30.3　正多边形与圆 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该教案聚焦正多边形与圆的关系、相关概念、计算及作图，通过“割圆术”历史背景导入，从圆内接正六边形切入，引导学生思考作正多边形的方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 特色在于融合历史文化与探究实践，例1将正八边形计算转化为直角三角形，培养几何直观（数学眼光），例2尺规作图与证明正十二边形发展推理意识（数学思维）。课堂训练强化数学语言表达，助学生建立知识体系，提升教师教学效率。

30.3　正多边形与圆 教学目标 1.理解正多边形与圆的关系及正多边形的相关概念. 2.理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算. 3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. 4.使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新能力. 重点难点 重点：理解正多边形与圆的相关概念及相关计算，会画正多边形. 难点：探索正多边形和圆的关系. 教学过程 情景导入 我国古代数学家刘徽，在公元3世纪用“割圆术”求得π的近似值为≈3.14.祖冲之在公元5世纪又进一步求得π的值在3.1415926与3.1415927之间，是当时世界上最先进的成就.现在利用电子计算机，可把π的值算到小数点后三百万亿位.它是从圆内接正六边形开始，逐步计算所得的结果.那么给你一个圆，怎样才能作出一个正多边形？ 探究新知 探究点一　正多边形的有关计算 【例1】图①是一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形（如图②），求地基的中心角和面积（结果保留根号）. 【解析】正八边形的中心角是45°，由此构造等腰直角三角形，通过求出一个三角形的面积，从而求出正八边形的面积. 【解】如图，连接OA，OB，过点A作AM⊥OB于点M. ∵中心角∠AOB＝＝45°， ∴△OAM是等腰直角三角形. ∵OA＝4m，∴AM＝OM＝2m， ∴S△OAB＝OB·AM＝×4×2＝4（m2）， ∴地基的面积＝8S△OAB＝8×4＝32（m2）. 【方法技巧】正多边形问题中常涉及求正多边形的边长、半径、边心距、中心角、周长和面积等，正多边形的有关计算常转化到由半径、弦长的一半和边心距组成的直角三角形中. 探究点二　作正多边形 【例2】已知☉O和☉O上的一点A，如图所示. （1）作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH； （2）在（1）所作的图中，如果点E在劣弧上，试证明EB是☉O内接正十二边形的一条边. 【解析】（1）根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；（2）通过计算EB所对的圆心角的度数来证明. 【解】（1）在☉O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得☉O的内接正方形ABCD；按正六边形的作法用直尺和圆规在☉O中依次截取等于半径OA的弦，这样六等分，顺次连接各分点，即可作出正六边形AEFCGH，如图①. 图①　　图② （2）证明：连接OE，如图②. ∵AE是正六边形的一条边，∴∠AOE＝＝60°. ∵AB是正方形的一条边，∴∠AOB＝＝90°， ∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝90°－60°＝30°. 设EB是☉O内接正n边形的一条边，则＝30°，∴n＝12，∴EB是☉O内接正十二边形的一条边. 【方法技巧】求☉O内接正n边形的边数，可转化为求其任一边所对的圆心角的度数. 课堂训练 1.如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，连接BD，则∠CBD的度数是（　　） A.30°　　　　　　　　B.45° C.60° D.90° 2.如图，已知☉O的两条直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E，连接MB，MC.求证：MB与MC分别为☉O的内接正六边形和内接正十二边形的一条边. 板书设计 30.3　正多边形与圆 1.正多边形与圆的关系：任意正多边形都有它的外接圆. 2.正多边形的相关概念： 正多边形的中心、半径、中心角、边心距. 3.作正多边形. （1）用量角器测量圆心角； （2）尺规作图. 课堂小结 本节课我们经历了正多边形的形成过程，学习了正多边形的相关概念，并学会用等分圆周的方法作圆的内接正多边形. 教学反思 　　在本节课的学习过程中，让学生通过对等边三角形、正方形的回顾，加强新旧知识之间的联系，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识，让学生清楚正多边形的有关计算常常转化到由半径、弦长的一半和边心距组成的直角三角形中.同时还要让学生了解边数是偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心，为此只要作出已知圆的两条互相垂直的直径即可得圆内接正方形，从而可以得到正八边形、正十六边形、正二十四边形等，而由正六边形可以作出正三角形、正十二边形等. 答案 课堂训练 1.A 2.证明：如图，连接OM. ∵弦MN垂直平分OB， ∴MB＝MO，OE＝OB＝OM， ∴∠OME＝30°.又∵BO＝MO， ∴△MOB是等边三角形，∠MOB＝60°. ∵☉O内接正六边形的中心角＝×360°＝60°， ∴MB为☉O内接正六边形的一条边. ∵MN⊥AB，CD⊥AB， ∴MN∥CD，∴∠COM＝∠OME＝30°. ∵☉O内接正十二边形的中心角＝×360°＝30°， ∴MC为☉O内接正十二边形的一条边. 学科网（北京）股份有限公司 $