形性质差异| |填空题|5/15|菱形判定条件（11）、矩形对角线计算（12）|聚焦关键性质应用，强化几何量计算| |解答题|8/75|尺规作图与菱形判定（16）、正方形动态折叠（21）、综合实践探究（23）|融合推理证明与实际应用，体现创新意识与应用能力|

· 第一章 特殊平行四边形 单元练习 · 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．已知矩形的两条对角线、相交于点O，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，是斜边上的中线，则以下判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 5．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的矩形 C．对角线相等的菱形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形 6．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为（ ） A．12 B．24 C．48 D．96 7．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点A的坐标为(3, 4)，点C在x轴正半轴上，则点B的坐标为（ ） A．(8, 4) B．(7, 4) C．(6, 4) D．(5, 4) 9．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 10．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　）    A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．如图，的对角线交于点O，只需添加一个条件即可证明是菱形，这个条件可以是_______（写出一个即可）． 12．若矩形中较短的边长为4，两对角线的夹角为 ，则矩形对角线的长是　 　. 13．菱形ABCD的面积为24，对角线AC的长为6，则对角线BD的长为 　 　． 14．如图，在边长为9的等边三角形中，，，则的长为____________． 15．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．如图，在中，的平分线交于点E． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交 于点F（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，判断四边形的形状并证明． 17．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 18．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 19．如图，的对角线，为的中点，连接，并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是矩形． 20．如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点，，． (1)求的长； (2)求菱形的高． 21．在中，是边上的中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)①若四边形是正方形，则_________； ②连接，当_________时，四边形是菱形， 21．如图，已知正方形的对角线相交于点O，E是上一点，连结，过点A作，垂足为M，交于点F．    (1)试说明； (2)如图2，若点E在的延长线上，于点M，交的延长线于点F，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由． 22．如图，在直角梯形中，，于点C，，，点M从点A出发，以的速度向点B运动；同时点N从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)求当t为几秒时，四边形为矩形； (2)当四边形为等腰梯形时，求t的值． 23. 综合与实践：某校数学兴趣小组到一家生产平行四边形的薄塑料模板厂开展综合与实践活动，他们有机分成甲队、乙队、丙队，分别选取矩形、菱形和平行四边形的模板，并将其各顶点按逆时针方向分别标记为点，开展以下命题的探究活动．请聪明的你解答甲、乙、丙队所命制的命题 (1)甲队：如图1，在矩形中，取边上的一点，过作于点．若测得时，则______． (2)乙队：如图2，在菱形中，过作交的延长线于点，过作于点．若测得，，求的值． (3)丙队：如图3，在中，测得．在边上取一点，使得．探究：边上是否存在两个点，使得，且？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A A B C A B A 11．（答案不唯一） 12．8 13．8 14． 15．8 16．(1)解：如图， ； (2)证明：四边形是菱形．理由如下： 四边形是平行四边形， ∴． ． 平分， ． ． 同理，可证， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 17．见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的性质，证，即可求证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， 又， ， ． 18．(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）首先证明，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∴，， 在中，， 在中， 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由得，，由E为的中点得，故； （2）由（1）得，，又，故四边形是平行四边形，由，点F在的延长线上得，故四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， E为的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）得，， 又， 四边形是平行四边形， ，点F在的延长线上， ， 四边形是矩形． 20．(1) (2) 【分析】（1）证明，再证明四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，可得，从而可得答案； （2）过作于，求解，可得，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2）解：过作于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的高是． 【点睛】本题考查的平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练的利用菱形的性质解题是解本题的关键． 21．(1)见解析 (2)； 【分析】(1)根据直角三角形的性质得，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论； (2)①根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，求得，于是得到结论； ②根据平行四边形的性质得到，推出是等边三角形，得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，是边上的中线， ∵， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：①当时，四边形为正方形，理由如下： ∵四边形是菱形，要使四边形是正方形，则， ∴； ， 故答案为 ：； ②当时，四边形为菱形，理由如下： 由(1)得， ∴四边形是平行四边形， 要使四边形为菱形，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 21．(1) 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 解：成立；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，再由，可得，从而求证出，即可． （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到，再根据已知条件求证出，即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．(1) (2) 【分析】（1）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，求出，得，解方程即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 则，， ∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，如图， 则， 又∵， ， 解得：. 23． (1)30 (2)175 (3) 解：边上不存在满足条件的点． 如图，假设边上存在满足条件的点． 在中，， ． 点在边上， ． 过点作于点，连结． 在中，， ． 在中，． 点在边上，， ． ． 与矛盾，假设不成立． 边上不存在满足条件的点． 【分析】（1）连结，由矩形中，点在边上，，可得，由于点，可得． （2）由菱形性质，可得，， 由，的延长线于点于点，用锐角三角函数和勾股定理可得，，；设，可推算，，，，；由，可得，进而求得． （3）用反证法说明理由：假设边上存在满足条件的点．由，，可得；由点在边上，可得；过点作于点，连结．由和的性质，可得；由点在边上，，可得．从而得到与互相矛盾，假设不成立，进而得出结论． 【详解】（1）解：如图，连结． 在矩形中，点在边上，， ， 于点， ， ； 故答案为：30； （2）解：如图，四边形是菱形， ，， ． 的延长线于点，于， ，， 设． ， ． ，解得：． ； （3）略 【点睛】本题主要考查了矩形、菱形、平行四边形的性质，应用相似三角形的性质与判定，解直角三角形，三角函数法、面积法、反证法等知识与技能达成解题目标． 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $