05函数的概念及表示题型讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数概念及表示核心考点，系统梳理函数三要素、表示方法及分段函数等内容，按知识梳理-题型突破-考点强化逻辑架构，通过概念辨析、方法指导（如定义域求法、解析式待定系数法）、真题训练等环节，帮助学生构建函数知识体系，突破定义域、分段函数等难点。 讲义采用分层教学策略，设置基础判断、题型分类及综合应用练习，结合“数学思维”培养，如抽象函数定义域通过“已知f(x)定义域求f(g(x))”步骤训练逻辑推理，分段函数求值强调分类讨论提升运算能力。助力学生高效掌握函数核心题型，为教师把控复习节奏提供系统指导。

函数的概念及表示 一、知识梳理 1. 函数的有关概念 函数的概念 一般地,设 是非空的实数集,如果对于集合 中的任意一个数 ,按照某种确定的对应关系 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称 为从集合 到集合 的一个函数 函数的记法 叫做自变量,与 的值相对应的 值叫做函数值 定义域 的取值范围 叫做函数 的定义域 值域 函数值的集合 叫做函数的值域 提醒 直线 ( 为常数) 与函数 的图象有 0 或 1 个交点. 2. 函数的三要素:定义域，对应关系，值域 1.若判断两个函数是不是同一个函数，只要看定义域与对应关系是否完全相同即可. 尽管有的两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数仍不是同一个函数,例如,函数 与函数 , . 2. 判断两个函数是不是同一个函数时,若解析式可以化简，则要注意化简过程的等价性. 3. 函数的常用表示方法: 解析法、图象法、列表法 4. 分段函数 若函数在其定义域内，对于自变量 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数. 提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 二、练习题 1. 判断正误.(对的打“√”,错的打“×”) (1)对于函数 ，其值域是集合 . ( ) (2)两个函数的定义域和值域分别对应相同就表示同一个函数. ( ) (3)函数 的图象与直线 最多有一个交点. ( ) 2. 已知 ,若 ,则 的值为___. 3. 函数 的定义域是___. 4. 已知 则 ___. 题型一 函数的定义域 角度 1 求给定解析式的函数的定义域 以函数解析式中所含式子 (运算) 有意义为准则, 列出不等式或不等式组求解. 对于实际问题,定义域应使实际问题有意义. 5. 若函数 的定义域为集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 角度 2 求抽象函数定义域的方法 1. 若函数 的定义域为 ，则复合函数 的定义域由 求出； 2. 若函数 的定义域为 ,则 的定义域为 在 上的值域. 6. 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 7. 已知函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为( ) A. B. C. D. 8. 若函数 的定义域为 , 则 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 题型二 函数的解析式 函数解析式的求法 1.待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、 二次函数等), 则可用待定系数法. 2. 换元法.主要适用于求解: 已知 的解析式,求函数 的解析式. 其求解的步骤如下: (1) 先令 ,求出 的取值范围; (2)反解出 ,用含 的代数式表示 ； (3)将 中的 换为用 来表示，可求得 的解析式，从而求得 . 3. 配凑法. 由已知条件 ,可将 改写成关于 的表达式,然后以 替代 ,便得 的解析式. 4. 方程组法.主要适用于: 已知 与 、 等之间的关系,求 解析式. 例如: 若条件是关于 与 的方程式, 把 替代 得到第二个式子,与原式联立,通过解方程组的方法,求出 的解析式. 5. 赋值法. 是关于 两个变量的方程式, 可对变量赋值求出 . 9. (1)已知 是二次函数，且满足 ,则 ___. (2)若 ，则 的解析式为 ___. 10. 方程组法 已知函数 对不为 0 的实数 均满足 ,则 的解析式为___. 11. 赋值法 已知 对任意实数 恒成立,且 , 则 的解析式为___. 题型三 分段函数的解题策略 角度 1 分段函数的求值问题 1. 已知自变量求函数值:判断自变量所在区间， 然后代入对应的解析式. 2. 已知函数值求自变量:根据自变量 的取值范围选择解析式，利用函数值列方程求解. 12. 设 则 的值为 ( ) A. 9 B. 11 C. 28 D. 14 13. 函数 当 时，实数 ___. 角度 2 与分段函数有关的方程或不等式问题 根据分段函数中自变量取值范围的界定, 代入相应的解析式求解. 14. 已知 则使 成立的 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 15. 已知 若 ,则 的值为 ___. 角度 3 分段函数值域的求法 1. 根据自变量的不同范围，求出每段函数的值域，每段函数的值域的并集就是函数的值域. 2. 借助函数的图象，确定函数的值域，解含有参数的值域问题常用此法. 16. 已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是___. 17. 已知函数 若函数 的值域为 ,则实数 的取值范围是 ___. 考点 1 函数的概念及表示 18. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是 ( ) A. B. C. D. 19. 已知函数 的定义域为 ,且当 时, ,则下列结论中一定正确的是 ( ) A. B. C. D. 20. 函数 的定义域是___. 21. 函数 的定义域是___. 22. 函数 的定义域为___. 23. 已知函数 . 若 ，则 ___. 考点 2 分段函数 24. 设函数 则满足 的 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 25. 已知 ，函数 若 ,则 ___. 基础强化 26. 已知 5,且 ,则 ( ) A. 3 B. C. 1 D. 27. 下列四组函数中 与 是同一个函数的是 ( ) A. B. C. D. 28. 若函数 的值域是 ,则函数 的值域是 ( ) A. B. C. D. 29. 已知函数 的定义域为 ,则 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 30. 已知定义在 上的函数 满足 ,且 ,则 ( ) A. 2 B. 0 C. -2 D. -4 31. 已知函数 则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. 32. 若函数 的定义域为 ,则 的定义域为 ( ) A. B. C. D. 33. 若函数 的值域为 ,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 34. (多选) 下列命题中,正确的是 ( ) A. 函数 与 表示同一个函数 B. 函数 与 是同一个函数 C. 函数 的图象与直线 至多有一个交点 D. 函数 ,则 35. (多选) 已知函数 则( ) A. B. 若 ,则 或 C. 函数 在 上单调递减 D. 函数 在 上的值域为 36. 已知 则 ___. 37. 若函数 的定义域为 ,则实数 ___，实数 的取值范围是___. 38. 函数 ,则 的定义域是___. 39. 已知函数 满足 ,则 的解析式可以是___. (写出满足条件的一个解析式即可) 40. 若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是___. 41. 已知 是定义在 上的函数, ,且对于任意 都有 , 若 ,则 ___. 参考答案与解析 1. 填 2. 填 1 3. 填 4. 填 -1 5. 选 D. 由已知得 解得 且 ,故 , 3) . 故选 D. 6. 选 A. 因为函数 的定义域为 ,所以 , 解得 ,所以函数 的定义域为 . 故选 A. 7. 选 B. 由函数 的定义域为 知 . 因此函数 的定义域为 . 在函数 中, ,解得 ,故选 B. 8. 选 D. 由题意得 解得 且 1.故选 D. 9. 填 解析 (1) 由 是二次函数设 , 由 ,得 . 由 ,得 ,整理得 ,则有 解得 所以 . (2)解法一:换元法 令 ，则 . 所以 所以函数 的解析式为 . 解法二: 配凑法 . 因为 ,所以函数 的解析式为 . 10. 填 解析 由 ①,得 ②,由 ①×2-②得 ,所以 . 11. 填 解析 令 ,则 ,因为 ,所以 ,所以 . 12. 选 B. 11. 故选 B. 13. 填 8 解析 令 ,当 时, ,解得 或 (舍去),当 时, ,解得 (舍去),因此 ,所以 ,当 时， ，故 无解，舍去， 当 时， ，解得 ，符合题意. 综上所述， . 14. 选 A. 当 时, ,不等式 可化为 ,解得 ,又 ,所以 ; 当 时, ,不等式 可化为 ,解得 ,又 ,所以 . 综上,使不等式 成立的 的取值范围是 . 故选 A. 15. 填 解析 可化为 解得 或 因此 . 故实数 的值为 . 16. 填 解析 的图象如图, 由 ,解得 (舍) 或 , 所以函数 在 上的值域为 ,则实数 的取值范围是 . 17. 填 解析 在同一平面直角坐标系中,作出函数 与 的图象,如图. 结合图象可知要使 的值域为 ,则有 解得 . 因此答案为 . 18. 选 D. 函数 的定义域、值域均为 ,而 的定义域均为 ,排除 的值域为 ,排除 ,故选 D. 易错警示 利用对数恒等式将函数 变为 ,将其值域认为是 是失分的主要原因. 19. 选 B. 当 时, ,因此, ,又 , ,以此类推知 ,因此 正确, 错误;取 ,可知选项 错误;不妨设 ,则 ,令 ,得 ,因此当 时, 100,选项 A 错误. 故选 B. 20. 填 解析 由题意得 解得 且 ,所以函数 的定义域为 . 21. 填 解析 要使函数 有意义,则 故 , 因此函数 的定义域为 . 22. 填 解析 由题意可得 ,即 . 所以函数 的定义域为 . 易错警示 本题易错误认为 “ ,得到 ”. 注意区分 “ ” 与 " " 的写法不同之处. 23. 填 -7 解析 且 ,. 24. 选 D. 函数 的图象如图所示,由 得 ,故选 D. 25. 填 2 解析 因为 ,所以 ,所以 ,解得 . 26. 选 C. 令 ,则 ,故 , 则 ,又 ,故 ,解得 . 27. 选 C. 对于 的定义域是 的定义域是 ,所以不是同一个函数. 对于 的定义域是 的定义域是 ,所以不是同一个函数. 对于 ,两个函数的定义域、值域、对应关系完全相同,所以是同一个函数. 对于 的定义域是 的定义域是 ，所以不是同一个函数. 故选 C. 28. 选 C. 由函数 的值域是 得 ,所以 ,所以 ,因此 ,即函数 的值域是 , 0]. 故选 C. 29. 选 C. 由函数 的定义域为 得 的定义域为 ,在函数 中, 解得 . 故选 C. 30. 选 C. 令 ,则 令 ,则 ,则 ,令 ,则 ,则 ,令 ,则 ,则 ,所以 . 故选 C. 方法技巧 “赋值”是解决抽象函数问题的常用方法, 解题时要依据条件与结论的关系, 对变量赋以适当的值. 31. 选 B. 因为 所以不等式 等价于 或 解得 或 或 ,所以不等式的解集为 . 故选 B. 32. 选 C. 因为函数 的定义域为 ,则 ,可得 ,所以函数 的定义域为 ,对于函数 ,则有 解得 ,因此,函数 的定义域为 . 故选 C. 33. 选 B. 函数 是一个复合函数,要使值域为 ,则函数 的值域要包括 0 (函数 的最小值要小于或等于 0 ). 当 时，显然不成立；当 时，则有 解得 ，所以 的取值范围是 . 故选 B. 34. 选 BC. 对于 因为两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，A 错误；对于 ，函数 与 的定义域相同，对应关系相同,是同一个函数, 正确;对于 ,根据函数的定义可知, 的图象与直线 至多有一个交点, 正确;对于 ,因为 ,所以 ,则 , D 错误. 故选 BC. 35. 选 BD. 函数 的图象如图所示. ,故 A 错误. 当 时, ,此时方程无解; 当 时, 或 ,故 正确. 由图象可得, 在 上单调递增,故 错误. 由图象可知当 时， ， ,故 在 上的值域为 正确. 故选 BD. 36. 填 解析 , 因此 . 37. 填 解析 要使函数 有意义,则有 即 因为函数 的定义域为 ,所以 . 故答案为 . 38. 填 解析 由题意可得 解得 ,所以函数的定义域为 . 39. 填 (答案不唯一) 解析 由题意知,将函数 的图象向左平移 1 个单位长度后与将 的图象向上平移 2 个单位长度后的图象重合. 若设 (结合已知条件,可选择一次函数模型),则由 ,得 ,解得 ,所以 ,故答案为 (答案不唯一). 40. 填 解析 因为当 时, ,所以要使函数 的定义域和值域的交集为空集,则 ,当 时, 值域中有元素 0,此时不满足题意,所以 ,当 时, 的值域为 , 4), 下面分两种情况讨论:①当 时，函数 的值域为 ，要使条件满足,则 解得 ;② 当 时，函数 的值域为 ，要使条件满足,则 解得 . 综上,正数 的取值范围是 . 41. 填 11 解析 在 中,令 ,得 ,由 ,得 ,又 ,因此 ,则有 ,即 ,所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $