广西南宁新民中学2026-2027学年高三上学期开学质量检测数学试题

2026年秋季学期高三上数学科开学质量检测试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知z=2-i,则z=() A.5 B.5 C.5 D.1 2.已知向量a,6满足d=1,a-6=-1,则a.(2a-)= A.4 B.3 C.2 D.0 3.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单 位：分)，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的 是() 频率/组距 0 a 0.025-------- 0.020 0.010 01 0.005 95 405060708090100分数 A.估计样本数据的中位数为75分 D.样本中得分低于80分的人数大约为35人 C.估计样本数据的众数为70分 Da=0.035 4.已知双曲线C:苔-希=a>0b>0的一条新近线过点亿，则C的高心审为() A:7 B.③ c.5 D.5 2 5.已知/(y为奇函数，且当x>0时，f()=2”-,则/-)=（) A号 C.1 3 B.-1 D:2 6.已知a=log2,b=c0s2,c=8方，则(’ A.c<a<b B.b<c<a C.b<a<c D.a<b<c 7.若圆台的母线与下底面成45°角，且下底面半径是上底面半径的2倍，记圆台的侧面积为S,上、下底 面积之和为S,则及=(、 S, A.② B.32 2 c.√2 D.3V2 5 2 试卷第1页（共4页) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.已知函数f(x)=ar-x血x-2有两个罗点，则实数a的取值范围为() A.(0,1+n2） B.(,1+h2) C.（1+ln2,+oo) D（-o,l+lh2) 二、选择题：本题共3小题，小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分· 9.已知函数/=m2x+引则 A.f(x)的最小正周期为π B。f儿问的图象关于直线x=沿对称 C问在[铅0小上单调蓬增 D.-牙到的-个学点为x=名 10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C交于A(x,),B(x2,y2)两点，O为坐 标原点，则 A.抛物线C的准线方程为y=-2 B.若AF=8,则x=6 C.AFBF的最大值为16 D.∠AOB为钝角 1l.已知f(x)=e-m+l,aeR,则下列结论正确的是（) A.当0<a<1时，函数f(x)在(-∞，0)上单调递减 B.当a=1时，函数f(x)的最小值为2 C.若f(x)在x=ln2处取得极值，则a=2 D.若对任意x∈[2，+∞)，f(x)20恒成立，则a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知各项都不为0的等比数列{a,}满足马=8a6,则其公比9= 13.直线：5x-12y+m=0与圆0：(x-2)+0y-2=25交于A、B两点，若|AB上8，则m= 14.如图所示给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择，要求每十个区战只涂一种颜色，相邻区域所涂颜 色不同，则不同的涂色方法有 A (5D B 试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解菩题：本题共5小题，共77分.解箸应写出文字说明、证明过程或离算步骤. 15(13分)在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+ac=a2+c2,sinA=2simC. (1)求角B的大小：(2)若b=2N3,求△ABC的面积. 16(15分)已知函数f()-=-x-2hx. (1)求曲线y=f()在点(1，f()处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间L,©上的最小值 175分)已如满国C号+若-=a6>g的短错长为2且过点 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若经过椭圆C的右焦点F作倾斜角为45的直线1，直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求 △AOB的面积. 试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点M,N分别为BC,PD 的中点、 0 (I)证明：N/1平面PAB: (2)若PA=PB=√V5,，平面PAB⊥平面ABCD,求二面角A-MN-D的正弦值 19(17分)某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局 赢的概率为了，前一局赢后下一局继续赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为子，如此重复进行。 记甲同学第i局赢的概率为P(ieN) (1)求乙同学第2局赢的概率： (2)求2： (3)若存在i,使e-血(B+)+k20成立，求k的最小值. 试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 《2026年秋季学期高三上数学科开学质量检测试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B ABC BD BCD 1.【详解1由=2-i,得z=2--2-DX》-上2i,所以1y+-2=5. ii(-i) 2.【详解】因为a(20-b)=2a-a6=21a2-（-)=2+1=3. 3.【详解】由于(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030,故D错误： 由于前三组[40,50)，[50,60)，[60,70)累计频率为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35<0.5， 前四组累计频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65>0.5， 故中位数在第四组[70,80)内，设中位数为x,则0.35+0.030×(x-70)=0.5,解得x=75,故A正确： 得分低于80分的频率为1-(0.025+0.010)×10=0.65， 故样本中低于80分的人数大约为100×0.65=65人，故B错误： 由直方图知，估计样本数据的众数值为0+80=75，故C错误。 2 4【详解】由双自线C:若-长=a>06>0方程可知一条新近线方程为y凸， b 0 代入点(2,1)可得2x2=1,即2-， 0 5【详解】：当x>0时，)=2r-x,4f0=2- 21=213 25 :四是奇函数满起(--闪，人-)=-0=号 6.【详解】因为a-=log,2<1g,5=7,且a=loe,2>log,1=0 b-oe2<eos5-0,6=8时-2i-z综上，6<a<c, 2 7.【详解】圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r,则下底面半径为2， 由圆台的母线与下底面成45°角，可知圆台的高为r,则母线长为1=√2r, 则S,=√2πr(r+2）=3V2m/,S,=2+4mr2=5r2, 则=32 S25 8.【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由/=a-油x20a-n层设8（小-nx+e0g-士子-学 当x>2时，g(x)>0,所以函数g(x)在(2，+∞)上单调递增， 当0<x<2时，g(x)<0,所以函数g(x)在(0,2)上单调递减， 答案第1页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 则有g(x)=8(2)=1+ln2, 问题函数f(x)=ax-xnx-2有两个零点，转化为直线y=a与曲线g(x)有两个不同的交点，如下图所示： 珠 y=a 1+ln2 ；J=g) 由数形结合思想可知：当a>1+ln2时，直线y=a与曲线g(x)有两个不同的交点， 即函数f(x)=a-xlnx-2有两个零点，所以实数a的取值范围为(1+ln2,+∞). 9.【详解】选项A,f()的最小正周期为T-2”=元，所以A正确： 2 选项B,因为2×+号至，所以/（问的图象关于直线x=是对称，所以B正确： 12 选项C由晋x<0,可得-受<2+骨骨则在（侣上单调递增，所以c正确： 选项Dx-引=m2x-引，sm2x(引引=-1*0，所以D不正确 10.【详解】如图：对于A,抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,A错误： 对于B,AF列=x+2,而AF=8,则x=6,B正确： 显然直线1不垂直于y轴，设其方程为x=ty+2, 由2消去x得y-8-16=0, 则%+为=8,4=-16，+名=0+%+4=82+4，x=其发=4， 88 对于C,AFBF=(x+2)(x2+2)=xx+2(:+x)+4=8+8(212+1)=16+162≥16， 当且仅当1=0时取等号，C错误： 对于D,OA:0丽=xx,+为=4-16=-12<0，则cos∠A0B= OA.OB OAOB <0, 结合∠AOB∈(O,),则∠AOB为钝角，D正确， 11.【详解】对于A项，f(x)=e-a,当0<a<1时，令∫'(x)=0,得到x=lna<0, 当x<lna时，f(x)<0,函数f(x)单调递减， 当na<x<0时，'(x)>0,函数f(x)单调递增，故A错误： 答案第2页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 对于B项，a=1,()=e-1,令f(x)=0,得到x=0, 当x<0时，'(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x>0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 函数f(x)的最小值为f(0)=e°-0+1=2，故B正确： 对于C项，若f(x)在x=ln2处取得极值，则f(n2)=0,即eh2-a=2-a=0→a=2, 验证：a=2时，f'(x)=e-2,x=ln2两侧导数符号改变，确为极值点，故C正确： 对于D项，e2,+∞)，e-m+1≥0，即as+ ,x≥2恒成立， 令g问=生1，则g--上， x x≥2时，e*(x-1)-12e22-1）-1=e2-1>0, 故8)>0,8()在2+网)上单调递增，所以g=g(A)=c,所以a≤+1，故D正确 2 12.505 【详解1由B=a,得4-6a,因40，则得可一解得g=月 13.41或-37 【详解】由圆0：(x-2)2+0-12=25,得圆心0(21)，半径r=5. 所以圆心02，)到直线：5x-12y+m=0的距离d=5x2-12x1+则_m-2 V52+(-12) 13 又因为|AB=8,所以AB=2NF2-d2, 即225-（四-：=8，化简得m-斗=39，解得m=41或m=-37. 13 14.72 分两种情况：①A,C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B,D有1种，有4×3×2=24种： ②A,C同色，先涂A,C有4种，再涂E有3种，B,D各有2种，有4×3×2×2=48种.故不同的涂色 方法有48+24=72种， 15.08=骨②25， (1)在aABC中，由2+ac=g2+c2及余弦定理得cosB=+c2-b_1, 2ac 而0<B<元， 所以B=号 (2)由sinA=2sinC,得a=2c,而b+ac=a2+c2,且b=2, 答案第3页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 则2+2c2=2e+c,解得c2=4,所以aABC的面积Sc=asin=csn25。 16.(1)4x+2y-3=0 (2)-2ln2 【详解】1)因为：了)-1-0=分所以切点坐标为： 又了心)=x-1-子，了0=-2，即为所求切线的斜率 所以切线方程为：y+号-2(-)，化简得：4红+2y-3=0 2=-1子2.-2,0) 由f(x)>0→x>2:由f(x)<0→0<x<2 所以f(x)在[1,2]上单调递减，在[2，©上单调递增 所以函数f(x)在区间l,©]上的极小值为f(2)=-21n2,也是最小值 n.片+r1@9 【详解10)由圆的简单几何性质，可知2=2，得6=1，将点9代入+y=1,得=5。 6 所以椭圆C的标准方程为号+y=1。 (2)由已知可得椭圆的右焦点为(2,0)，直线1的方程为y=x-√2， 联立椭圆方程，得4x2-62x+3=0,△=24>0， 设A),B(,4,所以5+与3 3 2 ,x=4 则4B=V2k-x=V反V+x)°-4xx=5, 点oQ0到直线1：y-5=0距离d,故8方hd-号 2 18.()取PA的中点为E,连接EB,EN,，又N为PD的中点，则EN1/AD且EN=AD, 又正方形ABCD中，M为BC的中点，则BMIIAD.且BM=AD, 2 所以EN IIBM且EN=BM,所以四边形EWMB为平行四边形， 故BE//MN,又因为BEc平面PAB,MNa平面PAB, 所以NII平面PAB: (2)取AB的中点为O,CD的中点为F,连接OF,OP, 因为PA=PB=√5，所以PO⊥AB, 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB, 答案第4页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以PO⊥平面ABCD,又OFc平面ABCD,所以PO⊥OF, 又四边形ABCD为正方形，所以OF⊥AB 以O为坐标原点，OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为PA=PB=5,AB=2,所以0P=PB2-0B2=5-P=2, A(-1.0.0).D(-L2.0).(l.i.0).p(0.0.2).x(-1. 所以W=1o).=(301丽=2-l0. 设平面AMN的法向量为m=(:,,), m·AM=2x,+y,=0 西=+=0◆5=2得%=3， 则 所以平面AMN的一个法向量为m=(2,-4,3). 设平面DMN的法向量为7=(x2,y2,22), 元.DM=2x2-y2=0 3 i.M=- +,=0令名=2，得%=45=3. 所以平面DMN的一个法向量为方=(2,4,3)， 所以os元列=m 4-16+9 3 同√4+16+9×√4+16+9 29 设二面角4-MW-D的大小为9，则si血8=一os元矿.8面 29 所以正弦值为8国 29 19.00 回-(3ew)an-e 【详解】1由题意甲同学第2局黑的照丰为月-号-》号-品。 所以乙同学第2局赢的概率为P=1-19=1Ⅱ 3030 （2)由已知i22时，月-+-)=+，所以-又R- 5 所以数列-哥}是首项为-官公比为亡的等比数列， 所以-(，所以=((+eN): 答案第5页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP (3)e9-ln(P+1)+k≥0即k≥ln(D+)-e, 令-h+-心，则r四=中e, 易知f'(x)是减函数，∫(0)=0，所以x>0时，∫'(x)<0,(x)单调递减， 显然P>0eN),因此要求n(D+1)-c”的最小值，即求的最大值， 又-(+eN) 为偶数时。月=甘宁白八，随着的增大月减小，所以<月≤月， 为商数时。月-名白，随着的增大，月增大，所以乃≤月<号 所以月=9是卧中的最大值， 301 所以2+e,放筋最小值为+》e品 2 答案第6页（共6页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP