第一章 《特殊平行四边形》单元巩固练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《特殊平行四边形》单元巩固练习，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合几何性质与变换，考查抽象能力、推理意识及空间观念，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|旋转、直角三角形、菱形/矩形性质|如第1题结合旋转与勾股定理，考查空间观念| |填空题|6/18|折叠、勾股定理、直角三角形中线|如第11题折叠问题，培养几何直观与推理能力| |解答题|7/72|菱形/矩形/正方形证明与计算|如23题探究菱形判定，体现创新意识与逻辑推理|

第一章 《特殊平行四边形》单元巩固练习 新教材北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB'C'，连接B'C，则△AB'C的周长为（　　） A． B．18 C． D．24 2． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　) A． B． C．1 D．0.5 3．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接OE.若∠ABC=60°，AC=8，则OE的长为(　　) A．4 B． C． D．8 5．如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（　　） A．5 B．7 C．12 D．13 6．如图，在▱中，，相交于点，，为的中点，为的中点若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（　　） A．6 B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　) A．1 B．8 C．4 D．2 9．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若矩形面积为，则阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 10．如图，在矩形中，于点，交于点，平分交于点.若是的中点，则的值是（　　） A．4 B．3 C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH 折叠，使点 D 和点A 都落在点 M处，若∠1+∠2=120°，则∠EMF的度数是　 　. 12．如图，分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9，以斜边为边长向外作矩形，则矩形的面积为　 　． 13．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为　 　. 14．如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是　 　． 15． 已知四边形ABCD为菱形， CD=5，AC=8，P为线段AC上任意一点，点E为线段AD上任意一点，连接PD，PE.则PE+P的最小值是　 　 16．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， ∠AOB=60°， AB=3，则AC的长为　 　. 三、解答题（共7题，共72分） 17．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积． 18． 如图，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，若，求的长． 19．在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是线段OC上的动点。 （1）如图1， 若BE平分∠OBC。 ①求证： AB=AE。 ②若EC=2，求OE的长。 （2）如图2，延长BE交DC于点 F，连接OF。当BF=2OF时，探究CF与AB 的数量关系，并说明理由。 20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，O是AC 的中点，连接DO 并延长至点E，连接AE，且AE∥ BC，连接CE. （1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）若AB=2，BC=2 ，求证：四边形ADCE是正方形. 21．如图1，四边形是一个边长为4的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点不重合，点与点不重合），且，连接，，相交于点． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点，运动到，的中点时，连接，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 22． 如图1，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，连结CE，过点A作于点F，分别交正方形的对角线BD和边BC于点G、H. （1） 求证：. （2） 如图2，连结CG，EG，已知，设，. ① 求y关于x的函数表达式. ② 当时，求四边形BECG的面积. 23．观察图形，并解决问题。 （1）如图1，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF//BC交AD于点F。求证：①△ADE≌△ADC；②四边形CDEF是菱形。 （2）如图2，在△ABC中，AB>AC，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在AB的反向延长线上截取AE=AC，过点E作EF//BC交AD的反向延长线于点F。四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，四边形CDEF 能是正方形吗？如果能，直接写出此时△ABC中∠BAC与∠B的关系；如果不能，请直接回答问题，不必说明理由。 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8 ∴ ∵将△ABC绕点A逆时针旋转90° ∴AB'=AB=6，∠BAB'=90° ∵∠ABC=90° ∴∠ABC+∠BAB'=180° ∴AB'∥BC 过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形 ∴B'H=AB=6，BH=AB'=6 ∴HC=BC-BH=2 ∴ ∴△AB'C的周长为AB'+AC+B'C= 故答案为：A 【分析】根据勾股定理可得AC，根据旋转性质可得AB'=AB=6，∠BAB'=90°，根据直线平行判定定理可得AB'∥BC，过点B'作B'H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形，则B'H=AB=6，BH=AB'=6，根据边之间的关系可得HC，再根据勾股定理可得B'C，再根据三角形周长即可求出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：连接， ∵在中，，，， ∴，， 由勾股定理得：。 ∵，， ∴为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。 ∵是的中点， ∴（等边三角形三线合一），即。 在中，是斜边的中点， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， 代入得 故答案为：B 【分析】本题考查直角三角形性质、等边三角形判定与性质、直角三角形斜边中线定理的综合应用。先利用含30°角的直角三角形的边角关系求出长度，再由勾股定理计算的长；结合与的条件，依据等边三角形的判定定理证明为等边三角形，再通过等边三角形三线合一的性质得到垂直于；最后在直角三角形中，应用直角三角形斜边中线等于斜边一半的定理，由的长度求出的长度。 3．【答案】B 【解析】【解答】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 点为的中点， 是的中位线， ． 故答案为：B． 【分析】先利用菱形的性质和勾股定理求出BC的长，再利用三角形的中位线可得． 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 故答案为：A. 【分析】由作图可知为的中点，根据菱形的性质得到和直角三角形斜边中线性质得到为等边三角形，即可根据等边三角形的性质解答即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：如图：连接，过作x轴于， ∵点的坐标是 ∴，由勾股定理得 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ 故答案为：D 【分析】根据勾股定理求出 =13，根据矩形的性质得出 ，即可得出答案； 6．【答案】A 【解析】【解答】在 ▱ ABCD中，对角线互相平分：BD=2OD，且AD=BC=18。 ∵ BD=2CD， ∴ 2OD=2CD， 化简得OD=CD， ∴△OCD是等腰三角形。 ∵E为OC中点，等腰△OCD中，中线DE⊥OC， ∴∠AED=90∘，△AED为直角三角形。 ∵F为AD中点，在Rt△AED中，斜边中线EF=AD。 代入AD=18计算 EF=×18=9. 故答案为：A. 【分析】由平行四边形对角线互相平分得BD=2OD，结合条件BD=2CD，等量代换推出OD=CD，判定△OCD为等腰三角形；E是OC中点，根据等腰三角形三线合一，连接DE可得DE⊥AC，即△ADE是直角三角形；F是斜边AD中点，依据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得EF=AD；平行四边形对边相等AD=BC=18，代入求出EF长度.​​​​​​​ 7．【答案】D 【解析】【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ，， ∴垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：D． 【分析】根据矩形的性质求出，，，，再求出垂直平分，最后利用勾股定理计算求解即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：在矩形中，， ， ， ， 点是边的中点， 为的中位线， ． 故答案为：D . 【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形面积为12， ∴． 故选：A． 【分析】 首先利用矩形的性质得到OA=OC，∠OAE=∠OCF，进而证明三角形全等，再根据全等三角形 的性质将阴影部分面积转化为矩形面积的一部分即可解答. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接EF，过F作FQ⊥DE于Q，F是AB的中点， 设AF=BF=a，BE=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD=2a，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， ∵FD平分∠ADE，FQ⊥DE， ∴AF=FQ=a=BF， ∵DF=DF，∠FAD=∠FOD=90°， ∴Rt△ADF≌Rt△QDF， ∴AD=DO，∠AFD=∠QFD， 同理可得：Rt△BFE≌Rt△QFE， ∴BE=EQ，∠BFE= ∠QFE， ∴， ∵∠QFD+∠FDQ=90°， ∴∠OFE=∠ODF， ∴tan∠QFE=tan∠QDF，即， ∴， ∴， ∵DE⊥AC， ∴∠AHD=∠ADC=90°=∠BCD， ∴∠CAD+∠ADH=90°=∠ADH+∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， ∴tan∠CAD=tan∠CDE，即， ∴CD2= CE·AD， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：A. 【分析】连接EF，过F作FQ⊥DE于Q，F是AB的中点，设AF=BF=a，BE=x，表示，，证明CD2=CE·AD，可得出，继而可得答案. 11．【答案】60° 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形 ∴AD∥BC ∴∠DEG=∠1，∠AFH=∠2 ∵∠1+∠2=120° ∴∠DEG+∠AFH=120° ∵∠AEG=180°-∠DEG，∠DFH=180°-∠AFH ∴∠AEG+∠DFH=180°-∠DEG+180°-∠AFH=360°-(∠DEG+∠AFH)=240° 由折叠可得，∠GEM=∠FEM=∠AEG，∠HFM=∠EFM=∠DFH ∴∠FEM+∠EFM=∠AEG+∠AEG=(∠AEG+∠DFH)=120° ∴∠EMF=180°-(∠FEM+∠EFM)=60° 故答案为：60° 【分析】根据长方形性质可得AD∥BC，则∠DEG=∠1，∠AFH=∠2，根据角之间的关系可得∠AEG+∠DFH=240°，再根据折叠性质可得∠FEM+∠EFM=120°，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 12．【答案】15 【解析】【解答】解：∵分别以直角三角形的直角边为边长向外作正方形，面积分别为16和9， ∴，， ∴，即， ∵， ∴矩形的面积为． 故答案为：15． 【分析】根据正方形性质可得，，再根据勾股定理可得AB=5，再根据矩形面积即可求出答案. 13．【答案】6或 【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时， 斜边， 此时斜边的中线长为； 当5为一条直角边，12为斜边时， 另一条直角边， 此时斜边的中线长为6. 故答案为：6或. 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答. 14．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接， ∵矩形 ABCD 中， AB = 10 ， AD = 12 ∴ CD = 10，∠ D = 90° ∵ R 为 DC 中点 ∴ DR =CD = 5 在 Rt△ ADR 中： AR = == 13 E 、 F 分别为 AP 、 RP 中点 ∴ EF 为 △ PAR 中位线 ∴ EF =AR = 【分析】借助矩形特征构造 Rt△ ADR ，利用勾股定理求得对角线 AR 。由中点条件识别 EF 为 △ PAR 的中位线，依据中位线性质（等于第三边的一半）得解。本题融合矩形性质、中位线定理与勾股定理的应用。 15．【答案】 【解析】【解答】解：设AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，AB=BC=CD=AD=5， ∵AC=8， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得 ， ∴BD=2OD=6， ， ， ∵菱形对角线AC垂直平分BD， ∴点B，D关于直线AC对称， ∴PD=PB， ∴PE+PD=PE+PB， 当B，P，E三点共线，且BE⊥AD时，PE+PB取得最小值，最小值为AD边上的高， 设AD边上的高为h， ∵， ∴， 整理，得，解得． 故答案为：． 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分，结合AC=8，边长CD=5，用勾股定理算出OD长度，求出菱形面积，再得到△ABD的面积；再依据菱形对角线是对称轴，得出D，B关于AC对称，转化PE+PD为PE+PB；最后根据垂线段最短，确定最小值为△ABD中AD边上的高，利用三角形面积公式计算出高的长度． 16．【答案】6 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB， ∵ ∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=3 ∴OA=AB=3， ∴AC=2OA=6. 故答案为：6. 【分析】首先根据矩形的性质及等边三角形的判定可得出△AOB是等边三角形，即可得出OA=AB=3，再根据矩形对角线也互相平分，即可得出AC=2OA=6. 17．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB， ∴四边形DBCE是平行四边形． ∴EC∥AB，且EC＝DB． 在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线， ∴AD＝DB＝CD． ∴EC＝AD． 四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形． （2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6， 是等边三角形 ∴AD＝DB＝CD＝6． ∴AB＝12，由勾股定理得． ∵四边形DBCE是平行四边形， ∴DE＝BC＝6． ∴． 【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形DBCE是平行四边形，则EC∥AB，且EC＝DB，再根据三角形中线性质可得EC＝AD，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则AD＝DB＝CD＝6，再根据勾股定理可得AC，再根据平行四边形性质可得DE＝BC＝6，再根据菱形面积即可求出答案. 18．【答案】（1）证明：四边形是菱形， ∴AC=2OA， ， 又 四边形是平行四边形， ． （2）解：连接， ，， 四边形是平行四边形， 又菱形， ， 四边形是矩形， ，CE=OD 又， ∴为等边三角形， 在菱形中，， ， 在矩形中， ， 在中，． 【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AC=2OA，结合已知可得DE=OA，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形OADE是平行四边形，进而根据平行四边形的对角线互相平分可求解； （2）连接CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得可证四边形是平行四边形，结合菱形的性质并根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，则∠OCE=90°，由题意易得三角形ABC是等边三角形，在菱形ABCD中，易求出AO的值，在直角三角形ABO中，用勾股定理求出OB的值，然后在中，用勾股定理求解即可. 19．【答案】（1）解：①证明：四边形是正方形， ， 平分， ， ，， ， ； ②过点作于点， ，， ， ， ， ， 平分，，， ； （2）解： ， 理由：取的中点，连接，， 四边形是正方形， ，， 为的中点， 为的中位线， ，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 【解析】【分析】 （1）①由正方形的性质证出，再根据角平分线的定义得出，然后根据三角形的外角和角的和差得到∠DEA=∠ADE，再根据等角对等边得到结论即可； ②过点作于点，根据勾股定理求出EF长，再根据角平分线的性质解答即可； （2）取的中点，连接，，根据三角形中位线可得，，然后得到四边形为平行四边形，即可得到，然后根据线段的和差证明即可． 20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴D为BC的中点， 又∵O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∵DE∥AB，AE∥BD， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE=BD=CD， ∵AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴四边形 ADCE是矩形 （2）解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD=CD， ∴四边形 ADCE是正方形 【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得D为BC的中点，再根据三角形的中位线得出DO∥AB，从而判断四边形AEDB是平行四边形， 进而即可求解； (2)根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求出，进而即可求解. 21．【答案】（1），理由如下： 证明：四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴。 （2）解：，理由如下： 如图，延长，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由题意可得点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即． 【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质以及，证明，从而根据全等三角形的性质得到，结合“直角三角形锐角互余”列式并推出，从而得到，此时即可证明； （2）做辅助线，结合正方形的性质以及邻补角，计算并结合ASA证明，得到，则， 则由直角三角形斜边上的中线的性质即可得到． （1）解：，理由如下： 证明：四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由题意可得点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即． 22．【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， （2）解：①如图2， ∵四边形ABCD是正方形， ②如图3， 连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是正方形， 当 时， ∴四边形BECG的面积： 【解析】【分析】(1)根据ASA证明 即可得结论； (2)①根据线段的和即可解答； ②如图3， 连接AC交BD于点O， 证明BG=BH 根据三角形的面积和即可解答. 23．【答案】（1）解：①∵AD平分∠BAC， ∴∠EAF=∠CAF。 又∵AE=AC，AD=AD， ∴△ADE≌△ADC。 ②∵△ADE≌△ADC， ∴DE=DC，∠ADE=∠ADC。 同理△AFE≌△AFC，∴EF=CF。 ∵EF∥BC，∴∠EFD=∠ADC。 ∴∠EFD=∠ADE。 ∴DE=EF。 ∴DE=EF=CF=DC。 ∴四边形CDEF是菱形 （2）解：四边形CDEF是菱形。理由如下：∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△ADE≌△ADC。 ∴DE=DC，∠ADE=∠ADC。 同理△AFE≌△AFC， ∴EF=CF。 ∵EF∥BC， ∴∠EFD=∠ADC。 ∴∠EFD=∠ADE。 ∴DE=EF。 ∴DE=EF=CF=DC。 ∴四边形CDEF是菱形 （3）四边形CDEF能是正方形。 ∠BAC+2∠B=90° 【解析】【解答】解：（3）如图， ∵CDEF是正方形， ∴∠BDA=45°， ∴， ∴，即， ​​​故答案为：∠BAC+2∠B=90°. 【分析】（1）①根据角平分线的定义得到∠EAF=∠CAF，然后根据SAS得到两三角形全等即可； ②根据全封三角形的性质得到DE=DC，∠ADE=∠ADC，同理可得△AFE≌△AFC，即可得到EF=CF，然后推理得到∠EFD=∠ADE，即可得到DE=EF=CF=DC，证明四边形是菱形即可； （2）同（1）的证明过程得到结论即可； （3）根据正方形的判定定理解答即可.​​​​​​​ 学科网（北京）股份有限公司 $