专题02 定义与命题及证明 重难点题型专训 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学讲义围绕“定义与命题及证明”构建知识体系，通过梳理定义、命题、证明等核心知识点，用表格对比真命题与假命题的特征及判断方法，结合即时训练题呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，11大基础题型覆盖判断命题、举反例等，2大提高题型聚焦多条件推理与构造反例，培养推理意识与抽象能力。自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学，提升不同层次学生逻辑思维。

专题02 定义与命题及证明重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 2 题型三、判断命题真假 3 题型四、举例说明假（真）命题 4 题型五、举反例 5 题型六、定理与证明 6 题型七、根据给出的论断组命题并证明 7 题型八、逻辑推理与论证 8 题型九、三角形内角和定理的证明 9 题型十、三角形的外角的定义及性质 10 题型十一、以代数为背景的推理与论证 11 第二部分·练提高题型 题型一、多条件命题推理证明 1 题型二、构造反例 2 第三部分・自我检测 知识点01 定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义．根据命题的定义，命题是能够判断真假的陈述句，选项A是疑问句，不符合命题要求，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、“你饿了吗？”是疑问句，不是陈述句，故不是命题，故该选项符合题意； B、线段的垂线有无数条，是命题，故该选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，故该选项不符合题意； D、相等的角一定是对顶角，是命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级下·云南昆明·期中）“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 知识点02 证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 2．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【基础题型一 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·甘肃陇南·阶段检测）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，C，D都对对应事件作出了明确判断，都属于命题； 而选项B连接两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题． 【例2】（7.2定义与命题第1课时（课前练））判断一件事情的句子，叫做_______． 【答案】命题 【解析】略 1．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的含义与判断，根据命题的含义逐一分析判断即可． 【详解】解：①两点之间线段最短是命题； ②不许大声喧哗不是命题； ③连接P，Q两点不是命题； ④花儿在春天开放是命题； ⑤不相交的两条直线叫做平行线是命题； ⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？不是命题． 故选：B 2．（25-26七年级下·全国·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了________． 像这样判断一件事情的语句，叫作________． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是________． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就________命题． 【答案】 判断 命题 命题 不是 【解析】略 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】结合图形对三角形，平行四边形，梯形进行定义即可． 【详解】（1）解：该图形为三角形，定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形； （2）解：该图形为平行四边形，定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四百年行； （3）解：该图形为梯形，定义：在同一平面内，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形． 【点睛】本题主要考查了命题与定义，熟知三角形，平行四边形，梯形的定义是解题的关键． 【基础题型二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线，故D正确，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查命题的概念，熟记概念是关键． 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式：____________________． 【答案】如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式是：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 故答案为：如果一个数是有理数，那么这个数是有限小数． 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 【答案】A 【分析】根据命题用“如果……那么……”的形式叙述进行分析即可． 【详解】题目中的命题用“如果……那么……”的形式叙述为“如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等”，所以属于题设部分． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的题设和结论，解题的关键是先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再分析题设和结论． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 【基础题型三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】根据余角的定义、平行线的性质、线段的基本性质、对顶角的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】A、 互余的两个角和为，既可以是和（不相等），也可以是和（相等），因此互余的两个角不一定相等，是真命题，不符合题意； B、 只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题未给出两直线平行的前提，内错角不一定相等，是假命题，符合题意； C 、两点之间，线段最短是几何基本事实，是真命题，不符合题意； D 、对顶角相等是定理，是真命题，不符合题意． 【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期末）“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】先明确命题的条件与结论，根据等量代换验证结论是否成立，即可判断命题的真假； 【详解】解：由题意得，该命题的条件为，，根据等量代换可得，结论成立，因此该命题是真命题． 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行公理、垂线的性质、同位角的性质、实数与数轴的关系，逐个判断命题真假即可得到答案． 【详解】解：①由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是真命题； ②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是真命题； ③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，故③是假命题； ④实数与数轴上的点一一对应，所有实数都可以用数轴上的点表示，故④是真命题； 综上，真命题共有3个． 2．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）命题“垂线段最短”是_______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质进行解答即可得 【详解】解：直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，所以命题“垂线段最短”是真命题． 故答案为：真． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 【基础题型四 举例说明假（真）命题】 【例1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查判定命题是假命题的一个常用方法——举反例．反例是个实例，它要符合命题的题设，不符合命题的结论．要证明命题“若，则”为假，需举反例，即满足 但 的一组即可，逐一验证． 【详解】解：A、，且，不能作为反例，不符合题意； B、，不满足前提，不能作为反例，不符合题意； C、，，，，即 ，但 ，故能作为反例，符合题意； D、，且，不能作为反例，不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要证明该命题为假命题，只需举出满足命题条件，不满足命题结论的反例即可． 命题条件为为有理数且，命题结论为，因此只需找到满足条件不满足结论的一组即可． 【详解】解：取，， ，都是有理数， ，， 满足， 但，即不满足， ∴可作为该命题的反例． 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的反例． 【详解】解：A、，和为，且，满足反例条件． B、，和为90°，但，支持原命题． C、，和为，不满足条件． D、，和为，不满足条件． 故选A． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 3．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段检测）已知命题“异号两数相加和为零．” (1)将该命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断该命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1) 由题意得：如果两个数异号，那么它们的和为零； (2) 异号两数相加和为零，为假命题；反例：． 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型五 举反例】 【例1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一组相等的角，但不是对顶角，能作为一个反例； B、是一组相等的角，也是对顶角，不能作为一个反例； C、不是一组相等的角，不能作为一个反例； D、不是一组相等的角，不能作为一个反例． 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了举反例，明确解题方法是关键； 要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足，但的例子，据此逐项进行验证即可． 【详解】解：当时，，不满足，所以A不符合题意； 当时，，不满足，所以B不符合题意； 当时，，且，结论成立，不能作为反例，所以C不符合题意； 当时，，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求，所以D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）命题“若，则．”是假命题，举一个反例时，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例． 任举一个小于等于的数即可． 【详解】解：当时，满足，但此时， 故答案为：（答案不唯一） 3．（25-26七年级下·河北承德·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】(1)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等 (2)是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 【详解】（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 【基础题型六 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【基础题型七 根据给出的论断组命题并证明】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：在中，，，分别是和的角平分线， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【分析】根据命题先设置出题目条件和所需证明的结论，再利用全等三角形的判定与性质作答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形两底角的角平分线相等的证明方法，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；三角形内角和定理；两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 【分析】由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，由三角形内角和定理求出，即可证明，由以上证明即可得到一个真命题． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． ∴． 命题为：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】 解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】略 3．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 【基础题型八 逻辑推理与论证】 【例1】（2026·湖南·模拟预测），，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 【例2】（2026·四川甘孜·模拟预测）桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 【答案】 【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1次和2次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3次可满足条件，因此最少翻动次数为3. 【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次； 当共6张牌，每次翻动4张时： 若翻动1次，仅4张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余4张；第二次不翻第1、3张，翻其余4张；第三次不翻第2、3张，翻其余4张；各牌翻动次数为1次或3次，均为奇数，可使所有牌反面向上， 故至少翻动3次； 当共张牌，，每次翻动张时： 若翻动1次，仅张被翻动，剩余2张未翻动，次数为偶数，不满足要求； 若翻动2次，最多仅能使4张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求； 构造3次翻动：第一次不翻第1、2张，翻其余张；第二次不翻第1、3张，翻其余张；第三次不翻第2、3张，翻其余张； 各牌翻动次数：第1、2、3张各翻动1次，其余牌各翻动3次，所有次数都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3次. 1．（2026·福建福州·三模）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛，该竞赛共有十道判断题，三位同学的答题情况如下： 题号选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 √ √ × √ × √ × × √ × 乙 √ √ × × √ × √ √ × × 丙 × √ √ × √ √ √ × √ √ 考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是（    ） A．√、√、×、×、√、√、√、×、√、× B．√、√、×、×、√、×、√、×、√、× C．√、√、×、×、√、√、√、√、√、× D．√、×、×、×、√、√、√、√、√、× 【答案】A 【分析】根据表格分析三个人答案相同和不同的题目，并结合都答对了7道题，分析即可得出结论． 【详解】解：由表格信息： 甲和乙1、2、3、10题答案相同，分别为：1√，2√，3×，10×； 乙和丙2、4、5、7题答案相同，分别为：2√，4×，5√，7√； 甲和丙2、6、8、9题答案相同，分别为：2√，6√，8×，9√； 两两都有4题答案相同，6题不同， ∵三个人都答对了7道题， ∴所有4题相同的答案均答对，6题不同的各自对了3题， ∴1～10题的正确答案依次是√、√、×、×、√、√、√、×、√、×， 故选：A． 【点睛】本题考查简单的合情推理，分析两两答题相同和不同的个数是解题关键． 2．（2025七年级下·重庆·专题练习）四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询问各自的名次． A说：“是第一名，我是第三名”． 说：“我是第一名，是第四名”． 说：“是第二名，我是第三名？” 是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这些信息，请你推断出获得第一名的是___________． 【答案】 【分析】本题考查了逻辑推理，解题的关键是根据“你们三个都说对了一半”这一条件进行假设推理． 通过假设A说的话的前半部分或后半部分正确，结合其他条件进行推理，判断是否符合“ 【详解】三人都说对了一半“的情况，从而得出第一名是谁， 解：假设A说的前半句是第一名是正确的，那么A是第三名是错误的， 那么说他是第一名是错误的，是第四名是正确的， 那么说的是第二名是错误的，而是第三名也是错误的，故假设不成立； 那么假设A说的A是第三名是正确的，C是第一名错误的， 那么说的他是第三名是错误的，是第二名是正确的， 那么说的是第四名是错误的，是第一名是正确的， 则第一名是． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·北京·课堂例题）下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 【答案】 解：画图如下： 【分析】该题考查了推理，解决此类关键是通过找出它们的共同之处，从而求出各个字母分别表示什么．先观察三个图形，根据它们的共同之处分别求出A、B、C、D分别表示什么，再求和表示什么，画出图形即可． 【详解】解：根据题干分析A是表示横线，B是表示圆，是表示箭头，D是表示三角形 【基础题型九 三角形内角和定理的证明】 【例1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 【答案】三角形内角和等于180° 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答． 【详解】解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向， ∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C， ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为180°， ∴这种变化说明三角形内角和等于180°． 故答案为：三角形内角和等于180°． 【点睛】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】解：证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整，故选项A正确，B错误， 三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明，证法2不能证明该定理，故选项C错误，不符合题意； 如图，延长到点E，过点C作，    ∴， ∴， ∴在证明该定理时能同时添加证法1与证法2中的辅助线，故选项D错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 2．（25-26八年级上·北京·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC=___． 【答案】75° 【分析】由∠F=30°，∠EAC=45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC=90°，易得∠ABC的度数． 【详解】解：∵∠F=30°，∠EAC=45°， ∴∠ABF=∠EAC-∠F=45°-30°=15°， ∵∠FBC=90°， ∴∠ABC=∠FBC-∠ABF=90°-15°=75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，注意数形结合思想的应用． 3．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1) 证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 【基础题型十 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，是上一点，是上一点，、相交于点，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据三角形外角的性质，先由和求出的度数，再由和求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， 是的外角， ． 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，平分交于点，平分交于点，点在直线上且，直线和相交于点，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】先设角表示出相关角度，利用得到同旁内角互补，角平分线拆分角度，最后通过三角形外角性质推导出的值． 【详解】解：设， 由，得， ， ，两直线同旁内角互补， ， 平分， ， 又， ， 平分， ， 在中，由三角形外角性质：，其中， 则． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理计算即可； （3）根据角平分线的定义求出，可知只能是或，根据三角形外角的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出，则，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的平分线，相交于点， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分外角，， ∴，即， 因此只能是或． 根据三角形外角的性质得到， ∵平分外角，平分外角， ∴， ∴，即， ∴， 分情况讨论： 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述，的度数为或． 【基础题型十一 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2026·湖南长沙·一模）将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【答案】D 【分析】根据甲乙丙三位同学的得分情况分析，只能是1,2,5的组合，且必须是三个数字的和，得到唯一组合，根据黄卡片的张数不超过红卡片的张数，分析可得黄卡数量可能是3张或2张或1张，逐项判断分析可得结论． 【详解】解：每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分， 结果甲得6分，， 甲同学拿了3张绿卡， 乙得11分，， 乙同学拿了2张红卡和一张黄卡，故A选项正确； 丙得9分，， 丙同学拿了2张绿卡和一张红卡， 已经分得9张卡片，分别是5张绿卡，3张红卡，1张黄卡，还有3张卡片给丁同学， 已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，则黄卡数量可能是3张或2张或1张， 若剩余卡片中全部是红卡，则红卡共6张，大于绿卡数量，故D选项不正确； 若剩余卡片中2张黄卡，1张绿卡，则丁通行可能得4分，故B选项正确； 若剩余卡片中红，黄，绿各一张，则丁同学可能同时拿三种花色卡片，故C选项正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加法，逻辑推理，根据已知数据推理是解题的关键． 【例2】（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 【答案】258 【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果． 【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列： 密码由2、5、8组成，共有6种排列： 258，285，528，582，825，852 根据婷婷的条件：2不在末位； 排除末位为2的排列： ∴剩余候选：258，285，528，825， 应用乐乐的条件：5和8相邻， ∴剩余候选：258，285 应用香香的条件：中间位不是8， 最终剩余：258； 故答案为：258． 1．（2026八年级上·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 2．（2026·北京门头沟·二模）“端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化．某学校组织“端午”知识测试．测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．现有甲，乙，丙，丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下： 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × × √ × × ？ 根据以上结果，可以推断丁的得分是______分． 【答案】5 【分析】先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：1×，2√，3×，4√，5×，6×，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：1×，2√，3×，4√，5×，6×， 所以丁做对了5道，得了5分， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【答案】(1)证明：因为，，， 即A、A、B、B、B、B、B、C、C、C， ①擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、B、B、B、C、C、C、C、C， ②再擦去A、B，写上C、C， 即为B、B、B、C、C、C、C、C、C、C， ③再擦去B、C，写上A、A， A、A、B、B、C、C、C、C、C、C， ④再擦去A、B，写上C、C， 即为A、B、C、C、C、C、C、C、C、C， ⑤再擦去A、B，写上C、C， 即为C、C、C、C、C、C、C、C、C、C， 故可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． (2)证明：因为，， 故x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况， 因此x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同， 假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同， 进一步假设，先连续擦去y次A、B，写上C、C， 得到个A，0个B，个C， 若，则此时全是C，即可证明， 若，因为x，y除以3余数相同，故是3的倍数，假设， 此时把其中3个A，0个B，m个C看作一个小组（m按照A的个数等比例取）， 然后擦去A、C，写上2个B，即为2个A，2个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为1个A，1个B，个C， 再擦去A、B，写上2个C，即为0个A，0个B，个C， 重复上述操作k次，就把个A全部消除，最后得到2026个C， 所以当时，可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【分析】（1）通过分步实际操作即可验证； （2）由，可得x，y，z除以3的余数不可能为0，1，2的某种情况，则x，y，z除以3的余数中，必有两个的余数相同，假设余数相同的两个字母为A、B，即x，y除以3余数相同，即可验证． 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型一 多条件命题推理证明】 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 1．（2026·河北邯郸·一模）定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理证明的常见思路去判断即可． 【详解】三角形外角和性质是建立在三角形内角和定理的基础上的，不能循环证明， 故A、B都不符合题意； 证法2用严谨的推理证明了该定理，故不需要分三角形的形状， 故C不符合题意；D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握严谨的定理证明是解题的关键． 2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏： ①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块； ②红桃右边有且仅有一张方块； ③6的左边至少有一张是8； ④8的右边至少有一张是8． 请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号） ①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6 【答案】③ 【分析】由于红桃右边有且仅有一张方块，所以红桃是最左边的一张；红桃右边的两张牌中也有一张是红桃；由于6的左边至少有一张是8，所以6是最右边的一张，由于8的右边至少有一张是8，即最左边是红桃8；中间是方块8，最右边是红桃6． 【详解】解：一共有三张牌：由条件②即可判断红桃右边有两张牌，一张红桃，一张方块，由条件③即可判断6的左边有两张；由条件④即可判断8的右边有两张，所以三张牌的顺次为：红桃8，方块8，红桃6． 故答案为③． 【点睛】本题考查的是逻辑推理，完成本题的关键是抓住方位与张数来进行分析推理． 3．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【答案】解：因为的平分线与平分线交于， 所以，（角平分线的定义）， 因为是的外角，是的外角， 所以，，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 所以． 【分析】根据三角形外角的性质可得，，再利用角平分线的定义即可解答 【详解】略 【提高题型二 构造反例】 【例1】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反例需要满足命题条件，且不满足命题结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】反例需要满足条件，且不满足结论． 选项B、D中，，均不满足， B、D不符合要求，不是反例； 选项C中，满足，且，满足命题结论， C不是反例； 选项A中，满足，且，不满足， A是符合要求的反例． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）能说明命题“若，则”是假命题的一组的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、举反例等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 通过举反例说明命题为假，当a为负数且绝对值大于b时，满足但． 【详解】解：取，则， 满足，但，即不成立，故命题为假命题， 故答案为：，1（答案不唯一）． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题是假命题，判断哪个选项不能作为反例证明命题“一个角的补角大于这个角”为假，需找出补角大于角的情况．根据补角性质，当角时，补角角． 【详解】一个角的补角为，命题“补角大于角”即，解得：， 当时，补角角，命题不成立，此类情况可作为反例， A选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故A选项不符合题意； B选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，补角，补角角，命题成立，不能说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故C选项符合题意； D选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是______．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意，当时， 满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 【答案】(1)假命题，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角 (2)真命题 【分析】（1）两个锐角的和可以是锐角，也可以是直角，也可以是钝角，据此求解即可； （2）根据0的意义可得答案． 【详解】（1）解：命题“两个锐角的和是锐角”是一个假命题，例如，满足都是锐角，但是不满足与的和是锐角； （2）解：命题“0既不是正数，也不是负数”是真命题． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的角平分线，连接，且，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角和定理，做出正确的辅助线是解题的关键． 延长交于点，利用三角形外角和定理即可求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如下图所示：延长交于点， ，， ， ， ； 故选：C． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 【答案】 【分析】连接，先得到四边形内角和等于，再由三角形的外角性质得到，然后代入求解即可． 【详解】解：连接， ∴ ∴ ∵ ∴ ， 即题干图中． 8．（2026·北京西城·模拟预测）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小李共当裁判局，小刘、小黄分别进行了局、局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了__________局比赛，其中第局比赛的裁判是__________． 【答案】 小黄 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键是根据题意，分析其存在的规律和方法； 先确定小刘和小黄之间打了局，小刘和小李之间打了局，小黄和小李打了局，进而确定三人一共打的局数和小黄当裁判的局数即可得解； 【详解】解：小李共当裁判局， 小刘和小黄之间打了局， 小刘、小黄分别进行了局、局比赛， 小刘和小李之间进行了局比赛， 小黄和小李之间进行了局比赛， 三人一共打了局比赛， 小刘打了局比赛、小黄打了局比赛， 小刘当裁判局，小黄当裁判局， 而小李当裁判局，从到共个奇数，个偶数， 每一局都有胜负， 不会出现连续做裁判的情况， 小黄当裁判的局为奇数局， 第局比赛的裁判是小黄， 故答案为：；小黄 9．（26-27八年级上·全国·课堂例题）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 10．（24-25八年级上·北京·阶段检测）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 【答案】 7 12 【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键． （1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟）， 故答案为：7； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： ， 由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟， 故答案为：12． 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 13．（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】略 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？ 【答案】丙说了实话；是丁闯了祸． 【分析】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证． 运用反证法的方法先分别假设甲说的是实话、乙说的是实话、丁说的是实话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，则只有丙只有一个人说了实话． 【详解】解：假设甲说的是实话，“是乙不小心闯的祸．”，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 假设乙说的是实话，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 假设丁说的是实话，乙说的是假话，则丙说：“乙说的不是实话．”应该是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 所以四个小朋友中只有一个人说了实话，这个小朋友是丙，则丁说的是假话，可知是丁闯了祸． 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点，，分别在的边，，上，连接，． (1)若，求证； (2)写出，，，的和，并说明理由． 【答案】(1)∵是的外角， ∴，即． ∵， ∴． (2)． 理由：连接． 在中，， 在中，， ∴， 即． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质可得，结合已知，即可得证； （2）连接．根据三角形内角和定理可得，，两式相加，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 定义与命题及证明重难点题型专训（2个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、判断是否是命题 1 题型二、写出命题的题设与结论 2 题型三、判断命题真假 3 题型四、举例说明假（真）命题 4 题型五、举反例 5 题型六、定理与证明 6 题型七、根据给出的论断组命题并证明 7 题型八、逻辑推理与论证 8 题型九、三角形内角和定理的证明 9 题型十、三角形的外角的定义及性质 10 题型十一、以代数为背景的推理与论证 11 第二部分·练提高题型 题型一、多条件命题推理证明 1 题型二、构造反例 2 第三部分・自我检测 知识点01 定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）下列语句不是命题的为（ ） A．你饿了吗？ B．线段的垂线有无数条 C．两点之间，线段最短 D．相等的角一定是对顶角 2．（25-26七年级下·云南昆明·期中）“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是______． 知识点02 证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【基础题型一 判断是否是命题】 【例1】（25-26七年级下·甘肃陇南·阶段检测）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【例2】（7.2定义与命题第1课时（课前练））判断一件事情的句子，叫做_______． 1．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列语句属于命题的有（   ） ①两点之间线段最短；②不许大声喧哗；③连接P，Q两点；④花儿在春天开放；⑤不相交的两条直线叫做平行线；⑥无论n取怎样的自然数，式子的值都是质数吗？ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·全国·课前预习）下列语句在表述形式上，有什么共同特点？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （3）对顶角相等； （4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式． 你的发现：这些语句都是对一件事情作出了________． 像这样判断一件事情的语句，叫作________． 注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是________． ②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就________命题． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）给下列各题中的图形命名，并给出名称的定义． (1) (2) (3) 【基础题型二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26七年级下·河北邢台·期中）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（    ）． A．两条直线互相平行 B．两条直线互相垂直 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【例2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）请将命题“有理数是有限小数”改写成“如果…那么…”的形式：____________________． 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”（    ） A．属于题设部分 B．既属于题设部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于题设部分也不属于结论部分 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是______，结论是______． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【基础题型三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期末）“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）命题“垂线段最短”是_______命题．（填“真”或“假”） 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【基础题型四 举例说明假（真）命题】 【例1】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）要证明命题“若，为有理数，且，则”为假命题，可以举的反例为__________．（写出一种情况即可） 1．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段检测）已知命题“异号两数相加和为零．” (1)将该命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断该命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． 【基础题型五 举反例】 【例1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 1．（24-25七年级下·山东泰安·期末）下列选项中可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）命题“若，则．”是假命题，举一个反例时，可以是______． 3．（25-26七年级下·河北承德·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【基础题型六 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【例2】（25-26八年级上·全国·单元复习）定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【基础题型七 根据给出的论断组命题并证明】 【例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【例2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）填空，完成下面的证明过程． 已知：如图，，的平分线与的平分线交于点． 求证：． 证明：∵， ∴ （   ）， ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∵（   ）， ∴ ． ∴． 请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题： ． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 3．（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【基础题型八 逻辑推理与论证】 【例1】（2026·湖南·模拟预测），，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（2026·四川甘孜·模拟预测）桌上有6张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6张扑克牌都反面向上；若桌上有（）张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意张，则至少翻动______次后，能使所有的牌都反面向上． 1．（2026·福建福州·三模）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛，该竞赛共有十道判断题，三位同学的答题情况如下： 题号选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 √ √ × √ × √ × × √ × 乙 √ √ × × √ × √ √ × × 丙 × √ √ × √ √ √ × √ √ 考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，1～10题的正确答案依次是（    ） A．√、√、×、×、√、√、√、×、√、× B．√、√、×、×、√、×、√、×、√、× C．√、√、×、×、√、√、√、√、√、× D．√、×、×、×、√、√、√、√、√、× 2．（2025七年级下·重庆·专题练习）四位同学参加比赛并包揽了前四名．其他同学向他们询问各自的名次． A说：“是第一名，我是第三名”． 说：“我是第一名，是第四名”． 说：“是第二名，我是第三名？” 是他们中最诚实的一位，从不说谎，他听了其他三位的发言后说：“你们三个都说对了一半．”根据这些信息，请你推断出获得第一名的是___________． 3．（25-26七年级下·北京·课堂例题）下面三组图形是由，，，四个图形（线段、箭头、三角形或圆）组合而成的，组合用“”表示，读懂它们的关系后，请画出和表示的两个组合图形． 【基础题型九 三角形内角和定理的证明】 【例1】（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了_________． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图1，有锐角．求证：．    证法1：如图2，过点C作． ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换） 即． 证法2：如图3，延长到点E， ∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∵（邻补角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B．证法1严谨地推理证明了该定理 C．证法2简单合理地证明了该定理 D．在证明该定理时不能同时添加证法1与证法2中的辅助线 2．（25-26八年级上·北京·期中）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC=___． 3．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【基础题型十 三角形的外角的定义及性质】 【例1】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，将一个含角的直角三角板和直尺按图示方式摆放，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）在中，是上一点，是上一点，、相交于点，，，，则的度数为__________． 1．（2026·江苏扬州·模拟预测）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，平分交于点，平分交于点，点在直线上且，直线和相交于点，则的度数为_____________． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）【初步认识】 (1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____； 【继续探索】 (2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数． 【基础题型十一 以代数为背景的推理与论证】 【例1】（2026·湖南长沙·一模）将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【例2】（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是__________． 1．（2026八年级上·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 2．（2026·北京门头沟·二模）“端午节”是中国的传统佳节，为了传承中华民族传统文化．某学校组织“端午”知识测试．测试的试题由6道判断题组成，被测试人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．现有甲，乙，丙，丁四位同学对6道试题的判断与得分的结果如下： 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × × √ × × ？ 根据以上结果，可以推断丁的得分是______分． 3．（25-26八年级上·山东济南·期中）现在黑板上写有x个字母A，y个字母B，z个字母C，小明每次在黑板上擦去两个不同的字母并在空出来的位置补上第三个字母，例如擦去一个A和一个B并写上两个C． (1)若，，，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母； (2)若，试证明可通过有限次操作使黑板上只有一种字母． 【提高题型一 多条件命题推理证明】 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 1．（2026·河北邯郸·一模）定理：三角形的内角和等于． 已知：的三个内角为，，． 求证：． 证法1 证法2 如图1，延长到点，则（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 如图2，过点作，∵， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）． 下列说法正确的是（    ） A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理 B．证法1用合理的推理证明了该定理 C．证法2还需证明其他形状的三角形，该定理的证明过程才完整 D．证法2用严谨的推理证明了该定理 2．（25-26七年级下·北京平谷·期末）一款推理类游戏，是用剧本虚拟出一场故事，玩家根据演绎和推理案件过程，得出结论．类比，此游戏过程，请同学们用扑克牌做一个简单的推理游戏： ①从左到右有三张不重复的扑克牌，这三张牌中不是红桃就是方块； ②红桃右边有且仅有一张方块； ③6的左边至少有一张是8； ④8的右边至少有一张是8． 请写出这三张牌从左到右的顺序可能是：___．（填写正确的序号） ①红桃8，方块6，方块8②红桃8，红桃6，方块8③红桃8，方块8，红桃6 3．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）完成填空，并补全证明过程： 如图，是的一个外角，，的平分线与的平分线交于点，求的度数． 解：因为的平分线与的平分线交于， 所以， ．（ ）（填推理依据） 因为是的外角，是的外角， 所以 ， ． （ ）（填推理依据） … 【提高题型二 构造反例】 【例1】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中可以为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）能说明命题“若，则”是假命题的一组的值为______，______． 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是______．（写出一个值即可） 3．（25-26七年级下·陕西榆林·阶段检测）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例． (1)两个锐角的和是锐角； (2)0既不是正数，也不是负数． 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 2．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，是的角平分线，连接，且，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 5．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 6．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是______，结论是______，这是一个______命题（填“真”或“假”）． 7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，的度数为_______°． 8．（2026·北京西城·模拟预测）小黄、小刘、小李三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现小李共当裁判局，小刘、小黄分别进行了局、局比赛，在这半天的训练中，三人共进行了__________局比赛，其中第局比赛的裁判是__________． 9．（26-27八年级上·全国·课堂例题）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 10．（24-25八年级上·北京·阶段检测）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 12．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 13．（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？ 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，点，，分别在的边，，上，连接，． (1)若，求证； (2)写出，，，的和，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $