第六章 概率的进一步认识 单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学概率单元卷，立足单元复习，以真实情境（如天宫课堂、体育活动）和文化素材（田忌赛马、数学家故事）为载体，全面考查概率计算、频率稳定性等核心知识，适配单元教学目标，培养数据意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|随机事件概率、频率稳定性|结合飞镖靶（几何直观）、数学家卡片（文化传承）| |填空题|8/24|游戏公平性、用频率估计概率|融入拼音抽取（生活情境）、田忌赛马（历史文化）| |解答题|7/66|列表/树状图求概率、统计与概率综合|天宫课堂实验（科技前沿）、七巧板概率（几何与概率结合）|

2026-2027学年九年级数学上册第六章概率的进一步认识单元测试卷北师大版 一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）有一个不透明的盒子中，装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余大小和质地均相同．若从盒子中随机摸出一个球是白球的概率为，则白球的个数是（　　） A．16 B．10 C．8 D．6 2．（3分）如图是一个被等分为8个扇形的飞镖靶，小明随机投掷一枚飞镖（假设飞镖一定落在靶上且落在每个区域的可能性相等），则飞镖落在黑色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图，符合这一试验结果的可能是（　　） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上 B．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上 C．从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球 D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数 4．（3分）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则红球的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（3分）小明和小刚做游戏，先是各自背着对方在手心写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定：若两人所写的数字之和是偶数，则小明获胜，否则小刚获胜．那么对于这个游戏，下列说法正确的是（　　） A．游戏对小明有利 B．游戏对小刚有利 C．游戏公平 D．不能判断游戏对谁有利 6．（3分）为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2，则估计袋中红球的个数为（　　） A．20 B．15 C．10 D．5 8．（3分）随着“双减”政策的实施和课后延时托管的开展，某学校开设了四门兴趣课程，分别为“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”．学校规定每人只能选择自己喜欢的一门课程学习．小明与小亮对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，这两人选择同一门课程的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90 10．（3分）小张和小李做摸球游戏，他们把5个标有数字1、2、3、4、5的小球（除数字外其余都相同），装入一个不透明的袋子里，摇匀后小李从中随机依次摸出了个3小球（每次都不放回），依次记为一个三位数的百位、十位、个位．若得到的三位数是奇数，小张胜；否则，小李胜．那么这个游戏（　　） A．公平 B．不公平，对小李有利 C．不公平，对小张有利 D．无法判断公平性 二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是　 　 的．（填“公平”或“不公平”） 12．（3分）从拼音“zhongkao”中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为 　 　 ． 13．（3分）从不等式5x+14＞2x﹣1的负整数解中任意取一个数作为m的值，则关于y的分式方程的解是正整数的概率为　 　 ． 14．（3分）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．小亮每次投掷飞镖均扎在该飞镖游戏板上，且扎在飞镖板上任意点处的机会是均等的．则小亮随机投掷一次飞镖，飞镖扎在阴影区域的概率是 　 　 ． 15．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．如果小君转动两个转盘各一次，转盘停止后（指针指在分界线时重转），指针指向的数字之和为奇数的概率是　 　 ． 16．（3分）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中黄球的个数可能是 　 　 个． 17．（3分）读了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的这场比赛．他分别用如表中的数字来代表马的实力，数字越大，马的实力越强，每匹马只赛一场，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序依次为上等马、中等马、下等马，则齐王赢得比赛的概率为 　 　 ． 马匹等级人物 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 18．（3分）如图是4×4的正方形网格飞漂游戏板，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）有一个两人转盘游戏，准备如图三个可以自由转动的转盘，小明与小王两人做如下分工：小明转动转盘，小王记录转盘停下时指针所指的数字（指针停在分界线上不算）．当三个数字中有数字相同时，就算小明赢，否则就算小王赢．请你用所学的概率知识说明，这个游戏是否公平． 20．（8分）“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．奇妙“乒乓球”；D．又见陀螺．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”，为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让佳佳和皮皮各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感． （1）佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为　 　 ； （2）佳佳先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，皮皮再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求佳佳和皮皮抽到相同卡片的概率． 21．（8分）2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采!为了培养青少年人才储备，某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 　 　 名；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是 　 　 ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 22．（10分）世纪隆超市举行有奖促销活动：凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会．摇奖机是一个圆形转盘，被分成16等分，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三获奖，奖金依次为60、50、40元．一次性购物满300元者，如果不摇奖可返还现金15元． （1）摇奖一次，获一等奖的概率是多少？ （2）摇奖一次，获奖的概率是多少？ （3）老李一次性购物满了300元，他是参与摇奖划算还是领15元现金划算？ 23．（10分）如图，某商场有一个可以自由转动的圆形转盘，规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，请你估计获得一瓶饮料的概率；（结果保留小数点后一位） （2）经统计该商场每天约有5000名顾客参加抽奖活动，若一瓶饮料的单价为3元，一支铅笔单价为1元，该商场想把每天支出的奖品费用控制在6000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为多少度？ 24．（10分）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形ABCD中，装饰图中三角形的顶点F在边AB上，三角形的边MN和PQ分别在边AD、BC上，使得AB＝BC． （1）通过观察图形得到AB＝　 　 ； （2）一只蚂蚁在长方形ABCD内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 25．（12分）在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：时），把调查结果分为四档，A档：t＜8；B档：8≤t＜9；C档：9≤t＜10；D档：t≥10．根据调查情况，给出了部分数据信息： ①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； ②图1和图2是两幅不完整的统计图． 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）该校要从D档的4名学生中随机抽取2名分享读书经验，已知这4名学生中，1名来自七年级，2名来自八年级，1名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率． 参考答案 一．选择题 1．解：设该盒中白球为x个， ∵一个不透明的盒子中，装有10个红球和若干个白球，从盒子中随机摸出一个球是白球的概率为， ∴， 解得：x＝6， 经检验，x＝6是原方程的根， 所以白球的个数是6． 故选：D． 2．解：由题意可知，黑色区域的面积占总面积的一半，根据概率的定义可知：飞镖落在黑色区域的概率是． 故选：D． 3．解：根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33， A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，故此选项不符合题意； B、抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，故此选项不符合题意； C、从装有大小质地完全相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为，故此选项符合题意； D、从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是偶数的概率为，故此选项不符合题意． 故选：C． 4．解：设红球的个数为x个， 由题意得：＝． 解得：x＝4， 经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为4个， 故选：B． 5．解：两人所写的数字之和共有4种等可能的结果，它们为奇数+奇数，奇数+偶数，偶数+奇数，偶数+偶数， 其中两人所写的数字之和是偶数的结果数为2，所以小明获胜的概率＝＝，两人所写的数字之和是奇数的结果数为2，所以小刚获胜的概率＝＝， 因为＝， 所以这个游戏对双方是公平的． 故选：C． 6．解：用A，B，C，D表示祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能得结果，其甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的情况有4种， ∴甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是． 故选：D． 7．解：∵随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在0.2， ∴从中摸出一个红球的概率为0.2， ∴估计袋中红球的个数为50×0.2＝10， 故选：C． 8．解：设“绘画”“声乐”“陶艺”和“书法”这四种课程分别为A、B、C、D． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明与小亮两人恰好同时选择同一门课程的结果有4种，即AA、BB、CC、DD， ∴小明与小亮选择同一门课程的概率是概率为． 故选：A． 9．解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.90附近， ∴估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90． 故选：D． 10．解：他们把5个标有数字1、2、3、4、5的小球（除数字外其余都相同），装入一个不透明的袋子里，摇匀后小李从中随机依次摸出了个3小球（每次都不放回）， 随机依次摸出了3个小球，共有5×4×3＝60种等可能的结果， 当得到的三位数是奇数时，则个位可以从3个奇数里任取1个，再从其余4个球中选取前两位数， 故有 3×4×3＝36种等可能的结果， 故P（得到三位数是偶数）＝； 故P（得到三位数是奇数）＝； ， 故游戏不公平，对小张有利； 故选：C． 二．填空题 11．解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果，其中掷出的点数是奇数得有3种结果，偶数的也有3种结果， 所以掷出的点数是奇数的概率为＝，掷出的点数是偶数的概率为＝， 即甲赢与乙赢的概率均为， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 12．解：从拼音“zhongkao”的8个字母中随机抽取一个字母，抽中字母o的概率为＝， 故答案为：． 13．解：由5x+14＞2x﹣1得：x＞﹣5， 所以符合条件的m的值为﹣4、﹣3、﹣2、﹣1， 解分式方程得y＝m+3， ∵分式方程的解为正整数且y≠2， ∴m＝﹣2， 则符合条件的概率为， 故答案为：． 14．解：设小正方形的面积为a， ∵飞镖游戏板由大小相等的9个小正方形格子构成， ∴飞镖游戏板由大小相等的面积为9a，阴影区域的面积为3a， ∴随意投掷一个飞镖，击中阴影区域的概率为：＝． 故答案为：． 15．解：列表如下： 1 2 3 4 5 4 5 6 5 6 7 由表知，共有6种等可能结果，其中指针指向的数字之和为奇数的有3种结果， 所以指针指向的数字之和为奇数的概率为， 故答案为：． 16．解：设袋子中黄球的个数为x个， ， 解得x＝15， 即袋子中黄球的个数可能是15个． 故答案为：15． 17．解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马只有按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛， 当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 双方马的对阵中，共有6种可能的情况，有5种对阵情况齐王赢，只有1种对阵情况田忌能赢， ∴齐王赢得比赛的概率为， 故答案为：． 18．解：阴影部分面积为×1×1×8＝4， ∵正方形网格的面积为4×4＝16， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 三．解答题 19．解：画树状图如下： ∵含有相同数字的结果有6种，不含有相同数字的结果有2种，共有8种结果，且是等可能的， ∴小王赢的概率＝，小明赢的概率＝， ∵， ∴这个游戏不公平． 20．解：（1）由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D， 佳佳随机选出的卡片代表的实验是“动量守恒”的概率为． 故答案为：； （2）画树状图： 两人抽到卡片可能出现的情况共有16种，其中抽到相同卡牌的结果由4种， 所以• 21．解：（1）本次被调查的学生人数为30÷30%＝100（名）． 选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）． 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为×360°＝18°． 故答案为：18°． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ∴甲和乙同学同时被选中的概率为＝． 22．解：（1）找到红色区域的份数占总份数的多少即为获得一等奖的概率： P（一等奖）＝； （2）将每种获奖的概率加起来可得： P（获奖）＝++＝； （3）60×+50×+40×＝20（元） 因20＞15，所以参与摇奖划算． 23．解：（1）转动该转盘一次，估计获得一瓶饮料的概率为0.3； （2）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则5000×3×+5000×1×（1﹣）＝6000，解得n＝36， 答：转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度． 24．解：（1）对比图2与图1，可以发现AB正好等于正方形的对角线长， ∵正方形的边长为cm， ∴对角线长为＝12（cm）， 故答案为：12cm， （2）不相同． 说明：∵AB＝BC．AB＝12cm， ∴BC＝16cm， ∴P（它停在“台灯”上）＝＝， P（它停在空白区域）＝， ∵≠， ∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同， 25．解：（1）由题意可知，A挡和D档共有12个学生，而D档有4个学生，则A档有8个学生， ∴本次调查的学生人数为8÷20%＝40（人）， ∴C档人数为40﹣12﹣16＝12（人）， 将条形统计图补充如下： （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有10种， ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率＝＝． 学科网（北京）股份有限公司 $