第一章全等三角形 尺规作图培优专题讲义2026-2027学年浙教版数学八年级上册

该初中数学讲义以“全等背景下的尺规作图”为核心，按“基本作图-题型应用”逻辑构建知识体系，通过步骤分解图呈现作线段、作角、垂直平分线、角平分线等基本作图方法，结合例题示范梳理三角形常规作图、性质计算、压轴探究的题型脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如三角形角平分线作图巩固技能，性质计算题结合垂直平分线性质求周长培养推理意识，压轴题如“倍角三角形”探究发展创新意识。典型例题覆盖不同难度，帮助基础学生掌握方法，优秀学生深化思维，为教师分层教学提供精准支持。

全等背景下的尺规作图专项训练 基本作图一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a.求作：线段AB,使AB =a. 作法：1)作射线AP; 2) 在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。 基本作图二：作一个角等于已知角。 已知：如图（1)，。求作：某个角等于 作法：如图（2)， 1）作射线PQ: 2）在图（1）上，以0为圆心，任意长为半径作弧， 交0M于点A，交ON于点B； 3）以P为圆心，OA的长为半径作弧，交PQ于点C; 4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D 5）过点D作射线PR 则∠CPD就是所要作的角. 基本作图三：作已知线段的垂直平分线。 已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线。 作法： 1）以A为圆心，取比线段AB长的长度为半径， 在线段AB的上方和下方作弧。 2）以B为圆心，取与1）等长的半径，在线段AB的上方和下方作弧，与1）作的弧分别交于点C和点D。 3）过点C和点D作直线CD。则直线CD就是所要求作的垂直平分线， 基本作图四：作已知角的角平分线 已知：如图，∠AOB求作：射线OP，使之∠AOP=∠BOP （即OP平分∠AOB）。 作法： 1）以0为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于点M，点N。 2）分别以M，N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧 两弧交∠AOB内于P： 3）作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题型一：三角形常规尺规作图 【例1-1】尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 【例1-2】已知（如图），用三种不同的方法作，使．你认为哪一种作法比较简便？ 题型二：尺规作图性质计算 【例2-1】（（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 【例2-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【例2-3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【例2-4】（（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连结，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． 若，则________cm． 探究提升： （3）小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决： 如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点，并求出的长．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 【例2-5】（（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 【例2-6】（（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，点D在上，分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点，连接交于点P． (1)连接，根据作法，完成推理． 由题意得为线段BD的________， ________， 为等腰三角形． (2)若，求的度数． 题型三：压轴探究-新概念阅读型 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期中）据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形” 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 任务一 尺规作图：如图，中，，，请用直尺和圆规将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 任务二 已知是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中一个内角的两倍，试确定的取值范围，并说明理由． 任务三 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，延长到点，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等背景下的尺规作图专项训练 基本作图一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a.求作：线段AB,使AB =a. 作法：1)作射线AP; 2) 在射线AP上截取AB=a.则线段AB就是所求作的图形。 基本作图二：作一个角等于已知角。 已知：如图（1)，。求作：某个角等于 作法：如图（2)， 1）作射线PQ: 2）在图（1）上，以0为圆心，任意长为半径作弧， 交0M于点A，交ON于点B； 3）以P为圆心，OA的长为半径作弧，交PQ于点C; 4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D 5）过点D作射线PR 则∠CPD就是所要作的角. 基本作图三：作已知线段的垂直平分线。 已知：线段AB求作：线段AB的垂直平分线。 作法： 1）以A为圆心，取比线段AB长的长度为半径， 在线段AB的上方和下方作弧。 2）以B为圆心，取与1）等长的半径，在线段AB的上方和下方作弧，与1）作的弧分别交于点C和点D。 3）过点C和点D作直线CD。则直线CD就是所要求作的垂直平分线， 基本作图四：作已知角的角平分线 已知：如图，∠AOB求作：射线OP，使之∠AOP=∠BOP （即OP平分∠AOB）。 作法： 1）以0为圆心，任意长度为半径画狐，分别交OA，OB于点M，点N。 2）分别以M，N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧 两弧交∠AOB内于P： 3）作射线OP。则射线OP就是∠AOB的角平分线。 题型一：三角形常规尺规作图 【例1-1】尺规作图：已知，求作： (1)的角平分线；保留作图痕迹，不写作法 (2)的中线；保留作图痕迹，不写作法 (3)的高线保留作图痕迹，不写作法 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求． 【例1-2】已知（如图），用三种不同的方法作，使．你认为哪一种作法比较简便？ 【答案】作图见解析，运用“”作图比较方便 【分析】可运用“”，“”，“”结合尺规作三角形的方法作． 【详解】解：①运用“”画图1，作，且使，，连接， 则即为所求； ②运用“”画图2，作线段，分别以R，S为顶点在线段的同侧作，且，交于点P， 则即为所求； ③运用“”画图3，作线段，分别以R，S为圆心，，为半径在的同旁画弧交P点，连接，，则即为所求． 通过作图可得，运用“”作图比较方便． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定方法，尺规作全等三角形，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：，，，，(直角三角形)． 题型二：尺规作图性质计算 【例2-1】（（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 【例2-2】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，．以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于D，E两点，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，若，，则的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵，， ∴， ∴． 【例2-3】（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 【例2-4】（（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）小嵊与小州两位八年级的同学结合尺规作图展开了以下探究： 素材提供：圆规是常用的作图工具，如图1，圆规的两脚，． 实践操作：小嵊利用尺规作图作出了过直线外一点作已知直线的垂线． 步骤如下： ①如图2，以点为圆心，以为半径画弧，交直线于，两点． ②再以，两点为圆心，以为半径分别画弧，两弧交于点． ③连结，则直线即为所作的直线的垂线． 问题解决： （1）如图1，若，则所画圆的面积为________． （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是________， ∴． 若，则________cm． 探究提升： （3）小州认为以下问题也可以借助尺规作图解决： 如图3，在矩形中，，，点是上一动点，点关于直线的对称点为点，当落在直线上时，用尺规作图作出点，并求出的长．（保留作图痕迹，要求：先尺规作图，再把痕迹用中性笔描黑） 【答案】（1）   （2）菱形，   （3）如图所示，点即为所作； 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查尺规作图—作已知线段的垂直平分线，勾股定理，菱形的性质，掌握基本的尺规作图是解题的关键． （1）根据圆的面积公式计算即可； （2）由作图可得四边形是菱形，然后利用菱形的性质和勾股定理解题即可； （3）在BC的延长线上截取，然后以，为圆心，大于长为半径作弧交于点G，作射线交于点F，然后根据勾股定理求出长，然后再在中运用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴圆的半径等于长，即圆的半径为， ∴圆的面积为； 故答案为：； （2）如图2，的理由是： ∵由作图可知，四边形是菱形， ∴． 设与交于点O， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：菱形，． （3）∵是矩形， ∴， 由作图可得， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得，即， 解得：，即． 【例2-5】（（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，请根据要求作图并完成计算． (1)用直尺和圆规作边上的垂直平分线，分别交，于点和点． (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1) 垂直平分线即为所作： ； (2) 如图所示； ， 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长． 【例2-6】（（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，点D在上，分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点，连接交于点P． (1)连接，根据作法，完成推理． 由题意得为线段的________， ________， 为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)垂直平分线， (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题考查了作图题，线段垂直平分线的性质和判定，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法和垂直平分线的性质解答； （2）根据等边对等角、三角形内角和定理回答即可． 【详解】（1）解：由题意，为线段的垂直平分线， ， 为等腰三角形； 故答案为：垂直平分线，； （2）解：由（1）知，， ， ． 题型三：压轴探究-新概念阅读型 【例3】（25-26八年级上·浙江台州·期中）据以下素材，探索解决问题． 如何作出“倍角三角形” 素材 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形” 问题解决 任务一 尺规作图：如图，中，，，请用直尺和圆规将分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数． 任务二 已知是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中一个内角的两倍，试确定的取值范围，并说明理由． 任务三 如图，的外角平分线与的延长线相交于点，延长到点，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明． 【答案】 任务一：如图所示，作法不唯一，合理即可， 任务二：， 理由：是“倍角三角形”中最大的内角，并且是其中的一个倍角， 由定义可知， 另一个倍角为， 第三个内角是， 是最大的内角， ，， 任务三：和是倍角三角形， 证明如下：平分， ， ，， ， ，． 又， ，即． ． ． 是倍角三角形． ， ， ， ， ． 是倍角三角形． 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题主要考查三角形的内角和，角平分线的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，理解所给定义，并通过三角形的内角、外角的计算找到对应角的关系是解题关键． 任务一：根据等边对等角，计算得到，因此通过尺规作图和等边对等角 ，作出，得即可； 任务二：根据定义，用表示三角形中另外两个角，再根据是三角形中最大的角构造不等式求解即可； 任务三：通过角平分线找到相等角，再根据题中条件得到全等三角形，从而利用全等三角形找到线段与角的等量关系，再利用线段和差找到相等线段，利用等边对等角确定角度关系，从而找到倍角三角形． 【详解】任务一：解：作边的垂直平分线交于点，则是“倍角三角形”． 任务二：略 任务三：略 学科网（北京）股份有限公司 $