30.3 正多边形与圆 同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“正多边形与圆”核心知识点，系统梳理正多边形与圆的关系及中心、半径、中心角、边心距等概念，通过典例及变式题（如正六边形边长、面积、坐标计算）搭建从基础到应用的学习支架，衔接圆的综合题（垂径定理、切线等）。 资料特色在于结合实际情境（如巴黎奥运会金牌正六边形铁块）培养数学眼光，通过综合题（如阿氏圆模型、几何证明）发展推理能力（数学思维），分层训练与过关验收助力课中教学及课后查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

第30章 30.3 正多边形与圆 内 容 导 航 题型1 正多边形和圆 题型2 圆的综合题 考 点 演 练 题型1 正多边形和圆 解｜题｜知｜识 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典例1】若一个正n边形的每个内角为150°，则这个正n边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式1】如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．2 B．2 C． D．4 【变式3】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【变式4】中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为，则BF的长为 　 　 mm． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为 　 ． 【变式6】如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为3，则点O到AC的距离OG的长为 　 ． 题型2 圆的综合题 解｜题｜知｜识 考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大． 【典例1】如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EHBF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 【变式2】【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA＝kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP． 第三步：计算CM的长度，由△CPM∽△CBP可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时　　 ． 【模型探究】如图④，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，D为AB上一点，小明同学认为当时，CD的长是BC长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴． 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P为扇形上一动点，则2AP+PB的最小值为　 ． 【变式3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案） （1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 　 　 ； （2）点B1的坐标为 　 ； （3）在旋转过程中，点B运动的路径为，那么的长为 　 　 ． 【变式4】如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，以O为圆心的圆与AB相切于点C，⊙O交BO延长线于点D，连接CD，CD交AO于点E． （1）求∠D的度数； （2）若BO＝4，求OE的长． 【变式5】如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接BI，CI． （1）如图1，求∠BIC的度数； （2）如图2，连接AI并延长交圆于点D，连接BD，在过D点的圆的切线上取点H，连接CH，使CH∥BD，若已知DH长为10，求DI的长． 【变式6】综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大．如图1， ∠PAQ　 　 ∠PBQ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即∠PAQ＞∠PMQ． 【迁移应用】如图3，点P（2，0），点Q（6，0），点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点A的坐标． 过 关 验 收 1. 如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为20cm，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度d为（　　） A．120cm B．180cm C．190cm D． 2. 如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝4，下面结论中正确的是（　　） ①该圆的半径为4；②AC平分∠BAD；③的长为；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 3. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 4. 如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 　 　 ． 5. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　 　 ． 6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 7. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADB的度数为 　 　 ． 8. 如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是3，阴影部分的面积 是　 　 ． 9. 如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 10. 已知点O为△ABC边BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆与AC相切于点A，与边BC交于点D． （1）如图①，过点O作OE⊥BC，交AB于点E，交CA延长线于点G，若∠OBE＝30°，BD＝10，求AG的长； （2）如图②，CM与⊙O切于点M，连接MB，与直径AN交于点H，若AN⊥BM，且BM＝AC＝8，求AH的长． 11. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，BC． （1）求证：∠ACD＝∠DBC； （2）若，求⊙O的半径． 13. 如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D； ①∠ACD的度数为　 　 ； ②AC＝4，求⊙O的半径r； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 14. 如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB延长线上一点，且满足∠BCP＝∠BAC，作CD⊥AB于点D． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求CP的长； （3）如图2，延长CO交⊙O于点Q，延长CD交⊙O于点E，连接AE与CQ交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 15. 【初步探究】（1）如图1，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，在⊙O上任取一点C（不与A，B两点重合），连结PC，OC．判断PA与PC的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值为　 　 ． 16. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至F，作EF相切⊙O于点E， （1）若OB＝BF，求∠F的大小； （2）点D是直径AB上一点且DF＝EF，连接ED并延长交⊙O于C点，连接OC，求证OC⊥AB； （3）在（2）的条件下，若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30章 30.3 正多边形与圆 内 容 导 航 题型1 正多边形和圆 题型2 圆的综合题 考 点 演 练 题型1 正多边形和圆 解｜题｜知｜识 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【典例1】若一个正n边形的每个内角为150°，则这个正n边形的边数是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为150°， ∴一个正n边形的每个外角为30°， ∴这个正n边形的边数12， 故选：B． 【变式1】如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作，过点B作BG⊥AC于点G，连接FD，如图， ∠BAC＝120°，BG⊥AC，AB＝2， ∴，∠AGB＝90°，AC＝2AG，即∠BAG＝30°， ∴BG＝AB×cos60°＝1，，即， ∴， 同理可得：，， ∵∠BAG＝30°， ∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAG＝90°， 同理可证明：∠AFD＝∠FDC＝∠DCA＝90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴， ∴， ∵扇形的半径CD的长为2，∠CDE＝120°， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A．2 B．2 C． D．4 【答案】B 【解答】解：如图所示，连接OC、OB ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC＝60°， ∵OA＝OB， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠OBM＝60°， ∴OM＝OBsin∠OBM＝42， 故选：B． 【变式3】 如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：由题意，∠BOC＝90°﹣60°＝30°， ∴n12． 故选：C． 【变式4】中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为，则BF的长为 　3　 mm． 【答案】3． 【解答】解：如图，连接CF， ∵多边形ABCDEF为正六边形，该正六边形ABCDEF的周长约为， ∴∠A＝∠ABC120°，BC＝3mm， ∴∠ABF＝∠AFB＝30°， ∴∠CBF＝90°， ∵∠BCF＝∠DCF60°， ∴BFBC＝3（mm）， 故答案为：3mm． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，半径是4，过点C作CG⊥AD，连接OC， ∴，OC＝OD＝4， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝4，， 在Rt△CDG中，∠CDG＝60°，则∠DCG＝30°， ∴DGCD＝2， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【变式6】如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为3，则点O到AC的距离OG的长为　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接OA， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴∠AOG60°， 在Rt△AOG中，OA＝3，∠AOG＝60°， ∴OGOA， 故答案为：． 题型2 圆的综合题 解｜题｜知｜识 考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大． 【典例1】如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：如图1，连接AC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠OAC＝90°， ∴∠AOC＝45°， ∴OA＝AC＝BC＝6， ∴∠CAO＝∠AOE＝∠ACE＝90°， ∴四边形ACEO是矩形， ∴CE＝OA＝6， ∴B（12，6），故①不正确； ②∵点A的坐标为（6，0）， 设直线AB的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得 ， ∴直线AB的解析式为：y＝x﹣6，故②正确； ③如图2，过AB的中点G作GF⊥PD于F，交AC于H， 则H是AC的中点， ∴， ∵∠AOC＝45°，PD⊥OA， ∴， ∴， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， ∴， ∴， 又∵， ∴直线PQ与已知圆相切，故③正确； ④连接CG， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠B＝∠AOC＝45°，∠BCO＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°， ∵GC＝GB， ∴∠GCB＝∠B＝45°， ∴∠GCO＝∠BCO﹣∠GCB＝135°﹣45°＝90°， ∴直线OC与圆相切，故④错误； 故正确的为②③，共2个， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EHBF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 　②③④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】②③④． 【解答】解：∵BC为⊙O直径， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC， 又∵AC＝BC， ∴AE＝BE， ∵EM⊥AC， ∴EM＜AE， ∴BE＞EM， 故①错误； 连接OE． ∵由以上证明过程得到CE是等腰△ABC的中垂线，则∠BCE＝∠ECA，故∠BCE＝∠DCE， ∴， ∴OE⊥BD， ∵BC是直径， ∴BD⊥AC 又∵EM⊥AC， ∴EM∥BD， ∴EM⊥OE， ∴EM是切线． 故④正确； ∵直角△EBC中，EG⊥BC， ∴∠ECG＝∠BEG， 又∵∠BCE＝∠ECA，即∠ECG＝∠ECA ∴∠ECA＝∠BEG． 故②正确； ∵∠EBD＝∠ECD（同弧所对的圆周角相等），∠BEG＝∠ECA（已证）， ∴∠EBH＝∠BEH， ∴BH＝EH， ∵∠BEG+∠GEC＝∠EBD+∠EFB＝90°， ∴∠HEF＝∠HFE， ∴EH＝FH， ∴EH＝FH＝BHBF，即EHBF． 故③正确． 故答案为：②③④． 【变式2】【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA＝kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP． 第三步：计算CM的长度，由△CPM∽△CBP可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时　　 ． 【模型探究】如图④，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，D为AB上一点，小明同学认为当时，CD的长是BC长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴． 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P为扇形上一动点，则2AP+PB的最小值为　13　 ． 【答案】【模型认知】； 【模型探究】∵， ∴ ∴， 又∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴． 【模型应用】13． 【解答】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP，如图， ∵△CPM∽△CBP， ∴， ∴， ∵△CPM∽△CBP， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵CA＝6， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∴． 模型应用：解：延长OC至点E使CE＝6，连接PE，OP，如图， 则OE＝OC+CE＝12， ∵OA＝3，OP＝OC＝6， ∴， ∴， ∵∠AOP＝∠POE， ∴△AOP∽△POE， ∴， ∴PE＝2PA， ∴2AP+PB＝PE+PB． ∴当点E，P，B在一条直线上时，PE+PB最短为线段BE， ∴PE+PB的最小值． ∴2AP+PB的最小值为13． 故答案为：13． 【变式3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案） （1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 　（﹣1，﹣3）　 ； （2）点B1的坐标为 　（﹣2，3）　 ； （3）在旋转过程中，点B运动的路径为，那么的长为 　π　 ． 【答案】（1）（﹣1，﹣3）； （2）（﹣2，3）； （3）π． 【解答】解：（1）∵A（1，3） ∴点A关于点O中心对称的点的坐标为（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）； （2）由平面直角坐标系坐标定义， 直接写出（﹣2，3）， 故答案为：（﹣2，3）； （3）根据勾股定理，OB， 所以，弧BB1的长π， 故答案为：π． 【变式4】如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，以O为圆心的圆与AB相切于点C，⊙O交BO延长线于点D，连接CD，CD交AO于点E． （1）求∠D的度数； （2）若BO＝4，求OE的长． 【答案】（1）∠D＝15°； （2）． 【解答】（1）解：连接OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB． ∴∠OCB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∴∠BOC＝30°，∠COD＝180°﹣30°＝150°． ∵OC＝OD， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB． ∴∠OCB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∴∠BOC＝30°，∠COD＝180°﹣30°＝150°． ∵OC＝OD， ∴． （2）解：过C作FC⊥BD， ∴∠CFD＝90°， 又∠EOD＝90°，∠D＝∠D， ∴△OED∽△FCD． ∴， ∵BO＝4，∠BOC＝30°， ∴， ∴， ∴． ∴． 又∠EOD＝90°，∠D＝∠D， ∴△OED∽△FCD． ∴， ∵BO＝4，∠BOC＝30°， 又∵， ∴， ∴． 【变式5】如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接BI，CI． （1）如图1，求∠BIC的度数； （2）如图2，连接AI并延长交圆于点D，连接BD，在过D点的圆的切线上取点H，连接CH，使CH∥BD，若已知DH长为10，求DI的长． 【答案】（1）135° （2）． 【解答】解：（1）∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵点I为△ABC的内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB（∠ABC+∠ACB）＝45°， ∴∠BIC＝180°﹣45°＝135°； （2）连接CD，OD， ∵点I为△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BC为△ABC的外接圆⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°，DO⊥BC， ∴∠ODC＝∠BDO＝45°， ∵CH∥BD ∴∠DCH＝∠BDC＝90°， ∵DH是圆O的切线， ∴OD⊥DH， ∴∠ODB+∠BDH＝90°， ∴∠CDH＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CDH＝∠H＝45°， ∴△DCH是等腰直角三角形， ∵DH＝10， ∴CDDH＝5， ∴BD＝CD＝5， ∵∠BAD＝∠CAD＝∠DBC＝45°， ∴∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI， ∴∠BID＝∠DBI， ∴DI＝BD＝5． 【变式6】综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大．如图1，∠PAQ　＞　 ∠PBQ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即∠PAQ＞∠PMQ． 【迁移应用】如图3，点P（2，0），点Q（6，0），点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点A的坐标． 【答案】【素材】＞； 【实践探索】证明见解答； 【迁移应用】点A的坐标为（0，2）． 【解答】【素材】解：如图1，设PB交圆于点C，连接CQ， ∵∠PAQ＝∠PCQ，∠PCQ＞∠PBQ， ∴∠PAQ＞∠PBQ， 故答案为：＞； 【实践探索】证明：如图2，设PM交⊙O于点C， ∵∠PAQ＝∠PCQ，∠PCQ＞∠MCQ， ∴∠PAQ＞∠PMQ； ∵线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A， 即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，此时∠PAQ＞∠PMQ． 【迁移应用】解：如图3，以PQ为弦作⊙M，过点M作MN⊥PQ于N，连接MA，MP， 由【实践探索】可知：当⊙M与y轴相切，且切点为A时，∠PAQ最大，此时∠OAM＝90°， ∵点P（2，0），点Q（6，0）， ∴OP＝2，OQ＝6， ∴PQ＝4， ∵MN⊥PQ， ∴PN＝NQ＝2， ∵∠AON＝∠ONM＝90°， ∴四边形AONM是矩形， ∴AM＝ON＝2+2＝4＝PM， 由勾股定理得：MN2， ∴点A的坐标为（0，2）． 过 关 验 收 1. 如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为20cm，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度d为（　　） A．120cm B．180cm C．190cm D． 【答案】C 【解答】解：如图：由题意得：点A，B，C，D，E，F，G，H共线，连接AB并延长到点H，则AH⊥HM， 由题意得：AB＝CD＝EF＝40cm，BC＝DE＝FG＝GM＝20cm， ∠MGH＝60°， ∴， ∴d＝AH＝AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH ＝40+20+40+20+40+20+10 ＝190（cm）， 故选：C． 2. 如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝4，下面结论中正确的是（　　） ①该圆的半径为4；②AC平分∠BAD；③的长为；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边，设圆的圆心是O，连接OA，OB，OC，OD，作CM⊥AB交AB的延长线于M，CN⊥AD于N， ∴， ∴△ABO为等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝4， 故①正确，符合题意； ∵AC是圆内接正方形的边长，AD是圆内接等边三角形的边长， ∴，， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°， ∴∠BOC＝∠COD， ∴， ∴∠BAC＝∠CAD，即AC平分∠BAD； 故②正确，符合题意； ∵的长， 故③错误，不符合题意； ∵∠ODA＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵AC平分∠BAD，且CM⊥AB，CN⊥AD， ∴CM＝CN， ∴， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④． 故选：B． 3. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】D 【解答】解：如图：连接AB、DC相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴AC＝BC＝4，OA＝OB， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 4. 如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：连接OB交AC于M， ∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O， ∴∠AOB＝∠BOC45°，AB＝BC， ∴，∠AOC＝90°， ∴AM＝CMAC＝2，OM⊥AC， ∵OA＝OC， ∠OAM＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝45°， ∴∠OAM＝∠AOB， ∴AM＝OM， 在Rt△AOC中， ∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2， ∴2OA2＝AC2＝42＝16， ∴OA＝2， 在Rt△AOM中， ∵OM2+AM2＝OA2， ∴2OM2＝（2）2， ∴OM＝2， ∴点O到AC距离为2， 故答案为：2． 5. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　36°　 ． 【答案】36°． 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD72°， ∴∠CPD∠COD＝36°， 故答案为：36°． 6. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 　2π　 ． 【答案】2π． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为2， ∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF120°， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°， ∴∠BAC（180°﹣∠ABC）（180°﹣120°）＝30°， 过B作BH⊥AC于H， ∴AH＝CH，BHAB2＝1， 在Rt△ABH中，AH， ∴AC＝2， 同理可证，∠EAF＝30°， ∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∴S扇形CAE2π， ∴图中阴影部分的面积为2π， 故答案为：2π． 7. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADB的度数为 　36°　 ． 【答案】36°． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴72°， ∴∠ADE72°＝36°． 故答案为：36°． 8. 如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是3，阴影部分的面积是　9π　 ． 【答案】9π． 【解答】解：如图，连接AB、CD交于点O， ∵正方形ABCD的内切圆半径为3， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC＝6， 在直角△ACB中，， ∴， ． 故答案为：9π． 9. 如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧． （1）求⊙O的半径； （2）当CD＝4时，求∠ACD的度数； （3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值． 【答案】（1）⊙O的半径为4； （2）15°； （3）CM的最大值为22． 【解答】解：（1）如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝4，BC＝4， ∴AB8， ∴⊙O的半径为4； （2）如图1中，连接OC，OD． ∵CD＝4，OC＝OD＝4， ∴CD2＝OC2+OD2， ∴∠COD＝90°， ∴∠OCD＝45°， ∵AC＝OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°； （3）如图2中，连接OM，OC． ∵AM＝MD， ∴OM⊥AD， ∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J， 连接CJ，JM． ∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ， ∴CJ⊥OA， ∴CJ2， ∵CM≤CJ+JM＝22， ∴CM的最大值为22． 10. 已知点O为△ABC边BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆与AC相切于点A，与边BC交于点D． （1）如图①，过点O作OE⊥BC，交AB于点E，交CA延长线于点G，若∠OBE＝30°，BD＝10，求AG的长； （2）如图②，CM与⊙O切于点M，连接MB，与直径AN交于点H，若AN⊥BM，且BM＝AC＝8，求AH的长． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）∵⊙O与AC相切于点A， ∴OA⊥AC，∠OAG＝90°， 在△BOA中，OA＝OB，∠OBE＝30°， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∵OE⊥BC， ∴∠BOE＝90°， ∴∠AOG＝∠AOB﹣∠BOE＝30°， ∵BD＝10， ∴OB＝OA＝5， ∴在Rt△OAG中，． （2）∵CM与⊙O切于点M， ∴OA⊥AC， ∵AN⊥BM， ∴AC∥BM， ∵BM＝AC＝8， ∴四边形ABMC是平行四边形， ∵CM与⊙O切于点M，AC与⊙O相切于点A， ∴CM＝CA， ∴四边形ABMC是菱形， ∴AB＝BM＝8， ∵AN⊥BM， ∴， ∴． 11. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而　变强　 （选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1）图见解析；（2）∠CAD＝2∠BAC，理由见解析；（3）变强；（4）可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 【解答】解：（1）①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC； ②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心； ③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强， 故答案为：变强； （3）∠CAD＝2∠BAC，理由如下： 连接OA，则：OA＝OB， ∴∠ABC＝∠OAB， ∵AD为切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAB+∠BAD＝90°， ∵BC⊥AC， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝∠OAB， ∴∠BAD＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，BC． （1）求证：∠ACD＝∠DBC； （2）若，求⊙O的半径． 【答案】（1）如图，连接OC， ∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 即∠ACD＝∠OCD+∠OCA＝90°+∠OCA， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠ACB+∠OAC＝∠OAC+90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠ACD＝∠CBD； （2）⊙O的半径为． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， 即∠ACD＝∠OCD+∠OCA＝90°+∠OCA， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠ACB+∠OAC＝∠OAC+90°， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠ACD＝∠CBD； （2）解：设OC＝OB＝r，OD＝OB+BD＝r+2， ∵∠OCD＝90°， ∴tanD， ∴CD＝2OC＝2r， ∴DO2＝OC2+CD2， 即（r+2）2＝r2+（2r）2， 解得r（不符合题意，舍去）或， 答：⊙O的半径为． 13. 如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC． （1）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D； ①∠ACD的度数为　30°　 ； ②AC＝4，求⊙O的半径r； （2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）①30°；②； （2）． 【解答】解：（1）①∵AD＝CE，CD＝AE， ∴四边形ADCE为平行四边形， 又∵∠ACB＝90°，且D为AB中点， ∴， ∴平行四边形ADCE为菱形． ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠ACD， ∵OA＝OD， ∴∠DAC＝∠ODA， ∴∠COD＝∠DAC+∠ODA＝2∠DAC＝2∠ACD， ∵CD切⊙O于点D， ∴∠CDO＝90°， ∴∠COD+∠ACD＝2∠ACD+∠ACD＝3∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝30°； 故答案为：30°； ②∵AC＝4，OA＝OD＝r， ∴OC＝4﹣r， ∵∠ACD＝30°，∠CDO＝90°， ∴， 解得； （2）如图，射线DF即为所求． 14. 如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB延长线上一点，且满足∠BCP＝∠BAC，作CD⊥AB于点D． （1）求证：CP是⊙O的切线； （2）若BC＝6，AC＝8，求CP的长； （3）如图2，延长CO交⊙O于点Q，延长CD交⊙O于点E，连接AE与CQ交于点H，若，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O 的直径， ∴∠BAC+∠OBC＝90°， 又∵∠BCP＝∠BAC， ∴∠BCP+∠OCB＝90°， 即OC⊥CP且OC是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线； （2）； （3）． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O 的直径， ∴∠BAC+∠OBC＝90°， 又∵∠BCP＝∠BAC， ∴∠BCP+∠OCB＝90°， 即OC⊥CP且OC是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，， ∵∠BCP＝∠BAC且∠P＝∠P， ∴△BCP∽△CAP， ∴， 设BP＝3x，CP＝4x， 则CP2＝BP•AP， 16x2＝3x（3x+10）， 解得， ∴； （3）解：连接QE，设OA＝OC＝r， ∵CQ是⊙O的直径， ∴QE⊥CE， 又∵CD⊥AB， ∴∠BDE＝∠QED＝90°， ∴QE∥AD， ∴△AOH∽△EQH， ∵，则 AD＝a，CD＝ax，OD＝a﹣r，QE＝2（a﹣r），， ∴， 在Rt△ODC中，r2＝（ax）2+（a﹣r）2， ∴②， 将②代入①式得． 15. 【初步探究】（1）如图1，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，在⊙O上任取一点C（不与A，B两点重合），连结PC，OC．判断PA与PC的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值为　8　 ． 【答案】（1）PC＞PA，理由如下： 在△OPC中，PC+OC＞OP， 即PC+OC＞OA+PA， ∵OA＝OC， ∴PC＞PA； （2）； （3）8． 【解答】解：（1）PC＞PA，理由如下： 在△OPC中，PC+OC＞OP， 即PC+OC＞OA+PA， ∵OA＝OC， ∴PC＞PA； （2）如图，由两点之间线段最短可知，当点A、P和半圆的圆心O共线时，AP最小， ∵AC＝BC＝4， ∴OC＝OP＝2， ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴， 即线段AP长度的最小值为； （3）由折叠可得，EA＝EF， ∴点F在以点E为圆心、AE的长为半径的圆上， 作矩形ABCD关于直线BC的对称矩形A′BCD′及点E关于直线BC的对称点E′，如图， 同理（2）知，当D、P′、E′三点共线时，DF′取最小值， ∵AB＝4，BC＝8， ∴CD′＝CD＝AB＝4，A′D′＝AD＝BC＝8， ∴DD′＝4+4＝8， ∵A′E′＝AE＝2， ∴D′E′＝A′D′﹣A′E′＝8﹣2＝6， ∵∠D′＝∠ADC＝90°， ∴， 又∵E′F′＝A′E′＝2， ∴DF′＝DE′﹣E′F′＝10﹣2＝8， ∴DF′的最小值为8， ∵DF′＝P′F′+P′D， ∴P′F′+P′D的最小值为8， 即PF+PD的最小值为8， 故答案为：8． 16. 如图，AB为⊙O的直径，延长AB至F，作EF相切⊙O于点E， （1）若OB＝BF，求∠F的大小； （2）点D是直径AB上一点且DF＝EF，连接ED并延长交⊙O于C点，连接OC，求证OC⊥AB； （3）在（2）的条件下，若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【答案】（1）30°； （2）如图2，EF是⊙O的切线，连接OE， ∴OE⊥EF， ∴∠OEC+∠DEF＝90°， ∵DF＝EF， ∴∠DEF＝∠EDF， ∵∠ODC＝∠EDF， ∴∠DEF＝∠ODC， ∵OE＝OC， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCE+∠ODC＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴OC⊥AB； （3）3． 【解答】（1）解：如图1，EF是⊙O的切线，连接OE， ∴OE⊥EF， ∴∠OEF＝90°， ∵OB＝BF， ∴OF＝2OB， ∵OE＝OB， ∴OF＝2OE， 在Rt△OEF中，， ∴∠F＝30°； （2）证明：如图2，点D是直径AB上一点且DF＝EF，EF是⊙O的切线，连接OE， ∴∠DEF＝∠EDF，OE⊥EF， ∴∠OEC+∠DEF＝90°， ∵∠ODC＝∠EDF， ∴∠DEF＝∠ODC， ∵OE＝OC， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCE+∠ODC＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴OC⊥AB； （3）解：设BD＝BF＝a，则EF＝DF＝2a， ∴OE＝OB＝OD+BD＝1+a，OF＝OD+DF＝1+2a， 由（1）得，∠OEF＝90°， 在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2， ∴（1+a）2+（2a）2＝（1+2a）2， 解得：a＝2或0（不合题意，舍去）， ∴OB＝1+2＝3， ∴⊙O的半径为3． 学科网（北京）股份有限公司 $