第六章概率的进一步认识单元复习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第六章概率单元复习卷，通过选择（10题30分）、填空（5题15分）、解答（5题75分）覆盖古典概型、频率估计概率等核心知识，情境真实且融入数据意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|古典概型（摸球）、频率估计概率（体质健康抽测）、几何概率（转盘）|结合二维码、景点选择等现实情境，考查抽象能力与几何直观| |填空题|5/15|频率估计数量（口袋球数）、组合概率（盲盒抽取）|融入三星堆文创等文化素材，体现模型观念| |解答题|5/75|统计与概率综合（无人机续航）、游戏公平性（骰子游戏）、概率应用（花卉移植）|设计分层问题（如无人机选择理由），培养推理意识与应用能力|

· 第六章 概率的进一步认识�单元复习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．一个盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外其余均相同．若从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球颜色不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 3．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生体质健康合格的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 0.85 0.9 0.93 0.9 0.89 0.9 0.91 0.91 0.92 0.92 A．0.92 B．0.905 C．0.903 D．0.9 4．王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 6．经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（   ） A． B． C． D． 7．如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 8．作为经济大省、旅游大省，广东正通过不断完善现代旅游业体系，加快粤港澳大湾区世界级旅游目的地等项目建设，奋力推动旅游业高质量发展．小萌假期里想在省内景点游玩，主要考虑的地方有以下五个景点：广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠．若她随机选择两个景点，恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率是（   ） A． B． C． D． 9．如图为一正方形草坪，四边形为正方形， ，，若小鸟落在正方形草坪内的任一位置的可能性相同，则落在阴影部分中的概率为（    ） A． B． C． D． 10．不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球和绿球的频率分别稳定在和．由此推测口袋中黄球的个数是___________个． 12．有四张正面分别标有数字，，3，5的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机一次性抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率是________． 13．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 14．三星堆文创盲盒是三星堆博物馆以其独特的出土文物为原型，结合现代潮流玩偶设计理念，所开发的一系列创意产品．它成功地将古老神秘的三星堆文化与现代消费潮流相结合，成为“让文物活起来”的典范之作．如图，已知一箱祈福神官系列内有4个盲盒，包括A款青铜大立人，B款铜鸟，C款平头金面青铜人头像，D款青铜戴冠纵目面具，则随机抽取的2个盲盒中有A款青铜大立人的概率为______________． 15．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为__________． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 17．为了更好地开展劳动教育，实现五育并举，某校劳动实践基地共开设四门劳动实践课程，分别是：绿植栽培，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹饪，且每人只能参加一门实践课程． (1)九年级一班的王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为________； (2)九年级一班的甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，请用画树状图或列表的方法，求他们选择的实践课程相同的概率． 18．小明和小军利用质地均匀的骰子做游戏，规则如下： Ⅰ．两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子． Ⅱ．当一人掷出的点数和不超过10时，如果决定停止掷，那么此人的得分就是他所掷出的点数和；当一人掷出的点数和超过10时，必须停止掷，并且得分为0； Ⅲ．比较两人的得分，谁的得分高谁就获胜． 请根据上述规则回答下列问题： (1)掷一次骰子得到的点数为1的概率是_________； (2)小明第一次掷出的点数是6，如果他决定掷第二次，则最终得分为0的概率是多少？ (3)已知小军前两次掷出的点数和为8，此时他并不知道小明掷的点数．如果你是小军，你会掷第三次吗？请用所学的概率知识说明理由． 19．一枚质地均匀的正十二面体形状的骰子（如图），其中的1个面标有“”，1个面标有“”，2个面标有“”，2个面标有“”，3个面标有“”，其余面标有“”（如表1）． 表1正十二面体骰子每面对应字母统计表 字母 对应的个数 1 1 2 2 3 ？ (1)标有“”的面有_________个． (2)任意掷这枚骰子，掷出“”的概率是多少？ (3)小明和小华参与游戏：任意掷这枚骰子，若掷出“”或“”或“”，则小明赢，否则小华赢．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 20．随着无人机在航拍、快递、救援等领域的广泛应用，电池续航能力成为衡量无人机性能的重要指标．某校科技节准备举办一场无人机竞速赛，小明负责从学校器材室租用一批无人机供选手使用一天，预计每台无人机累计飞行行程约为，器材室有A，B两种型号的无人机．为了选择合适的型号，小明对两种型号的无人机满电续航里程（单位：）进行了调查分析，过程如下： A、B型无人机满电续航里程的平均数、中位数、众数如下表： 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 m 410 B 432 430 n 根据以上信息，完成下列问题： (1)扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为　　 °；补全上述条形统计图； (2)填空：　　，　　； (3)根据以上数据，你认为小明选择哪个型号的无人机较为合适，并说明理由． (4)C型无人机推出后引发广泛讨论．现有A，B，C三款无人机，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择 C 款无人机的概率． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C D B B B C C 1．B 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的球颜色不相同的有4种， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，该区初中生体质健康合格的概率约为； 故选：A． 4．C 【分析】本题考查用频率估计概率．由题意可知点落在白色区域的概率为0.4，求出白色区域的面积，进而求出黑色区域的面积． 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 蓝色区域的圆心角为， 指针落在蓝色区域的概率是， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键．用树状图列举出所有等可能的情况，计算恰好有两人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中恰好有两人左拐的有3种， ∴恰好有两人左拐的概率为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先列表得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设广州长隆欢乐世界、深圳东部华侨城、珠海长隆海洋度假区、深圳世界之窗、广州陈家祠分别为，可列表为： 由列表可得总共有种等可能得结果，其中恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠有2种， ∴恰好选到深圳世界之窗和广州陈家祠的概率为：， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查几何概率，熟练掌握数形结合思想是解题的关键； 根据题意，求得正方形的面积，再求得阴影部分面积，进而求解； 【详解】解：阴影部分面积为：， 正方形面积为：， 落在阴影部分中的概率为； 故选：C 10．C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 11．24 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】用球的总个数乘以摸到黄色球的频率的稳定值即可． 解：（个）， 故答案为：24． 12． 【分析】本题考查概率的应用，通过列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：列表如下： 3 5 3 5 ∴共有12种可能结果，其中抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的有8种， ∴抽取的两张卡片上的数字之积为一个负数的概率． 故答案为：． 13．16 【分析】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，根据概率公式计算总球数，再求白球数n，即可作答． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 14．/ 【分析】先算总共有多少种抽取2个的情况，然后再算含A的有多少种，根据概率公式 计算即可． 【详解】解：我们将4个盲盒分别记为A、B、C、D， 从4个盲盒中随机抽取2个， 所有等可能的组合共12种等可能结果，如图所示 其中包含A款的结果共6种符合条件的结果， ∴所求概率为 ． 15． 【分析】本题主要考查了求概率．设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意可得整个图形的面积为，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设每个小正方形的面积为1，则每个小正方形的边长为1，根据题意得： 中间每个大正方形的边长为， ∴中间每个大正方形的面积为， 整个图形的面积为， ∴点P落在阴影部分的概率为． 故答案为： 16．(1)0.9，0.9 (2)8000株 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（株） 答：估计第二批需购入8000株． 17．(1) (2)． 【分析】本题考查的是用树状图法求概率，注意概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据“概率=所求情况数与总情况数之比”求解即可； （2）画出树状图求解即可； 【详解】（1）解：王欢从四门实践课程中随机选择一门，则恰好选择“：绿植栽培”的概率为． 故答案为：； （2）解：画树状图如下：    由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们选择的实践课程相同的结果有4种，即，， ∴他们选择的实践课程相同的概率． 18．(1) (2) (3)不会掷第三次，理由： 小军第三次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 其中导致小军得分增加的结果共有2种：1，2， （掷第三次得分增加）； 导致小军得分变为0的结果共有4种：3，4，5，6， （掷第三次得分为）； ， 如果我是小军，不会掷第三次． 【分析】（1）掷一次骰子共有6种等可能结果，点数为1只有1种，故概率为； （2）第二次掷出的点数有6种等可能结果，若最终得分为0，则需第二次点数大于4，即点数为5或6，共2种，故概率为； （3）第三次掷骰子共有6种等可能结果．分别求出得分增加和得分为0的概率，进行比较即可． 【详解】（1）解：掷一次骰子共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6， 故掷一次骰子得到的点数为1的概率是． （2）解：小明第二次掷出的点数共有6种等可能的结果：1，2，3，4，5，6； 由题意，其中导致最终得分为0的结果共有2种：5，6， （最终得分为）． （3）略 19．(1)3 (2) (3)这个游戏对双方不公平． 理由如下： 小明赢的概率为， 小华赢的概率为， 因为， 所以这个游戏对双方不公平． 【分析】（1）根据题意可得，标有“”的面数等于总面数减去其他字母的面数之和，即可解答； （2）根据概率公式即可解答； （3）分别计算小明赢的概率和小华赢的概率，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，正十二面体形状的骰子共有个面， 标有“”的面有（个）． （2）解：任意掷这枚骰子，所有等可能的结果有12种，掷出字母“”的结果有3种， 所以，掷出“”的概率为． （3）略 20．(1)36；补全条形统计图如图： (2)； (3)选择B型无人机更合适，理由：B型无人机的平均续航里程、中位数、众数均高于A型，且平均里程大于预计飞行的，整体续航能力更强，更能满足比赛的飞行需求 (4) 【分析】（1）先由续航里程的A型无人机数量除以占比求解A型无人机总数，再计算出续航里程的无人机占比，然后用乘以占比求解圆心角；最后用无人机总数减去已知续航里程的无人机数量求解续航里程为的无人机数量，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）可以从平均数、中位数、众数的角度分析； （4）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：A型无人机数量为（台）， “”对应的圆心角度数为：； 续航里程为的A型无人机数量为：（台）， 补全条形统计图略； （2）解：A型无人机数量20台，则中位数是第10，11个数据的平均数，续航、的数量累计个，而续航的数量有5个，故第10，11个数据都是，因此中位数； 由折线统计图可得，B型无人机中续航的无人机数量最多，故众数； （3）略 （4）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人中至少有一人选择 C 款无人机的结果数有5种， ∴两人中至少有一人选择 C 款无人机的概率是． 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $