第一章特殊平行四边形培优单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级上册特殊平行四边形培优单元卷，覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过图形辨析、情境应用及探究性问题，培养几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定、菱形判定、正方形性质|结合书架对角线判断矩形（题4），体现应用意识| |填空题|5/15|菱形对角线计算、坐标、面积|中国结面积计算（题13），融合文化情境| |解答题|8/75|证明、探究、作图|折纸作菱形（题20）、正方形动点探究（题21），分层培养推理与创新意识|

绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 特殊平行四边形培优单元测试卷 (北师大版) 考试范围：九年级上册第1章全部内容；考试时间：120分钟满分：120分 题号 二 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是() D A.AC⊥BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.∠ABD=45 2.根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是() 5 A.Q70° B.Q70° 70° 110° 5 110° 5 5 C. D 5 3.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边向右侧作一个等边△CDE,则∠CAE=() D B C A.25° B.30° C.35 D.45° 4.如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别 测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是() 试卷第1页（共11页） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.有三个角是直角的四边形是矩形 5.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，己知大正方形面积为49，小 正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),请观察图案，指出以下关系式中不正确 的是() A.x2+y2=49 B.x-y=2 C.2xy+4=49 D.x+y=9 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为EF,则△BEF 的面积为() E B F A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.7.5cm2 7.如图，I∥，矩形ABCD的顶点B在直线上，则∠a等于() 65° B A.10° B.25° C.35° D.无法计算 8.如图，以MON的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交MON两边于点AB,再分别以点A、B 为圆心，OA长为半径作弧，两弧相交于点P,连接OP、AB,则下列说法可能错误的是() 试卷第2页（共11页） M A.OP平分∠MONB.OP⊥AB C.OA=AB D.OA=AP 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点C,A分别在x轴，y轴上，OC=6,OA=4.折 叠矩形，使AB与OC重合，EF是折痕；展开后，在OC上取一点D,将△BCD沿BD折叠，使点C的对 应点P恰好落在折痕EF上，则点P的坐标为() E-- D C A.(25,2 B.(6-23,2 c.(23-6,2) D.(2,6-23) 1O.如图，矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC交CD于点F,交AC于点M,过点 D作DE∥BF交AB于点E,交AC于点N,连接FN,EM,则下列结论：①DN=BM;②EM∥FN; ③AE=CM;④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若AC=12, S菱形B”=48，则OH的长为 R 试卷第3页（共11页） 12.如图，菱形OABC的顶点O,A的坐标分别为(0,0)，(3，-4)，点C在y轴上，则点B的坐标为 B 3.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱 形中国结装饰.测得AC=12cm,BD=l6cm,则该菱形的面积为cm2. 14.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD,E、F分别是BD、B'D'的中点，若AB=1c1, BC=7cm,则EF的长为cm. B D 15.如图，在△ABC中，AB=4V5,BC=6,AC=8,D是△ABC外一点，且∠ADC=90°，G是CD中 点，连接BG,则BG的最大值为 D B 试卷第4页（共11页) 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(7分)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接EC. (I)求证：BD=EC, (2)求证：S菱形ABcD=S△AEc, D C B 17.(7分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD,过点D作DE∥OC, CE与DE相交于点E,连接BE· (I)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. D 18.(8分)己知：如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,F是BC的中点， 过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G. (I)求证：△BFG≌△CFE; (2)若∠A=90°，请判断四边形BGCE的形状，并证明你的结论. 试卷第5页（共11页） 19.(9分)如图，已知△ABC,分别以AB,AC,BC为边，在BC的同侧作等边三角形ABD、等边三角 形ACF和等边三角形BCE. (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？ 试卷第6页（共11页) 20.(10分)【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 先将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的 虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。 对折 再对折 沿虚线剪下 图1 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形ABCD的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对 角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F两点，再连接AF,CB. D 图2 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形.当按如 图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大. D 图3 (1)请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）： (2)请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形AECF是菱形： (3)已知如图3的矩形卡片中，AD=6,AB=4则此时菱形的边长为_. 试卷第7页（共11页） 21.(10分)我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、 多题归一，做到举一反三、推陈出新. 【问题提出】M是正方形ABCD边AB上的一个动点（不与A,B重合），∠DMN=90°，且MN交正方形 外角∠CBE的平分线BN于点N,探究DM与MN的数量关系. M B B M 图1 图2 【问题猜想】 (1)DM_MN;(填>”，“<或者=”) 【问题探究】 (2)如图1，当M是AB上的中点时，探究DM与MN的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为AB延长线上的任意一点时，探究DM与N的数量关系，并说明理由. 试卷第8页（共11页） 22.(12分)阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，AB<AD,请利用尺规在平行四边形内作一 个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上. D 同学们以小组为单位展开了讨论. 图1 希望小组的作法：如图2， D ①在BC上截取BE=AB, B4 E 图2 ②作EF‖AB交AD于点F. 结论：四边形ABEF是菱形. 希望小组的证明： :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC.即AF∥BE. 由作图可知：EF‖AB. ∴四边形ABEF是平行四边形 ,AB=BE,.平行四边形ABEF是菱形.（依据） 智慧小组的作法：如图3， VG ①连接BD,作BD的垂直平分线GH分别交AD,BD,BC于点M, 图3 点O和点N. ②连接BM,DN. 结论：四边形BMDN是菱形. 智慧小组的证明： 试卷第9页（共11页） 由作图可知：直线GH垂直平分BD .BM=MD,BN=ND. 任务一：请补充上面证明过程中的“依据 (1)依据： 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形.（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作 法) 图4 试卷第10页（共11页） 23.(12分)综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形ABCD中，点E在BD上，AE⊥EF,EF交直线BC 于点F.试猜想线段AE与EF的数量关系 D G D D E E B B A 图1 图2 备用图 (1)【建立模型】 同学们发现，过点E分别作EH⊥AB,EI⊥BC,垂足为H,I,可以由BE平分∠ABC,用角平分线的 性质定理辅助解决这个问题.请在图1中补全图形，解答上述问题. (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长FE交直线CD于点G,请你判断线段AE与EG的数 量关系，并说明理由. (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在(2)的条件下，当E为直线BD 上一动点，猜想线段BE,DE,GD之间的数量关系并直接写出结论. 试卷第11页（共11页)绝密★启用前 学校： 姓名： 班级： 考号： 特殊平行四边形基础单元测试卷 (北师大版) 考试范围：九年级上册第1章全部内容；考试时间：90分钟满分：120分 题号 三 总分 得分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是() D B A.AC⊥BD B.AB=BC C.∠ABC=90° D.∠ABD=45° 2.如图1，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形，得到图2，用三个图2刚好拼出一个如图3所示 的平面图形，则图1中∠D的度数为() D 图1 图2 图3 A.100° B.135° C.110° D.120° 3.课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：c)测量自制直角三角形手工纸片.如图所示，己知 ∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2和8，则CD的长为() A D/ B 01234567891011 A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,连接AC,BD,若∠BCA=30°，则BD的长为() 试卷第1页（共7页） C A.3 B.25 C.6 D.33 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点O作OE⊥CD,垂足为E,若∠BAD=70°， 则∠DOE的度数为() B A A.40° B.38° C.35° D.30° 6.如果点E、F、G、H分别是菱形ABCD四边AB、BC、CD、DA上的中点，那么四边形EFGH是 () A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 7.下列关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是() A.若AC=BD,则平行四边形ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则平行四边形ABCD是矩形 C.若AB=AD,则平行四边形ABCD是正方形 D.若BC=CD,则平行四边形ABCD是菱形 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,点F是DA的中 点.已知BC=5,△DEF的周长为12，则AE长为() A.7 B.8 C.9 D.10 9.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小 正方形面积为4，若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),请观察图案，指出以下关系式中不正确 的是() 试卷第2页（共7页） y A.x2+y2=49 B.x-y=2 C.2xy+4=49 D.x+y=9 10.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点C,A分别在x轴，y轴上，OC=6,OA=4.折 叠矩形，使AB与OC重合，EF是折痕：展开后，在OC上取一点D,将△BCD沿BD折叠，使点C的对 应点P恰好落在折痕EF上，则点P的坐标为() y B E--- O D A.(2W3,2 B.(6-2W3,2) c.(23-6,2 D.（2,6-2W3 二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分) 11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若∠OBC=30°，则∠BAD= D 12.如图，在菱形ABCD中，∠ADB=70°，分别以点A,B为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧，两 弧相交于点M,N,直线N交AD于点E,连接BE,则∠EBD=°. 13.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱 形中国结装饰.测得AC=12cm,BD=16cm,则该菱形的面积为一cm2. 试卷第3页（共7页） 14.已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则∠ACE= D 15.如图，四边形OABC是正方形，点C,A分别在x轴，y轴上，曲线COABO1.叫做“正方形的渐开线”， 其中CO,OA,AB,,B,C,的圆心依次按点O,A,B,C循环.若点C的坐标为(L,O),则点Bn的 纵坐标是 B B 44-4 C 01 … 03 三.解答题（共8小题，共75分） 16.(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BE⊥AC于点E,CF⊥BD于点F.求 证：△BEO≌△CFO. D E 试卷第4页（共7页） 17.(8分)如图，正方形ABCD的边长为6，F是DC边上的一点，且DF:FC=1:2,E为BC的中点， 连接AE、AF、EF. (1)求△AEF的周长； (2)求△AEF的面积. D B 18.(8分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD,过点D作DE∥OC, CE与DE相交于点E,连接BE. (I)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. D 19.(9分)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，且DE=CF,AF与BE相交于点 G. (1)判断AF,BE的关系： (2)若AB=8,DE=2,求AG的长. D G 试卷第5页（共7页） 20.(10分)如图，AD是△ABC的中线，点E,F分别在AD及其延长线上，BE‖CF,连接CE,BF. (I)求证：△BDE≌△CDF: (2)若AB=AC,求证：四边形BFCE是菱形. E 21.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD、BE. (1)求证：CE=AD. (2)若D是AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由， M 22.(12分)如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点，连接EF、EG, EF⊥EG,垂足为E,且EF+EG=7. (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)求AB的长 试卷第6页（共7页） 23.(12分)数学活动课上，同学们以菱形ABCD纸片开展“折纸”活动.已知∠ABC=60°. 4 D A M D E B B 图1 图2 (I)如图1，折叠后，使点C落在对角线BD上的点E处，得到折痕BF,连接EF.证明：∠EFC=90°： (2)如图2，折叠后，使点C落在边AD上的点M处，折痕与对角线BD交于点N处，连接CM,CN,MN. ①求∠MNC的度数； ②若菱形ABCD的边长为6，则△CN的周长是否存在最小值？若存在，求最小值；若不存在，说明理由， 试卷第7页（共7页） 绝密★启用前 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 特殊平行四边形培优单元测试卷 （北师大版） 考试范围：九年级上册第1章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 8．如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧，分别交两边于点，再分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接、，则下列说法可能错误的是（     ） A．平分 B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 10．如图，矩形中，，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接，．则下列结论：；；；④当时，四边形是菱形．其中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为___________． 12．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 13．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 14．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 15．如图，在中， ，，D是外一点，且，G是中点，连接，则的最大值为_______ ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：． 17．（7分）如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 18．（8分）已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 19．（9分）如图，已知，分别以，，为边，在的同侧作等边三角形、等边三角形和等边三角形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形是正方形？ 20．（10分）【课本重现】 你能用折纸、作图等方法得到一个菱形吗？动手试一试！ 小颖、小明和小刚三位同学分别做了以下操作： 【操作1】小颖同学按以下方式进行操作，如图1： 【操作2】小明同学按以下方式进行操作：如图2，在矩形的纸片上，利用无刻度直尺和圆规作对角线的垂直平分线分别交、于、两点，再连接，． 【操作3】小刚同学按以下方式进行操作：将两张相同的矩形纸片叠放在一起，可以重叠出菱形．当按如图3的方式将两个矩形的两个对角顶点重合进行叠放，得到的菱形边长最大． (1)请写出小颖这样操作的理论依据（提示：文字语言表述，说明理由即可）； (2)请按照操作2用尺规画出图形（保留作图痕迹，标明字母，不用写作法），并证明四边形是菱形； (3)已知如图3的矩形卡片中，，则此时菱形的边长为 ． 21．（10分）我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 22．（12分）阅读与思考 下面是乐乐同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 利用尺规在平行四边形内作菱形今天的数学课上，老师给出了如下的一个问题： 如图1，已知四边形是平行四边形，，请利用尺规在平行四边形内作一个菱形，使得菱形的四个顶点均在平行四边形边上． 同学们以小组为单位展开了讨论． 希望小组的作法：如图2， ①在上截取， ②作交于点． 结论：四边形是菱形． 希望小组的证明： 四边形是平行四边形， ．即． 由作图可知：． 四边形是平行四边形． ，平行四边形是菱形．（依据） 智慧小组的作法：如图3， ①连接，作的垂直平分线分别交，，于点，点和点． ②连接，． 结论：四边形是菱形． 智慧小组的证明： 由作图可知：直线垂直平分． ，． … 任务一：请补充上面证明过程中的“依据” (1)依据：______________； 任务二： (2)请将智慧小组的证明过程补充完整； 任务三： (3)在图4中用不同于材料的方法作一个满足要求的菱形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 23．（12分）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $