2.1　函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示，覆盖函数三要素、定义域、解析式、分段函数等高考核心考点，按“知识回顾-题型突破”架构系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建函数知识网络，突破定义域求解、解析式推导等难点。 资料以题型分层训练为特色，如同一函数判断强调定义域与对应法则的逻辑推理（数学思维），求解析式采用待定系数法等培养数学语言表达，设置抽象函数定义域等针对性练习，助力学生在有限时间内提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2.1　函数的概念及其表示 目录 题型一：函数的概念 4 题型二：同一函数的判断 5 题型三：函数的定义域 6 题型四：函数定义域的综合应用 9 题型五：求函数解析式 10 题型六：抽象函数求解析式 12 题型七：分段函数 13 01 知识回顾 一.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 二.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 三.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 四.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 02 必做典例 题型一：函数的概念 【解题方法】 利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 1. 下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数； 对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数； 对于C选项，当时，不存在，不是函数； 对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数. 故选：A 2. 以下图形中，不是函数图象的是(　　) 答案　A 解析　根据函数的定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，A选项中存在一个x值对应两个y值，所以A不是函数图象. 题型二：同一函数的判断 【解题方法】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 3. 下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 4. (多选)(2025·三明模拟)下列各组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是(　　) A.f(x)=x0与g(x)=1 B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=和g(t)= D.f(x)=与g(x)=· 答案　ABD 解析　选项A，函数f(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)=1的定义域为R，二者定义域不同，不是同一个函数； 选项B，g(x)==|x|与f(x)的对应关系不同，不是同一个函数； 选项C，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，g(t)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一个函数； 选项D，f(x)=的定义域为(-∞，-1]∪[1，+∞)，g(x)=·的定义域为[1，+∞)，二者定义域不同，不是同一个函数. 题型三：函数的定义域 【解题方法】 1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集． 5. 函数y=的定义域是　　　　　　　　.  答案　(-1，0)∪(0，1] 解析　函数y=的定义域满足 ⇒解得-1<x<0或0<x≤1， 所以函数的定义域为(-1，0)∪(0，1]. 6. 求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x+1)的定义域; ②已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数f(x)的定义域; ③已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域. 解:①由1≤2x+1≤2,得0≤x≤,所以函数y=f(2x+1)的定义域为. ②因为y=f(2x+1)的定义域为[1,2],即1≤x≤2,所以3≤2x+1≤5,故函数f(x)的定义域为[3,5]. ③因为函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],所以3≤2x+1≤5. 由3≤2x-1≤5,得2≤x≤3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为[2,3]  【练习】(2026·白银模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=+(x-2)0的定义域是(　　) A.(1，3) B.(1，2)∪(2，3] C.(1，2)∪(2，3) D.(1，3] 答案　B 解析　因为函数y=f(x)的定义域为[0，4]， 所以解得1<x≤3且 x≠2， 所以函数y=+(x-2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]. 【练习】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 题型四：函数定义域的综合应用 【解题方法】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 7. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】由函数的定义域为R，得，恒成立. 当时，恒成立； 当时，，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C. 8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得，在R上恒成立， 当时，，成立； 当时，，即，解得； 综上所述，. 故答案为：. 题型五：求函数解析式 【解题方法】 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式. (4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 9. 求下列函数的解析式 (1)已知f(1-sin x)=cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f=x4+，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)+f=3x，求f(x)的解析式. 解　(1)(换元法)设1-sin x=t，t∈[0，2]，则sin x=1-t， ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x，∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2，t∈[0，2]. 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). (2)(配凑法)f=x4+=-2，又x2+≥2=2， 当且仅当x2=，即x=±1时等号成立.设t=x2+，则t≥2，∴f(t)=t2-2(t≥2)， ∴f(x)=x2-2(x≥2). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)=kx+b(k≠0)，∴f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b，又f(f(x))=4x-3，∴k2x+kb+b=4x-3， 故解得或 ∴f(x)=2x-1或f(x)=-2x+3. (4)(解方程组法)用替换x，得2f+f(x)=， 因此 解得f(x)=2x-(x≠0). 10. 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，为奇函数，为偶函数， 则， 所以，即， 解得. 故选：D 【练习】(多选)下列命题中正确的有(　　) A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10 B.已知函数f=x2+，则f(x)=x2+2(x≠0) C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2 D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x 答案　ACD 解析　对于A，由函数f(3x+1)=6x-4，令3x+1=-2，解得x=-1，此时6x-4=-10，故A正确； 对于B，f=x2+=+2，且x-的取值范围是R，所以函数的解析式为f(x)=x2+2，故B错误； 对于C，由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，因为f(0)=2，所以c=2， 因为f(x)-f(x-1)=2x+3，所以ax2+bx+c-[a(x-1)2+b(x-1)+c]=2x+3，所以2ax-a+b=2x+3， 所以解得 所以f(x)=x2+4x+2，故C正确； 对于D，因为2f(x)+f(-x)=3x， ① 所以将x用-x替换， 得2f(-x)+f(x)=-3x， ② 由①②解得f(x)=3x，故D正确. 题型六：抽象函数求解析式 【解题方法】 若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 11. 已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，由， 代入可得，，解得， . 故答案为：.（答案不唯一只要正确即可） 12. 写出满足的函数的解析式 ． 【答案】 【解析】中，令，得； 令得，故， 则． 故答案为：． 题型七：分段函数 【解题方法】 根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决. 已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围. 13. 已知f(x)=则f(f(5))等于(　　) A.-1 B.0 C. D.1 答案　D 解析　由题意得f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=cos=0， 所以f(f(5))=f(0)=cos 0=1. 14. [2025·江西鹰潭一模] 已知函数f(x)=则f(4)=　　　　.  【答案】9 【解析】f(4)=f(4-3)=f(1)=f(1-3)=f(-2)=2×(-2)2+1=9. 15. [2026·南通9月调考] 已知函数f(x)=若f[f(a)]=-1,则a的值为　　　　.  【答案】)或-1或 [解析] 设t=f(a),则f[f(a)]=f(t)=-1, 当t>0时,f(t)=log3t,由log3t=-1,可得t=3-1=. 当t≤0时,f(t)=,由=-1,两边同时立方可得t=(-1)3=-1.当f(a)=时, 若a>0,则f(a)=log3a=,可得a=;若a≤0,则f(a)==,无解,舍去.当f(a)=-1时, 若a>0,则f(a)=log3a=-1,可得a=;若a≤0,则f(a)==-1,可得a=-1. 综上,a=或a=-1或a=. 16. 已知f(x)=则不等式f(x)<2的解集是 (　 ) A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.[0,3) D.(3,+∞) 【答案】B [解析] 当x<0时,不等式f(x)<2即为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0; 当x≥0时,不等式f(x)<2即为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,可得0≤x<3. 综上,不等式f(x)<2的解集是(-∞,3).故选B. 【练习】设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【答案】A 【解析】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：. 所以. 故选：A. 【练习】(多选)已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4] C.若f(x)=2，则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1，1) 答案　BC 解析　函数f(x)=的定义域是[-2，+∞)，故A错误； 当-2≤x<1时，f(x)=x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)=-x+2，值域为(-∞，1]，故f(x)的值域为(-∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=-x+2=2，无解，当-2≤x<1时，令f(x)=x2=2，解得x=-，故C正确； 当-2≤x<1时，令f(x)=x2<1，解得x∈(-1，1)，当x≥1时，令f(x)=-x+2<1，解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为(-1，1)∪(1，+∞)，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1　函数的概念及其表示 目录 题型一：函数的概念 3 题型二：同一函数的判断 4 题型三：函数的定义域 4 题型四：函数定义域的综合应用 6 题型五：求函数解析式 6 题型六：抽象函数求解析式 8 题型七：分段函数 8 01 知识回顾 一.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 二.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 三.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 四.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 02 必做典例 题型一：函数的概念 【解题方法】 利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 1. 下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 2. 以下图形中，不是函数图象的是(　　) 题型二：同一函数的判断 【解题方法】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 3. 下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4. (多选)(2025·三明模拟)下列各组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是(　　) A.f(x)=x0与g(x)=1 B.f(x)=x与g(x)= C.f(x)=和g(t)= D.f(x)=与g(x)=· 题型三：函数的定义域 【解题方法】 1、抽象函数的定义域求法：（1）若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域．（2）已知的定义域，求的定义域，则用换元法求解. 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再取交集． 5. 函数y=的定义域是　　　　　　　　.  6. 求符合下列要求的函数的定义域. ①已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x+1)的定义域; ②已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数f(x)的定义域; ③已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(2x-1)的定义域. 【练习】(2026·白银模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=+(x-2)0的定义域是(　　) A.(1，3) B.(1，2)∪(2，3] C.(1，2)∪(2，3) D.(1，3] 【练习】已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型四：函数定义域的综合应用 【解题方法】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 7. 已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 8. 若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 题型五：求函数解析式 【解题方法】 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式. (4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x). 9. 求下列函数的解析式 (1)已知f(1-sin x)=cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f=x4+，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x-3，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)+f=3x，求f(x)的解析式. 10. 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（    ） A． B． C． D． 【练习】(多选)下列命题中正确的有(　　) A.已知函数f(3x+1)=6x-4，则f(-2)=-10 B.已知函数f=x2+，则f(x)=x2+2(x≠0) C.已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=2，f(x)-f(x-1)=2x+3，则f(x)=x2+4x+2 D.已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，则f(x)=3x 题型六：抽象函数求解析式 【解题方法】 若已知抽象函数表达式，则常用赋值法 11. 已知函数满足，则的解析式可以是 （写出满足条件的一个解析式即可）． 12. 写出满足的函数的解析式 ． 题型七：分段函数 【解题方法】 根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决. 已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围. 13. 已知f(x)=则f(f(5))等于(　　) A.-1 B.0 C. D.1 14. [2025·江西鹰潭一模] 已知函数f(x)=则f(4)=　　　　.  15. [2026·南通9月调考]已知函数f(x)=若f[f(a)]=-1,则a的值为　　　　.  16. 已知f(x)=则不等式f(x)<2的解集是 (　 ) A.(-∞,2) B.(-∞,3) C.[0,3) D.(3,+∞) 【练习】设，若，则（    ） A．14 B．16 C．2 D．6 【练习】(多选)已知函数f(x)= 则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞，4] C.若f(x)=2，则x的值是- D.f(x)<1的解集为(-1，1) 学科网（北京）股份有限公司 $