第06讲 函数的概念及其表示 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义聚焦函数核心考点，涵盖定义、三要素、表示方法及分段函数，按概念理解到应用突破的逻辑架构知识，通过考点梳理（如表格归纳三要素）、方法指导（定义域求法规则、解析式五种方法）、真题训练（四类题型示例与变式），帮助学生系统构建函数知识体系，突破定义域、解析式等难点。 资料以数学抽象、数学运算、逻辑推理素养为导向，创新设计分段函数问题探究活动，如通过实例分析分段函数定义域值域的并集运算，培养逻辑推理能力。设置基础到综合的分层练习，配合题型归纳与方法总结，确保高效突破考点，助力学生提升函数问题解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

1．理解函数的定义和函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域，培养数学抽象素养． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． 3．通过求函数的定义域和解析式，培养数学运算素养． 4．了解简单的分段函数，通过求解分段函数问题，培养逻辑推理素养． 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的值域． 三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数． 表示方法 （1）解析法；（2）列表法；（3）图象法． 注意： （1）直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． （2）在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 3．定义域的求法 （1）分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1． （2）复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 4．函数解析式的求法 （1）凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法． （3）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． （5）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 题型一：函数的概念 1．函数的判断 例1．（多选）下列对应关系不是A到B的函数的是 A．AR，BR，x2＋y2＝1 B．A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}， C．A＝R，B＝R， D．A＝，B＝Z， 2．函数图像的判断 例2．下列各组图中，不能表示函数图象的是 A B C D 3．相同函数的判断 例3．（多选）下列说法正确的有 A．函数与，表示同一个函数 B．函数与是同一个函数 C．函数的图象与直线x＝2027至多有一个交点 D．已知函数，则＝0 变式训练： 1．下列图形可作为函数图象的是 A B C D 2．（多选）已知集合A＝{﹣2，0，1}，集合B＝{﹣1，0，1，2，4}，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是 A． B． C． D． 3．（多选）下列对应法则f满足函数定义的有 A． B． C． D． 4．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：函数的定义域 1．求具体函数的定义域 例4．（1）函数的定义域为 ． （2）①；② ；③ ． （I）求函数①的定义域； （II）填写函数②和函数③，在填写的过程中，你发现①中的x，相当于②中的什么？①中的x， 相当于③中的什么？ （III）在，和中，哪些式子的范围是一样的？并利用这个结论进一步求出和的定义域． 2．求复合函数的定义域 例5．（1）已知函数的定义域为[1，2]，求的定义域； （2）已知函数的定义域为[1，2]，求的定义域． 3．已知定义域求参数 例6．（1）若函数的定义域为[1，2]，则a＋b的值为 ． （2）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 变式训练： 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 2．已知函数的定义域是，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．函数的定义域是 ． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 题型三：求函数的解析式 1．待定系数法 例7．（1）已知一次函数在R上满足：，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式． 2．配凑法和换元法 例8．（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式． 3．方程组法 例9．（1）已知函数满足，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 变式训练： 1．已知二次函数满足，则函数的解析式为 ． 2．已知 ，则函数的解析式为 ． 3．若，满足，且，则 ． 题型四：分段函数 例10．（1）已知，则＝ ． （2）设函数，则满足的x的取值范围是 ． （3）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 变式训练： 1．函数当时，实数 ． 2．设函数，则不等式的解集为 ． 3．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数 的取值范围是 ． 1．下列四组函数中，是同一个函数的是 A．， B．， C．， D．， 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 A． B． C．[1，3] D．(1，3] 3．狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在 上，，则 A． B． C．0 D．1 4．是定义在上的函数，满足对都成立，则 A． B． C． D． 5．已知是一次函数，，且，函数满足，则 A． B． C． D． 6．已知函数.若，则实数的最小值是 A． B． C． D． 7．（多选）下列对应为集合B到C的函数是 A． B． C． D． 8．（多选）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的是 A． B．当时， C． D．不等式的解集为 9．已知函数，则 ． 10．是定义在上的函数，且满足对任意，等式 恒成立，则的解析式为 ． 11．已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 12．已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 13．已知． （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）若定义域为，求实数的值． 14．已知对任意正实数，总有． （1）求的值； （2）求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解函数的定义和函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域，培养数学抽象素养． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． 3．通过求函数的定义域和解析式，培养数学运算素养． 4．了解简单的分段函数，通过求解分段函数问题，培养逻辑推理素养． 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个非空的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的值域． 三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数． 表示方法 （1）解析法；（2）列表法；（3）图象法． 注意： （1）直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． （2）在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 3．定义域的求法 （1）分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1． （2）复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 4．函数解析式的求法 （1）凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式． （2）待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法． （3）换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围． （4）方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． （5）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 题型一：函数的概念 1．函数的判断 例1．（多选）下列对应关系不是A到B的函数的是 A．AR，BR，x2＋y2＝1 B．A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}， C．A＝R，B＝R， D．A＝，B＝Z， 【解析】对于A，当x＝0，解得y＝±1，故A选；对于C，当x＝2时，集合B中没有元素与之对应，故C选；对于D，当x＝2，求得Z，此时集合D中没有元素与之对应，故D选；综上选ACD． 2．函数图像的判断 例2．下列各组图中，不能表示函数图象的是 A B C D 【解析】根据题意，由函数的定义，函数的图像与直线x＝a(aR)最多只有一个交点，B选项中，当x＞0时，一个x的值有两个y的值与之对应，不符合函数的定义，而A、C、D均符合函数的定义．故选：B． 3．相同函数的判断 例3．（多选）下列说法正确的有 A．函数与，表示同一个函数 B．函数与是同一个函数 C．函数的图象与直线x＝2027至多有一个交点 D．已知函数，则＝0 【解析】对于A，两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域、解析式相同，因此值域也相同，因此它们是同一个函数；根据函数定义，函数的图象与直线x＝2027至多有一个交点，C正确；对于D，，则，故D错误．综上，选BC． 变式训练： 1．下列图形可作为函数图象的是 A B C D 【解析】根据题意，由函数的定义，函数的图像与直线x＝a(aR)最多只有一个交点，对于A，函数的图像与直线x＝a(aR)最多有无数个交点，A不选；对于B，函数的图像与直线x＝a(aR)最多有2个交点，B不选；对于C，函数的图像与直线x＝a(aR)最多只有1个交点，C选；对于D，函数的图像与直线x＝a(aR)最多有无数个交点，D不选；综上，选C． 2．（多选）已知集合A＝{﹣2，0，1}，集合B＝{﹣1，0，1，2，4}，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是 A． B． C． D． 【解析】由从集合A到集合B的函数关系，得集合A中的每个元素，按照给定法则，在集合B中有唯一元素与之对应，对于A，当时，，A不是；对于B，由{﹣2，0，1}，得{0，1，2}，则对每个，有唯一，B是；对于C，当时，，C不是；对于D，由{﹣2，0，1}，得{0，1，4}，则对每个，有唯一，D是．故选：BD． 3．（多选）下列对应法则f满足函数定义的有 A． B． C． D． 【解析】对于A，每一个x的值都有唯一的1﹣2x2的值与之对应，A正确；对于B，当x2取1时，可得两个x的值为±1，B错误；对于C，当取1时，可得两个x的值为2或0，C错误；对于D，每一个的值都有唯一的的值与之对应，即的值是唯一的，D正确；综上，选AD． 4．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】对于选项A：因为，与的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同，且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同，且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD． 题型二：函数的定义域 1．求具体函数的定义域 例4．（1）函数的定义域为 ． （2）①；② ；③ ． （I）求函数①的定义域； （II）填写函数②和函数③，在填写的过程中，你发现①中的x，相当于②中的什么？①中的x， 相当于③中的什么？ （III）在，和中，哪些式子的范围是一样的？并利用这个结论进一步求出和的定义域． 【解析】（1），解得，所以﹣3＜x＜2且x≠1，所以定义域为(﹣3，1)(1，2)． （2）（I），解得2≤x≤6，所以函数①的定义域为[2，6]；（II）＝＋，，发现①中的x，相当于②中的2x，①中的x，相当于③中的5﹣3x；（III）发现的(x)、的(2x)和的(5﹣3x)的范围是一样的，则2≤2x≤6，解得1≤x≤3，的定义域为[1，3]，2≤5﹣3x≤6，解得≤x≤1，即的定义域为[，1]． 2．求复合函数的定义域 例5．（1）已知函数的定义域为[1，2]，求的定义域； （2）已知函数的定义域为[1，2]，求的定义域． 【解析】解：（1）因为的定义域为[1，2]， 所以1≤2x＋1≤2，解得0≤x≤，则的定义域为[0，]； （2）因为的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5， 所以3≤2x﹣1≤5，解得2≤x≤3，即的定义域为[2，3]． 3．已知定义域求参数 例6．（1）若函数的定义域为[1，2]，则a＋b的值为 ． （2）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 【解析】（1）因为函数的定义域为[1，2]，所以不等式的解集为[1，2]，即1和2是方程的根，则，解得，所以a＋b＝． （2）因为函数的定义域为R，所以不等式的解集为R，也就是方程无解，①当m＝0，则3＝0无解；②当m≠0时，则(4m)2﹣4m·3＜0，解得0＜m＜，综上所述，0≤m＜． 变式训练： 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【解析】因为的定义域为，所以中，所以，在中令，解得，所以的定义域为．故选：B． 2．已知函数的定义域是，则的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立，当时，，对任意恒成立；当时，即解得，综上，实数的取值范围是．故选：D． 3．函数的定义域是 ． 【解析】，解得，所以0≤x＜3且x≠1，所以函数的定义域为[0，1)(1，3)． 4．若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【解析】在中，，则，所以函数中，解得．所以函数的定义域为(﹣1，2]． 题型三：求函数的解析式 1．待定系数法 例7．（1）已知一次函数在R上满足：，求的解析式； （2）已知是二次函数，且，，求的解析式． 【解析】解：（1）因为是一次函数，设， 则，又因为， 所以k2＝4，km＋m＝6，解得或， 所以的解析式为或． （2）因为是二次函数，且，设， 则， 将，代入，得 ，化简得， 所以2a＝1，a＋b＝1，解得a＝b＝， 所以的解析式为． 2．配凑法和换元法 例8．（1）已知，求的解析式； （2）已知，求的解析式． 【解析】解：（1）配凑法： ， 所以的解析式为； 换元法： 令x+1＝t，则x＝t﹣1，所以， 所以的解析式为． （2）配凑法： ， 所以的解析式为(x≥2)； 换元法： 令＝t，所以，则，所以， 所以(t≥2)，所以的解析式为(x≥2)． 3．方程组法 例9．（1）已知函数满足，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【解析】解：（1）因为①， 所以②， ②×2﹣①得，， 所以的解析式为； （2）因为①， 所以②， ①×2﹣②得，，解得， 所以的解析式为． 变式训练： 1．已知二次函数满足，则函数的解析式为 ． 【解析】设，因为＝2ax2＋(4a＋2b)x＋4a＋2b＋2c＝2x2﹣2，所以，解得，所以． 2．已知 ，则函数的解析式为 ． 【解析】设，那么，则，所以，． 3．若，满足，且，则 ． 【解析】由，得，联立上述两式解得，，即，而，则，即，所以． 题型四：分段函数 例10．（1）已知，则＝ ． （2）设函数，则满足的x的取值范围是 ． （3）已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 【解析】（1）＝＝＝＝1． （2）①当x≤0，x＋1＋x﹣＋1＞1，2x＞﹣，则x＞，即＜x≤0；②当0＜x≤，则2x＋x﹣＋1＞1，2x＋x＞恒成立，则0＜x≤；③当x＞，则恒成立，则x＞，综上所述，x＞． （3）由，可得．因为，作出函数的图象如下图所示： 当时，，当时，由， 即，解得或（舍）． 若，则有，且， 若使得满足不等式恰有一个整数解， 由图可知，则该整数解为，且不是不等式的解，则，即； 若，则，无解； 若，则有，由图可知，则满足不等式的整数解为，且与都不是不等式的解，且，所以，即．综上所述，实数的取值范围是． 变式训练： 1．函数当时，实数 ． 【解析】令，则，当时，有，解得或（舍去）， 即，当时，有即，因为，此时无实数解，当，有满足题意，当时，，不满足题意，故实数． 2．设函数，则不等式的解集为 ． 【解析】当，即时，则，解得； 当，即时，则，即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为． 3．已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数 的取值范围是 ． 【解析】作出的函数图象如图所示： （1）若，则，当时，原不等式为，无解； 当时，，由图象可知不可能只有一个整数解； 当时，，若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为． 又，故而，即； （2）若，由可得，f(0)＝f(2)＝0．故，由图象可知有两个整数解，， 故至少含有两个整数解，不符合题意．综上，的范围为． 1．下列四组函数中，是同一个函数的是 A．， B．， C．， D．， 【解析】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是． 故选：B． 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是 A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【解析】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，所以的定义域需满足：，解得．故选：B． 3．狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数，黎曼函数定义在 上，，则 A． B． C．0 D．1 【解析】因为，而为上的无理数，所以，因为，所以．故选：D． 4．是定义在上的函数，满足对都成立，则 A． B． C． D． 【解析】令，则①，令，则②，令，则③，令，则④，联立③④，解得，，将代入②，解得，再将代入①，解得．故选：B． 5．已知是一次函数，，且，函数满足，则 A． B． C． D． 【解析】依题意可设，由可得， 因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C错误，D错误．故选：A． 6．已知函数.若，则实数的最小值是 A． B． C． D． 【解析】当时，由，若时，，即，故；若时，，即，故； 此时；当时，由，所以或，即或（舍），若时，，即，显然无解；若时，，即，故；此时；综上，实数的取值范围是．故实数的最小值是．故选：A． 7．（多选）下列对应为集合B到C的函数是 A． B． C． D． 【解析】对A：令，则，集合中有两个元素与对应，不符，故A错误； 对B：任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故B正确； 对C：时，集合有唯一元素与之对应，时，集合有唯一元素与之对应，时，集合有唯一元素与之对应，故任意元素，集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故C正确； 对D：任意元素，则，又因为，有，即集合中都有唯一确定元素与之对应，符合，故D正确；故选：BCD． 8．（多选）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的是 A． B．当时， C． D．不等式的解集为 【解析】故A正确； 时，所以当时，，故B正确； 当时，此时.故C错误； 令则化为，解得所以，所以，所以不等式的解集为，故D正确．故选：ABD． 9．已知函数，则 ． 【解析】因为函数，且， 所以 ． 10．是定义在上的函数，且满足对任意，等式 恒成立，则的解析式为 ． 【解析】是定义在上的函数，且对任意恒成立，令，得，即，整理得，故． 11．已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 【解析】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，，所以的最大值为． 12．已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值； （3）请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数的定义域和值域． 【解析】解：（1）因为，所以． （2）当时，，不合题意，应舍去； 当时，，解之得或（舍）； 当时，，则，综上，或． （3）由题可作图如下： 则函数定义域为，值域为． 13．已知． （1）若定义域为，求实数的取值范围； （2）若定义域为，求实数的值． 【解析】解：（1）若定义域为，则恒成立， 则，或，解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：． 14．已知对任意正实数，总有． （1）求的值； （2）求证：． 【解析】解：（1）令，则，故． （2）令，则，故． 令，则，又，故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $