第六章概率的进一步认识单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为北师大版九年级上册第六章“概率的进一步认识”单元测试，以文化传承与现实应用为情境特色，覆盖概率核心知识点，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|频率估计概率（1）、随机事件判断（2）、几何概型（3、4、5、10）|结合四大书院（8）、围棋棋盘（6）等文化情境，考查抽象能力与空间观念| |填空题|5/15|古典概型（11）、方程与概率（12）、面积比概率（15）|融入名著阅读（11）、三角形构成（14），体现应用意识| |解答题|8/75|列表/树状图求概率（16、17、18）、统计与概率综合（21、22、23）|以无人机续航（21）、网购调查（22）为背景，培养数据意识与推理能力|

第六章概率的进一步认识单元测试 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有6个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 3．如图，转动质地均匀的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 4．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形，若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图是围棋棋盘的一部分，在交叉点上已经摆放了2枚白棋和1枚黑棋，再随机在其他交叉点摆放两枚白棋后，则以四枚白棋所在的交叉点为顶点的四边形是正方形的概率是（     ） A． B． C． D． 7．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 8．河南的应天书院、湖南的岳麓书院、江西的白鹿洞书院、河南的嵩阳书院是我国古代的四大书院，它们在古代文化史上地位极高． 如图有四张卡片，其正面分别印有四大书院，它们除正面外完全相同． 把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上的书院所在地都在河南的概率为（     ） A． B． C． D． 9．三张完全相同卡片分别写有2、、1，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（     ） A． B． C． D． 10．如图，公园广场上铺设的图案是由五个过同一点且半径不同的圆组成，阴影部分涂成了彩色．小明在规定的地点随意向图案内投掷毽子，毽子都能落在图案内，经过多次试验，发现落在区域一、三、五（即阴影部分）内的概率分别是，，，已知最大圆的半径是1，则阴影区域的总面积为（     ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．小明从《艾青诗选》《水汻传》《简爱》《儒林外史》四本书中随机挑选一本，其中拿到《水汻传》这本书的概率为__________． 12．一个仅装有球的不透明布袋里只有8个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则______． 13．如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成3个和4个扇形，每个扇形上都标有数字．同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针所指数字的和大于8的概率是_______． 14．已知线段，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段的长度，那么能组成等腰或者直角三角形的概率是________． 15．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为__________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16．《西游记》作者吴承恩是淮安人，淮安的自然风光和文化氛围为吴承恩提供了丰富的创作灵感．《水浒传》作者施耐庵长期客居淮安，并在淮安完成了《水浒传》的创作．小艾从2张《西游记》人物卡通卡片（A．唐僧；B．孙悟空）中随机抽取一张，再从3张《水浒传》人物卡通卡片（C．宋江；D．武松；E．林冲）中随机抽取一张． (1)小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是_____； (2)用树状图或列表的方法求小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率． 17．如图，随机闭合开关，，中的两个，用列表法或画树状图法求出让小灯泡，同时发光的概率． 18．扬州一直以来是游客竞相前往的游览胜地．小丽和小红她们每人都计划上午在瘦西湖、个园中选择一个景点游览，下午在东关街和大运河博物馆中选择一个景点游览． (1)小丽和小红每人有_____种选择方案； (2)用画树状图或列表的方法求小丽和小红选择同种方案的概率．（友情提醒：各种方案用、、…或①、②、③…等符号来代表可简化解答过程） 19．我们知道，一副扑克牌共54张，现在小明和小颖用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏．小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． (1)现小明已经摸到的牌面为5，然后小颖摸牌，那么小明和小颖获胜的概率分别是多少？ (2)若小明已经摸到的牌面为2，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ (3)若小明已经摸到的牌面为A，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率又是多少？ 20．美育是指通过培养人们认识美、体验美、感受美、欣赏美和创造美的能力，从而使我们具有美的理想、情操、品格和素养．某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动，共有如图所示的、、、共幅名画供师生选择．小长和小春参加了本次活动，两人分别从这幅名画中随机选择一幅进行鉴赏．（两人选择哪一幅名画相互不受影响） 请用列表法或画树状图的方法求小长和小春选择同一幅名画的概率． 21．随着无人机在航拍、快递、救援等领域的广泛应用，电池续航能力成为衡量无人机性能的重要指标．某校科技节准备举办一场无人机竞速赛，小明负责从学校器材室租用一批无人机供选手使用一天，预计每台无人机累计飞行行程约为，器材室有A，B两种型号的无人机．为了选择合适的型号，小明对两种型号的无人机满电续航里程（单位：）进行了调查分析，过程如下： A、B型无人机满电续航里程的平均数、中位数、众数如下表： 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 m 410 B 432 430 n 根据以上信息，完成下列问题： (1)扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　　 °；补全上述条形统计图； (2)填空：　　，　　； (3)根据以上数据，你认为小明选择哪个型号的无人机较为合适，并说明理由． (4)C型无人机推出后引发广泛讨论．现有A，B，C三款无人机，小明和小红随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择 C 款无人机的概率． 22．网上购物已成为现在市民购物的主要方式，网上购物快捷、方便，不用出门就可以买到自己想买的物品，这已成为人们生活的重要部分．某数学兴趣小组利用课外活动时间，在学校随机调查了部分教师2025年春节期间网上购物的消费金额（单位：千元），并将收集到的数据整理成不完整统计图（图1、图2）．请根据图表中提供的信息，解答下面的问题． 消费金额分组统计表 组别 消费额（千元） A B C D E (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)在调查的教师中，春节期间网上购物消费金额的中位数出现在________组； (3)若从该样本中随机抽取一名教师进行访谈，则恰好在E组的概率是_______； (4)若该校有300名教师，估计2025年春节期间网上购物的消费金额不少于3000元的教师约有______人； (5)请你就网上购物方式谈谈自己的看法． 23．某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为小时，A：，B：，C：，D：，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整； (2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？ (3)表示B等级的扇形圆心角的度数是多少？ (4)在此次问卷调查中，甲班有人平均每天课外学习时间超过小时，乙班也有人平均每天课外学习时间超过小时，若从这人中任选人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的人来自不同班级的概率． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C A B C D C 11． 12．12 13． 14． 15． 16．(1) (2)小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：小艾从《水浒传》人物卡通卡片中抽取到武松的概率是； 故答案为； （2）解：由题意可列表如下： 宋江 武松 林冲 唐僧 √ √ √ 孙悟空 √ √ √ 由表可知：小艾任取两张的可能性有6种，其中恰好抽中唐僧和宋江的可能性只有1种，所以小艾恰好抽中唐僧和宋江的概率为． 17．答：让小灯泡，同时发光的概率为． 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握树状图的知识，根据题意，用树状图列出所有等可能的结果，进行解答，即可． 【详解】解：树状图如下： 共种等可能的结果，其中能让两盏灯泡亮起来的结果有种，闭合；闭合， ∴． 答：让小灯泡，同时发光的概率为． 18．(1)； (2)小明和小红选择同种方案的概率为． 【分析】本题考查的知识点是列举随机实验的所有可能结果、列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是利用树状图找出所有等可能结果． （1）列举出所有游览方案即可得解； （2）利用树状图展示所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：小丽和小红可选择：瘦西湖+东关街（用表示）；瘦西湖+大运河博物馆（用表示）；个园+东关街（用表示）；个园+大运河博物馆（用表示）共种方案． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小丽和小红选择同种方案的结果有种， 小丽和小红选择同种方案的概率为． 19．(1)； (2)0； (3)；0 【分析】（1）小明已经摸到的牌面为5，而小于5的结果为，大于5的结果数为，然后根据概率公式求解； （2）小明已经摸到的牌面为2，而小于2的结果为0，大于2的结果数为，然后根据概率公式求解； （3）小明已经摸到的牌面为，而小于的结果为，大于2的结果数为0，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了概率公式． 【详解】（1）解：∵小明已经摸到的牌面为5，且牌面大谁就获胜，规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关， ∴， 则比大的数有个，比小的数有12个， （小明获胜）； （小颖获胜）； （2）解：∵若小明已经摸到的牌面为2，且牌面大谁就获胜，规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关， ∴（小明获胜）； 则， ∴（小颖获胜）； （3）解：∵小明已经摸到的牌面为A， ∴比A小的数有：， （小明获胜）； （小颖获胜）． 20．小长和小春选择同一幅名画的概率是． 【分析】本题考查的知识点是列表法或画树状图求概率，解题关键是熟练掌握列表法或画树状图求概率． 先画出树状图，再求出总的情况和符合题意的情况即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有种情况，其中小长和小春选择同一幅名画的情况有种， 故小长和小春选择同一幅名画的概率是． 21．(1)36；补全条形统计图如图： (2)； (3)选择B型无人机更合适，理由：B型无人机的平均续航里程、中位数、众数均高于A型，且平均里程大于预计飞行的，整体续航能力更强，更能满足比赛的飞行需求 (4) 【分析】（1）先由续航里程的A型无人机数量除以占比求解A型无人机总数，再计算出续航里程的无人机占比，然后用乘以占比求解圆心角；最后用无人机总数减去已知续航里程的无人机数量求解续航里程为的无人机数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）可以从平均数、中位数、众数的角度分析； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：A型无人机数量为（台）， “”对应的圆心角度数为：； 续航里程为的A型无人机数量为：（台）， 补全条形统计图略； （2）解：A型无人机数量20台，则中位数是第10，11个数据的平均数，续航、的数量累计个，而续航的数量有5个，故第10，11个数据都是，因此中位数； 由折线统计图可得，B型无人机中续航的无人机数量最多，故众数； （3）略 （4）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人中至少有一人选择 C 款无人机的结果数有5种， ∴两人中至少有一人选择 C 款无人机的概率是． 22．(1) (2) (3) (4) (5) 答案不唯一： 便捷性：无需出门，随时随地可以购物． 多样性：商品种类丰富，选择范围广． 价格透明：可以轻松比较不同商家的价格． 节省时间：避免了传统购物的排队和交通时间． 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，频率估计概率．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）利用组的频数的和除以组所占的百分比即可求得总数，即样本容量； （2）根据样本容量和中位数的定义确定中位数的位置即可； （3）根据组人数的占比，即可求解； （4）利用总数乘以D、E的百分比之和，即可； （5）根据题意，言之有理即可． 【详解】（1）本次调查样本的容量 ； 故答案为：． （2）∵共人， ∴中位数为第和第人的平均数， ∴中位数应该落在小组内； （3）组的频数； 组的频数， 若从该样本中随机抽取一名教师进行访谈，则恰好在E组的概率是 （4） 故答案为：． （5）略 23．(1)， (2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内； (3)表示等级的扇形圆心角的度数为； (4) 【分析】（1）由A等级人数与占比求出总抽样人数，再用总人数减去A、B、D人数得到C等级人数，补全条形图． （2）总人数200，中位数为第100、101个数据，累计各等级人数判断这两个数据落在C组． （3）先算出B等级人数占总人数的比例，再用乘该比例得到对应扇形圆心角度数． （4）标记4名学生，画树状图列出全部等可能结果，统计跨班级的情况数，用符合条件数除以总情况数算出概率． 【详解】（1）解：，， 补全条形统计图略； （2）解：将调查的名学生的课外学习实践活动时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数均为“等级”， 本次抽样调查中，学习时间的中位数落在等级内； （3）解：， 答：表示等级的扇形圆心角的度数为； （4）解：把甲班平均每天课外学习时间超过小时的名学生记为、，乙班平均每天课外学习时间超过小时的名学生记为、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选出的人来自不同班级的结果有种， 选出的人来自不同班级的概率为． 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $