第二章 等式与不等式 单元测试基础巩固卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高一必修一第二章“等式与不等式”基础巩固卷，90分钟150分，以基础巩固为核心，通过梯度化题型覆盖等式性质、不等式求解、恒成立问题及实际应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、方程解集、充分必要条件|基础设问，考察抽象能力与推理意识| |多选题|3/18|不等式解集与系数关系、命题真假判断|多选项设计，培养批判性思维| |填空题|3/15|参数求解、范围确定|简洁情境，强化符号意识| |解答题|5/77|恒成立问题、含参不等式、实际应用（矩形篱笆）|分层设问，结合实际情境，发展模型意识与应用能力|

2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第二章 等式与不等式 基础巩固卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列结论不一定正确的是    ． A. B. C. D. 2.已知关于的方程的解集为，则实数的值为    ． A. B. C. D. 3.若关于的方程的解集为单元素集合，则    ． A. B. C. 或 D. 且 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.“”是“一元二次不等式恒成立”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 7.若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.设，若关于的不等式在上有解，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 11.下列命题为真命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知不等式的解集为，则          ． 13.若实数，满足，，则的取值范围是          ． 14.若一元二次不等式有解，则的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知不等式的解集为． 求，的值 若不等式对于均成立，求实数取值范围． 16.本小题分已知函数． 若在上恒成立，求实数的取值范围； 若在上恒成立，求实数的取值范围． 17.本小题分已知关于的不等式：． 当时，解此不等式； 当时，解此不等式． 18.本小题分如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为． 若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小并求出最小值． 若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大并求出最大值． 19.本小题分 已知关于，的方程组的解都为正数． 当时，解此方程组； 求的取值范围； 已知，且，，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第二章 等式与不等式 基础巩固卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列结论不一定正确的是    ． A. B. C. D. 答案：D 分析：考查等式基本性质，注意除数不能为 0。 详解： A：由等式性质，两边同时加，得，正确。 B：，两边加，，正确。 C：，等式两边乘非负数，恒成立，正确。 D：当时，，式子分母为 0，无意义，不一定正确。 故选 D。 2.已知关于的方程的解集为，则实数的值为    ． A. B. C. D. 答案：C 分析：方程解集为空集代表方程无解；一元一次方程，时无解。 详解： 两边同乘 6： 整理： 方程解集为，即无解，则 。 故选 C。 3.若关于的方程的解集为单元素集合，则    ． A. B. C. 或 D. 且 答案：C 分析：方程解集为单元素集合，即仅有一个根；分一次方程（）、二次方程判别式讨论。 详解： ①当，方程变为，，只有一个解，满足条件。 ②当，一元二次方程，： 得。 综上或。选 C。 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 答案：A 分析：全称命题为假，则它的否定特称命题为真；二次恒大于 0 需要开口向上且。 详解： 命题 “，” 为假。 若该命题为真，二次函数开口向上，需要 命题为假，取补集：或，即。 故选 A。 5.“”是“一元二次不等式恒成立”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：B 分析：判断充分必要条件；一元二次不等式恒成立条件：且。 详解： 一元二次不等式恒成立，可推出。 但是仅有，不能保证不等式恒成立，例：，，但并不是全体实数都成立。 所以 “” 是 “一元二次不等式恒成立” 的必要不充分条件。选 B。 6.若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 答案：D 分析：基本不等式配凑，，则。 详解： ，。 由基本不等式：。 当且仅当即取等。 原式，最小值为。选 D。 7.若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 答案：C 分析：特称命题为假，则全称否定命题为真；二次恒大于等于 0，开口向上，判别式。 详解： “” 是假命题。 它的否定：，为真命题。 二次开口向上，故，解得。选 C。8.设，若关于的不等式在上有解，则(    ) A. B. C. D. 答案：C 分析：不等式在区间上有解，分离参数，，区分恒成立与有解。 详解： ，有解，变形： 只要即可。 函数在单调递增，取得最大值。 。选 C。 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，是基础题． 由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断． 【解答】 解：因为不等式的解集为， 所以，解得． 则，． 即． 故选：． 10.已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD  【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 选项，根据不等式的解集得到；，选项，转化为和是关于的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，，的关系，解不等式，得到的解集，并得到；选项，变形得到的解集即可． 【解答】 解：关于的不等式的解集为或， ，故A错误； ，选项，因为和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即， 又，解得，故B正确； 且，故C错误； 选项，不等式， 即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，故D正确． 故选：． 11.下列命题为真命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC  【分析】 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 选项用不等式的基本性质进行证明；选项，用作差法比较大小；选项，举出反例． 【解答】 解：因为，且，不等式两边同乘以得：，A正确； ，由于，，而可能大于，也可能小于，故B选项错误； 由，则，由不等式的基本性质得：，C正确； 当，时，满足，，但，D错误． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知不等式的解集为，则          ． 【答案】  【分析】 本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，属于基础题． 由题意可得，为方程的两根，运用韦达定理可得，，可得所求和． 【解答】 解：不等式的解集为， 可得，为方程的两根， 可得，， 解得，， 则． 故答案为：． 13.若实数，满足，，则的取值范围是          ． 【答案】  【分析】 本题主要考查了不等式的性质，属于基础题． 计算出，进而求出． 【解答】 解：因为，所以，故， 即． 故答案为：． 14.若一元二次不等式有解，则的取值范围是          ． 【答案】或  【分析】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题． 【解答】 解：不等式有解， ， 即， 解得或， 的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知不等式的解集为． 求，的值 若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】 解：由题意知，和是方程的两根， 所以， 解得； 由可知， 则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于， 解得， 综上，实数取值范围为．  16.本小题5分 已知函数． 若在上恒成立，求实数的取值范围； 若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 解：由题意，，解得， 实数的取值范围为． ，其图象的对称轴为直线． 由不等式在上恒成立， 可得，解得， 实数的取值范围为．  17.本小题分 已知关于的不等式：． 当时，解此不等式； 当时，解此不等式． 【答案】 解：当时，不等式， 整理得，解得或， 当时，原不等式解集为或； 当时，不等式， 整理得：， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为．  18.本小题5分 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙墙的长度没有限制的矩形菜园设菜园的长为，宽为． 若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小并求出最小值． 若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大并求出最大值． 【答案】 解：由已知可得，而篱笆总长为 又因为， 当且仅当时，即，时等号成立 所以菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为； 由已知得，而菜园面积为， 则， 当且仅当即，时取等号， 菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为． 19.本小题7分 已知关于，的方程组的解都为正数． 当时，解此方程组； 求的取值范围； 已知，且，，求的取值范围． 【答案】 解：当时，方程组化为， 得，，即，代入，得． 方程组的解为； 求解方程组，可得， 由题意得，解得， 即的取值范围是； ，且，，结合，得． ， ， ， 的取值范围为．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $