第二章 等式与不等式 单元测试培优提升卷-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高一年级必修一第二章等式与不等式培优提升卷，覆盖因式分解、不等式性质、充要条件等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|因式分解、不等式性质、命题真假判断|基础概念辨析，考查数学抽象能力| |多选题|3/18|解集分析、充要条件、命题否定|综合知识应用，培养逻辑推理意识| |填空题|3/15|解集与参数关系、取值范围|简洁情境下的运算求解，强化数学运算能力| |解答题|5/77|集合运算、不等式恒成立、企业成本利润问题|结合企业生产实际情境，体现数学建模与应用意识，注重规范表达|

2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第二章 等式与不等式 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将多项式进行因式分解，结果正确的是    ． A. B. C. D. 【答案】A 【分析】运用十字相乘法对二次三项式实施因式分解。 【详解】，故选 A。 2.已知，均为正数，且，则    ． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用基本不等式，结合分式变形判断选项。 【详解】已知，，由基本不等式得，即。 ，当且仅当取等号，C 正确，故选 C。 3.若，则下列结论中不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由分式不等式推出大小关系，结合不等式性质、绝对值三角不等式判断。 【详解】 由，可得。 A：，故，正确； B：，不等式两边同乘负数，不等号改变，，正确； C：两个负数相加，，正确； D：同为负数，，D 错误。故选 D。 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】全称命题为假，则其否定为真；一元二次恒大于 0 问题依靠判别式判断。 【详解】 若命题，为真， ，即，解得。 命题为假，取上述范围的补集：或，即，故选 A。 5.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A  【分析】本题主要考查了不等式的恒成立问题，考查了学生分类讨论思想． 对进行分类讨论，当时恒成立，时不等式不能恒成立，当时，只需求得的范围，最后综合得到答案． 【详解】 解：当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立， 需， 解得，所以， 综上可得． 故选A． 6.若正实数，满足，则当取最大值时，的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查了基本不等式，属基础题． 【详解】 解：， ，， 当且仅当时，等号成立． 7.若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】本题主要考查了必要不充分条件的应用，属于基础题．不等式的解集为，依题意有，可求实数的范围． 【详解】 解：由不等式，可得， 则有，所以． 故选：． 8.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 含参不等式对一切实数恒成立，对二次项系数分类讨论。 【详解】时，不等式化为常数不等式，成立； 时，二次函数恒小于 0，则，解得。 合并得到，选 D。 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】BCD  【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，是基础题． 由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断． 【详解】 解：因为不等式的解集为， 所以，解得． 则，． 即． 故选：． 10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则(    ) A. B. 的解集是 C. D. 的解集为 【答案】AD  【分析】 本题考查解不含参的一元二次不等式，二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属于中档题． 利用一元二次不等式的解集和根与系数关系，可得，且，然后代入选项，即可判断选项正误． 【详解】 解： 由题知，，且， 即得，，故A正确； 由可得， 即，所以，故B错误； 对于，，故C错误； 由可得， 所以， 解得，故D正确． 故选：． 11.下列结论中，正确的结论是(    ) A. 若，是的充要条件 B. 命题，则命题的否定是， C. 若且，则 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD  【分析】 本题考查充要条件及其判断，全称量词命题与存在量词命题的否定，利用作差法作商法比较代数式的大小，二次方程根的分布，属于中档题． 根据不等式的性质及充要条件的定义可判断；根据存在量词命题的否定可判断； 利用作差法可判断；利用根与系数的关系和充要条件的定义可判断． 【详解】 解：对，若，，，， 符合且， 但不符合，故A错误； 对，命题， 则命题的否定是，， 故B正确； 对，， 因为且， 故，即，故C错误； 对， 关于的方程有一正一负根， 所以，解得， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确． 故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知不等式的解集为，则          ． 【答案】  【分析】 本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程的关系，属于基础题． 由题意可得，为方程的两根，运用韦达定理可得，，可得所求和． 【详解】 解：不等式的解集为， 可得，为方程的两根， 可得，， 解得，， 则． 故答案为：． 13.已知，则的取值集合是          ． 【答案】  【分析】 本题考查利用不等式的性质求取值范围，属于基础题． 利用不等式的性质即可求解 【详解】 解：由可得， 因为， 所以，故的取值集合是． 故答案为：． 14.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是            ． 【答案】  【分析】 本题考查一元二次不等式存在性或恒成立问题，“对勾”函数的图象与性质，属于基础题． 通过参变分离将不等式变形为，进而将恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合函数的单调性得，故而得解． 【详解】 解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令， 因为 由对勾函数性质可得函数在时单调递减， 所以， 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题5分 已知集合，． 求， 设集合，且，求实数的取值范围． 【答案】 解：依题意得：， 或， 所以， 因为， 所以； 因为，所以， 若，则， 解得， 若，则， 解得， 综上所述，实数的取值范围为．  16.本小题分 已知集合，． 若，求，； 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 解：若，则， ， 所以， ； 若“”是“”的充分条件， 则， 因为，， 所以， 解得， 故实数的取值范围为  17.本小题分 已知． 当时，求满足的值的集合； 求满足的值的集合． 【答案】 解：当时，， 解得， 即不等式的解集为； 因为， 若，则，解得； 若，则，即，解得或； 当时，则，可得， 方程的根为，， 若，即，此时，可得不等式的解为； 若，此时，此时不等式无解，即解集为； 若，即，此时，可得不等式的解为； 综上所述：时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为．  18.本小题分 已知函数，且关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 解：由题意得，是方程的根， 由根与系数的关系得， 所以， 又，解得， 所以，，； 由题意得，在上恒成立， 令，只需即可， ， 当且仅当，即时取等号， ， 故实数的取值范围是．  19.本小题7分 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本单位：万元由两部分构成： 固定成本与生产产品的数量无关：万元； 生产所需材料成本：万元，单位：万套为每月生产产品的套数． 该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ 若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】 解：由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为万元万套； 由题设，该套装每月的利润为， 所以， 可得， 所以，即该企业至少要生产万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级必修一数学单元自测(人教B版专用) 第二章 等式与不等式 培优提升卷 建议用时：90分钟，满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将多项式进行因式分解，结果正确的是    ． A. B. C. D. 2.已知，均为正数，且，则    ． A. B. C. D. 3.若，则下列结论中不正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 5.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. 或 D. 或 6.若正实数，满足，则当取最大值时，的值是(    ) A. B. C. D. 7.若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是(    ) A. B. C. D. 8.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.不等式的解集是，对于系数，，，下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则(    ) A. B. 的解集是 C. D. 的解集为 11.下列结论中，正确的结论是(    ) A. 若，是的充要条件 B. 命题，则命题的否定是， C. 若且，则 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知不等式的解集为，则          ． 13.已知，则的取值集合是          ． 14.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 求， 设集合，且，求实数的取值范围． 16.本小题分 已知集合，． 若，求，； 若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 17.本小题分 已知． 当时，求满足的值的集合； 求满足的值的集合． 18.本小题分 已知函数，且关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 当时，恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题7分 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本单位：万元由两部分构成： 固定成本与生产产品的数量无关：万元； 生产所需材料成本：万元，单位：万套为每月生产产品的套数． 该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ 若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $