30.3正多边形与圆 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

30.3正多边形与圆 学习目标导航 1、 认识正多边形相关概念：中心、半径、边心距、中心角。 2、 掌握正多边形中心角计算公式，能够求解中心角度数。 3、将正多边形相关计算转化为解直角三角形问题。 洞悉◆教材核心知识 正多边形的相关概念和计算 与正边形有关的计算公式（正边形外接圆的半径为，边长为，边心距为）： 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正边形的每个内角为 中心角 正边形的每个中心角为 外角 正边形的每个外角为 半径、边长、边心距的关系 周长 正边形的周长 面积 正边形的面积 易错提示◆方法技巧 易错提示： 1、极易混淆内心、外心：内心是内角平分线交点（内切圆圆心）；外心是垂直平分线交点（外接圆圆心），做题看清楚问的是内心还是外心。 2、无论什么三角形，内心永远在三角形内部，不会出现在三角形外部。 3、 直角三角形内切圆半径公式不要和外接圆半径弄混，两个公式意义完全不同 方法技巧： 1、内心两大核心性质：内心平分三角形内角；内心到三边距离都等于内切圆半径r。求内心，作两条内角平分线，交点即为内心。 2、直角三角形内切圆半径：，a、b为直角边，c为斜边，仅限直角三角形使用。 3、通用内切圆半径公式，适用于任意三角形：\(r=\dfrac{2S}{C}\)，S代表三角形面积，C代表三角形周长，已知面积周长优先选用此公式。 4、涉及内心求角度：利用角平分线分角，结合三角形内角和定理推导角度。 核心题型◆归纳 题型01 基础概念的辨析 题型02 已知边数求中心角/内角 题型03 已知中心角求边长 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 题型06 正多边形周长计算 题型07 正多边形面积计算 题型08 作图问题 题型9 正多边形与圆综合 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 基础概念的辨析 例1．下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 变式训练 1．下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 题型02 已知边数求中心角/内角 例2．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 变式训练 1．边长为的正六边形中心角度数是________，内角度数是________，边心距是________． 题型03 已知中心角求边长 例3．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 变式训练 1．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 例4．圆内接正四边形的边长为，则它的边心距等于___________． 变式训练 1．同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为_______． 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 例5．我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 变式训练 1．如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 题型06 正多边形周长计算 例6．如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于___________． 变式训练 1．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 题型07 正多边形面积计算 例7．有一个地基是边心距为的正六边形凉亭，则这个地基的面积为_____． 变式训练 1．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积S来近似地估算的面积，则_____． 题型08 作图问题 例8．作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 变式训练 1．数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 题型9 正多边形与圆综合 例9．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 变式训练 1．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． ABC分层训练 1．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 3．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 5．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 7．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 8．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是________． 9．正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是________． 10．如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为______． 11．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 12．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（    ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 13．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 14．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 15．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 16．如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（    ）    A．① B．② C．③ D．无法判定 17．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 18．正十边形的中心角的度数为_____． 19．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 20．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为_____m2． 21．如图，正六边形内接于，求的度数． 22．（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 30.3正多边形与圆 学习目标导航 1、 认识正多边形相关概念：中心、半径、边心距、中心角。 2、 掌握正多边形中心角计算公式，能够求解中心角度数。 3、将正多边形相关计算转化为解直角三角形问题。 洞悉◆教材核心知识 正多边形的相关概念和计算 与正边形有关的计算公式（正边形外接圆的半径为，边长为，边心距为）： 名称 公式 图示（以正六边形为例） 内角 正边形的每个内角为 中心角 正边形的每个中心角为 外角 正边形的每个外角为 半径、边长、边心距的关系 周长 正边形的周长 面积 正边形的面积 易错提示◆方法技巧 易错提示： 1、极易混淆内心、外心：内心是内角平分线交点（内切圆圆心）；外心是垂直平分线交点（外接圆圆心），做题看清楚问的是内心还是外心。 2、无论什么三角形，内心永远在三角形内部，不会出现在三角形外部。 3、 直角三角形内切圆半径公式不要和外接圆半径弄混，两个公式意义完全不同 方法技巧： 1、内心两大核心性质：内心平分三角形内角；内心到三边距离都等于内切圆半径r。求内心，作两条内角平分线，交点即为内心。 2、直角三角形内切圆半径：，a、b为直角边，c为斜边，仅限直角三角形使用。 3、通用内切圆半径公式，适用于任意三角形：\(r=\dfrac{2S}{C}\)，S代表三角形面积，C代表三角形周长，已知面积周长优先选用此公式。 4、涉及内心求角度：利用角平分线分角，结合三角形内角和定理推导角度。 核心题型◆归纳 题型01 基础概念的辨析 题型02 已知边数求中心角/内角 题型03 已知中心角求边长 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 题型06 正多边形周长计算 题型07 正多边形面积计算 题型08 作图问题 题型9 正多边形与圆综合 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 基础概念的辨析 例1．下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【分析】本题考查了命题，正多边形的定义和性质．正多边形必须各边相等且各角相等；中心对称性取决于边数；圆内接多边形各角相等不一定为正多边形；正多边形的半径即其外接圆半径，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意； D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意； 故选：D 变式训练 1．下列命题正确的是（   ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．正多边形外接圆的圆心角是它的中心角 D．正多边形外接圆的半径是它的半径 【答案】D 【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可． 【详解】解：、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，不符合题意； 、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，不符合题意； 、正多边形的每条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，不符合题意； 、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查多边形的性质，正确记忆正多边形的特点是解题关键． 题型02 已知边数求中心角/内角 例2．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六边形的中心角等于____ 度． 【答案】 120 90 60 【分析】根据正边形中心角的公式，代入对应正多边形的边数即可求解． 【详解】解：正三角形边数，中心角为． 正方形边数，中心角为． 正六边形边数，中心角为． 变式训练 1．边长为的正六边形中心角度数是________，内角度数是________，边心距是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的计算，正六边形的中心角由除以边数得到；内角使用多边形内角和公式计算；边心距通过构造直角三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理求解．掌握正多边形的相关概念是解题的关键． 【详解】解：如图，为边长为的正六边形的外接圆，连接、，过点作于点， ∴中心角度数为：，内角度数为：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴边心距是， 故答案为：；；． 题型03 已知中心角求边长 例3．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心，连接、，，则这个正多边形是边数为____________． 【答案】9/九 【分析】连接，圆周角定理求出，再根据正多边形的中心角的计算公式，进行求解即可. 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为该正多边形外接圆的圆心， ∴这个正多边形是边数为. 变式训练 1．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 题型04 已知边长，求边心距、外接圆半径 例4．圆内接正四边形的边长为，则它的边心距等于___________． 【答案】4 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正四边形的边心距等于边长的一半即可得结论． 【详解】解：连接，，过点O作于点， ∵是正方形， ∴， 又∵，， ∴点E是的中点， ∴， 故答案为：． 变式训练 1．同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为_______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，计算同一个圆的内接正六边形和正三角形的边心距，再求比值．边心距是多边形的中心到一边的垂直距离，利用外接圆半径和三角函数关系求解即可． 【详解】解：如图，为正三角形的边长，为正六边形的边长，为圆内接正三角形的边心距，为圆内接正六边形的边心距，设圆的半径为， 则：，，， ∴，， ∴，； ∴， 即同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的边心距之比为； 故答案为：． 题型05 已知外接圆半径 / 边心距，求正多边形边长 例5．我国古代《九章算术》记载“割圆术”思想，若一个正六边形的外接圆半径为2，则该正六边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形中心角的特点，结合等边三角形的判定，即可得到边长与外接圆半径的关系． 【详解】解：如图所示， ∴ 正六边形的中心角为 ，， ∴是等边三角形， ∴ 正六边形的边长等于外接圆半径， ∵ 外接圆半径为， ∴ 正六边形的边长为． 变式训练 1．如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 题型06 正多边形周长计算 例6．如图，已知圆内接正六边形的边心距等于，则的周长等于___________． 【答案】 【分析】连接、，根据正六边形的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长计算即可解题． 【详解】解：如图，连接、， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 变式训练 1．如图，正六边形内接于，若的周长等于，则正六边形的周长为____． 【答案】18 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．由正六边形内接于，由的直径得出的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果． 【详解】解：连接，， 正六边形内接于，的周长为， 的半径为3， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为18， 故答案为：18． 题型07 正多边形面积计算 例7．有一个地基是边心距为的正六边形凉亭，则这个地基的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，根据正多边形的性质求出正多边形的边长，进而求出面积，问题即可解决． 【详解】解：如图， ∵六边形是正六边形， 边心距为， ∴，而，， ， ∴是等边三角形； ∴，，， ∴， ∴该地基的面积． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了圆内接正多边形的性质及其应用问题；锐角三角函数的应用，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 变式训练 1．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积．如图，设的半径为，若用的外切正六边形的面积S来近似地估算的面积，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式．通过分析外切正六边形的构成，利用直角三角形的相关知识求出正六边形的边长，进而求出其面积． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴为等边三角形， ∵的半径为， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴． 故答案为：． 题型08 作图问题 例8．作图并填空： (1)在下图中，利用尺规作图，作出已知的内接正六边形；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） (2)若已知的半径为2，则这个内接正六边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用正六边形边长等于圆的半径的性质，通过等分圆周完成作图； （2）将正六边形分解成六个等边三角形计算总面积即可求解． 【详解】（1）解：如图，正六边形即为所求： 作法：在圆上任取一点作为起点，以这点为圆心，圆的半径为半径画弧交圆于一点， 重复上述操作依次得到另外的四个点，顺次连接各点形成正六边形； （2）如图，连接，过点作于点， ，， 为边长为的等边三角形， ， ， ， 内接正六边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查尺规作图及正六边形面积的计算，将复杂的正多边形面积计算转化为简单的等边三角形面积求和，体现了割补法在几何面积计算中的应用． 变式训练 1．数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 题型9 正多边形与圆综合 变式训练 例9．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 【答案】(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 变式训练 1．如图，已知是正八边形的一条对角线，请仅用无刻度的直尺完成以下作图． (1)如图1，在正八边形内部以为斜边作等腰直角三角形． (2)如图2，在正八边形内部以为边作正方形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）如图所示： 连接、，与相交于点，即为等腰直角三角形； 根据正八边形可知，每一个内角的大小为，且四边形为等腰梯形，内角和为，， ， ， ， 同理可得，， 为等腰直角三角形； （2）解：如图所示： 连接、，与相交于点，连接、，交于点，交于点，连接，四边形即为正方形； ，，可求， ， 则满足，且， 四边形即为正方形． ABC分层训练 1．正六边形的中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意准确掌握定义是关键． 据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角． 【详解】解：正六边形的中心角的度数是， 故选：C． 2．正六边形的中心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角．据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：，此题比较简单，注意准确掌握定义是关键． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 3．一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形中心角度数，掌握正多边形中心角度数计算公式是解题的关键．根据正多边形中心角的计算公式，中心角的度数为，其中为边数．将已知中心角代入公式即可求解． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由正多边形中心角的性质可得： 解得： 因此，该正多边形的边数为6． 故选：A． 4．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 5．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 6．下列说法错误的是（   ） A．圆内接正多边形每个内角都相等 B．圆内接正多边形都是轴对称图形 C．圆内接正多边形都是中心对称图形 D．圆内接正多边形的中心到各边的距离相等 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形的性质，解决本题的关键是熟练掌握正多边形的性质. 根据正多边形的性质分别进行判断得出答案即可. 【详解】解：A、根据正多边形的定义可得，正多边形每个内角都相等,选项说法正确，不符合题意. B、根据正多边形的性质可得，正多边形都是轴对称图形，选项说法正确，不符合题意. C、当边数为偶数时，正多边形是中心对称图形；当边数是奇数时，正多边形不是中心对称图形，选项说法错误，符合题意. D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆的圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，选项说法正确，不符合题意. 故选：C ． 7．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是______． 【答案】36 【知识点】正多边形的内角问题、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 8．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是________． 【答案】正六边形 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 9．正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是________． 【答案】6 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，掌握圆心角的计算，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意作图可得，，则有，是等边三角形，，由此即可求解． 【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆， 如图所示，，， ∴正六边形每条边所对的圆心角的度数为， ∴是等边三角形， ∴， ∴该正六边形的周长是， 故答案为：6 ． 10．如图，点是正五边形的中心，连接，于点，则的度数为______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、求正多边形的中心角 【分析】本题考查了正多边形和圆的位置关系，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线以及记熟正多边形的有关性质是解题关键，根据题意，可得，根据正多边形的性质，求出，根据三角形的内角和，求出，再根据三角形的内角和，即可． 【详解】解：连接， ∴， ∴， ∵点是正五边形的中心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，把一个圆分成三个扇形，你能求出这三个扇形的圆心角吗？ 【答案】，， 【知识点】求扇形统计图的圆心角 【分析】本题主要考查了扇形的圆心角，用分别乘以各个扇形所占的百分比，求出各个扇形圆心角度数即可． 【详解】解：周角是， ， ． 12．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（    ） A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【答案】D 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得，， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 13．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（    ） A．45° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为，即得答案． 【详解】解：如图所示的正多边形中， ， 为等边三角形， ， 这个正多边形的中心角为． 故选B． 【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键． 14．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【详解】分析：根据正多边形的中心角和为360°与正多边形的中心角相等，列式计算即可. 详解：∵正多边形的中心角和为360°，正多边形的中心角是30°， ∴这个正多边形的边数==12． 故选A． 点睛：本题考查了正多边形和圆的知识点，掌握正多边形的中心角和为360°与正多边形的中心角相等，是解答本题的关键. 15．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正n边形的中心角的度数为360°÷n进行计算即可得到答案． 【详解】． 故这个正多边形的边数为12． 故选B． 【点睛】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 16．如图，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形的周长最大的是图形（    ）    A．① B．② C．③ D．无法判定 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】根据圆内接多边形的周长小于圆周长，再利用逐步逼近法选择答案． 【详解】解：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长越来越接近圆周长， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形与圆，关键是知道圆内接多边形的周长小于圆周长． 17．如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　）    A． B．3 C．6 D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：    ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 18．正十边形的中心角的度数为_____． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 19．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 【答案】六 【知识点】等边三角形的判定和性质、已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 20．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则地基的面积为_____m2． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为，高为， ∴正六边形的面积为， 故答案为：. 21．如图，正六边形内接于，求的度数． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 【详解】解： 正六边形内接于， 是直径， 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 22．（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】 （1）如图，六边形即为所求； （2）①如图，即为所求； ②如图，即为所求； 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、正多边形和圆的综合、无刻度直尺作图 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $